精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

建平县实验中学2024-2025学年度下学期3月 高二开学考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已加复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数减法的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 2. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 3. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程. 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 4. 在中，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理求解. 【详解】由正弦定理可知，， 设， 则. 故选：B 5. 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可. 【详解】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体. 如图，球心O为长方体的中心，， 则等腰的高为， 故的面积为. 故选：B. 6. 点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设点，运用直接法求得点P的轨迹方程为：，依题意圆心在已知直线上，代入化简即得. 【详解】设点，则由可得，， 两边取平方，， 化简得：，即， 依题意，其圆心在直线上，可得， 故. 故选：B. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用点差法和中点坐标公式，及斜率公式可得，再结合的关系即可求解. 【详解】设， 代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 又的中点坐标为， 所以， 则，又， 所以，即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：. 故选：. 二、多选题 9. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线为 C. D. 点P到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误. 【详解】双曲线的离心率为，故A正确； 双曲线的渐近线为，故B错误； 由有相同焦点，即，即，故C正确； 抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 10. 设是两个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么． B. 如果，，那么． C. 如果，，，，那么． D. 如果，，，，那么． 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知选项A正确；由面面平行的性质可知选项B正确；由线面垂直的性质定理可知选项C错误；由面面平行的判定定理可知选项D错误. 【详解】A. 如果，那么直线与平面内任意一条直线都垂直，由于，故，选项A正确. B. 如果，那么平面内的任意一条直线都与平面平行，由于，故，选项B正确. C.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 如图，选项条件中直线不一定是平面与平面的交线，故不能推出.选项C错误. D.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 如图，选项条件中两直线可能平行，不能得到.选项D错误. 故选：AB. 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. D. 若，则的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆､双曲线的定义可得选项A正确；根据余弦定理结合离心率的概念可得选项B错误；利用二倍角公式结合弦化切可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D错误. 【详解】A.由椭圆､双曲线的定义可知，， ∴，故A正确 B.由题意得，. 由余弦定理得， 当时，，，即， ∴，故B错误. D.当时，，，即，故， ∵，∴由基本不等式得，，故，D错误. C.∵，， ∴，故， ∵，∴，C正确. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决选项B、D的关键是利用余弦定理结合离心率概念得到的关系式，结合选项判断；解决选项C的关键是利用二倍角公式结合弦化切得到，由此可得结论成立. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 13. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由圆方程得：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最小值为. 故答案为：. 14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 四、解答题 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. 小问2详解】 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的值； （2）若为的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到； （2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则由，得， ， ， ， ； 【小问2详解】 为的中点， ， 又， ，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积为. 17. 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果. （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果. 【小问1详解】 由椭圆的定义得，的周长为 ，故. 由离心率得，∴， ∴椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 由得，， 由得，， ∴， ∴ ， ∵点到直线的距离为， ∴的面积， 令，则 ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，， ∴. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直，再利用题干得，即可得到平面PBD，即可得到结论. （2）建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点， 因为且，所以四边形CDBE为平行四边形， 所以BD与CE交点即为CE中点M. 由已知可得，，，，由余弦定理得, 所以三角形为直角三角形，所以， 又，，所以,且,所以平面PBD， 又平面PBD，所以. 【小问2详解】 由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，， 设，则，， 平面PDM的一个法向量为， 设直线AN与平面PDM所成角为， 则， 化简得. 由，可得，求得，. 故. 19. 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线上． 【答案】（1） （2）直线过定点，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标求抛物线的方程； （2）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （3）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. 【小问3详解】 ，同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平县实验中学2024-2025学年度下学期3月 高二开学考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已加复数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，且，，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 3. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A B. C. D. 4. 在中，，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（ ） A. B. C. D. 6. 点是直线l上一点，是直线l一个方向向量，则点到直线l的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线与双曲线有相同焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线为 C. D. 点P到抛物线的焦点的距离为4 10. 设是两个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么． B. 如果，，那么． C. 如果，，，，那么． D. 如果，，，，那么． 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. D. 若，则的最大值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 圆与圆的公共弦长为______. 13. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________. 14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________. 四、解答题 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的值； （2）若为的中点，且，，求的面积. 17. 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于两点，求面积的最大值． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 19. 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求的方程． （2）直线AB否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$