2024年广东省河源市紫金县瓦溪中学九年级中考数学一模试卷

2024年广东省河源市紫金县瓦溪中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各数中，属于正整数的是（　　） A．0 B．﹣1 C．2.1 D．2 2．（3分）如图是美术课上老师上课用的石膏几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过100000人次和17000辆次，同比增长167.8%、145.1%，均处于历史最高位．其中“170000”用科学记数法表示为（　　） A．17×104 B．0.17×106 C．1.7×106 D．1.7×105 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（﹣a2b）3＝a6b3 C．a÷a＝0 D．3a2﹣a2＝2a4 5．（3分）甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率 6．（3分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（　　） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 7．（3分）不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家3km； （2）体育场离文具店1.8km； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是4km/h； （4）老李在文具店买笔用时21min； （5）老李从文具店回家的平均速度是3km/h． 其中结论正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，点C是弧BD的中点，∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为（　　） A．π B．2π C．4π D．6π 10．（3分）如图，抛物线交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点H，交线段BC于点D，点P是抛物线上一点，且∠PDH＝∠ADC，则DP的长为（　　） A． B．2 C．或 D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）分解因式8x2y﹣2y＝　 　． 12．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 13．（3分）若点A（3，m）关于x轴的对称点坐标为（3，﹣5），则m＝　 　． 14．（3分）关于x的方程x2+mx+n＝0的两根都是正整数且m+n＝22，则方程的两根是 　 　． 15．（3分）把图1中周长为24cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为36cm的长方形中．设正方形C的边长为x cm，正方形D的边长为y cm．则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）解一元一次不等式组：． 17．（8分）化简求值：先化简（x+1），再对x从﹣2、﹣1、0、1、2、3中选一个你喜欢数的数代入求值． 18．（8分）如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖A处的仰角为45°，塔底B处的俯角为21.8°，若建筑物的高CD为68米，求电视塔AB的高度．（结果精确到1米，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.928，tan21.8°≈0.399） 19．（9分）参加课外劳动，能够分担社会责任、增强集体意识，培养解决实际问题的能力．某校为了解该校学生一周的课外劳动时间，随机选取部分学生进行调查，将数据整理并制成如下统计图．请解答下面的问题： （1）图1中的m＝　 　，数据的中位数是 　 　h，数据的众数是 　 　h； （2）此次调查的学生的一周平均课外劳动时间是多少？ （3）应用你所学的统计知识，对该校学生一周的课外劳动时间进行适当的分析． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，c），D（3，2），连接OC，OD． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△OCD的面积． 21．（9分）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，若每件甲种纪念品的售价为160元，每件乙种纪念品的售价为110元，销售完这100件纪念品所获得的利润不低于7200元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 22．（12分）综合探究 如图1，在等腰△ABC中，BA＝BC，AD⊥BC于D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF． （1）求证：EF∥AC； （2）如图2，过E作EG∥AD交圆于G，连接AG，求证：四边形ADEG是矩形； （3）EG与AC的交点是圆心的位置吗？为什么？ 23．（12分）综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B， （1）直接写出OA＝　 　，OB＝　 　； （2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为 　 　； （3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D C B A B D 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：0不是正数也不是负数，﹣1是负整数，2.1不是整数，2是正整数， 故选：D． 2．解：从正面看，可得如图形， 故选：B． 3．解：170000用科学记数法表示为1.7×105， 故选：D． 4．解：因为a2•a3＝a5，所以A选项正确； 因为（﹣a2b）3＝﹣a6b3，所以B选项错误； 因为a÷a＝1，所以C选项错误； 因为3a2﹣a2＝2a2，所以D选项错误． 故选：A． 5．解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误． D、从一装有2个红球和1个黄球的袋子中任取一球，取到黄球的概率是：0.33；故此选项正确； 故选：D． 6．解：甲的方案，在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE，故甲的方案正确； 乙的方案，∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠BDA，∠C＝90°﹣∠BDC， ∵∠BDC＝∠BDA， ∴∠A＝∠C， ∴AD＝CD， ∵BD⊥AB， ∴AB＝BC，故乙的方案正确； 故选：C． 7．解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意； B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意； C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意； D、此不等式组的无解，不符合题意； 故选：B． 8．解：（1）体育场离老李家3km，故原结论正确； （2）体育场离文具店3﹣1.8＝1.2（km），故原结论错误； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是1.24（km/h），故原结论正确； （4）老李在文具店买笔用时66﹣54＝12（min），故原结论错误； （5）老李从文具店回家的平均速度是1.83.6（km/h），故原结论错误； 故选：A． 9．解：连接OC， ∵点C是弧BD的中点， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝6， ∴的长2π． 故选：B． 10．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把C（0，3），B（3，0）分别代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴D（1，2）， ∴AH＝DH＝BH＝2， ∴△ADB等腰直角三角形， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠PDH＝∠ADC＝90°， ∴PD∥x轴， 设P（x，2）， 当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2， 解得x1＝1，x2＝1， ∴P点坐标为（1，2）或（1，2）， ∴PD． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：8x2y﹣2y＝2y（4x2﹣1） ＝2y（2x+1）（2x﹣1）． 故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）． 12．解：∵二次根式有意义， ∴3x﹣9≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≥3． 13．解：∵点（3，﹣5）关于x轴的对称点的坐标是（3，5）， ∴m＝5． 故答案为：5． 14．解：设方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣m＞0，x1•x2＝n＞0， ∵m+n＝22， ∴﹣（x1+x2）+x1•x2＝22， ﹣x1﹣x2+x1•x2＝22， （x1﹣1）（x2﹣1）＝23， ∴x1﹣1＝1，x2﹣1＝23， ∴x1＝2，x2＝24， 故答案为：2和24． 15．解：长方形E的宽为（x﹣y）cm， 正方形A的边长为（x+y）cm， 正方形B的边长为（x+2y）cm， 长方形E的长为（x+3y）cm， ∴2（x+x+3y+x+x+y）＝24， ∴x+y＝3， 如图2： 由题意得： 2（x+y+x+2y+x﹣y+x+y+MN）＝36， ∴MN＝（18﹣4x﹣3y）cm， .阴影部分的周长 ＝2（MN+x+y+x+2y+x﹣y） ＝2（18﹣4x﹣3y+x+y+x+2y+x﹣y） ＝2（18﹣x﹣y） ＝36﹣2（x+y） ＝36﹣2×3 ＝30（cm）． ∵正方形A的周长＝4（x+y）＝12（cm）． 30：12＝5：2． 故答案为：5：2． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜1． 17．解：原式 • ， ∵x+2≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0， ∴x≠±2，x≠3，x≠0， 选取x＝1，当x＝1时，原式． 18．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由题意得：DC＝EB＝68米， 在Rt△DEB中，∠EDB＝21.8°， ∴DE170.4（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴AE＝DE•tan45°＝170.4（米）， ∴AB＝AE+BE＝170.4+68≈238（米）， ∴电视塔AB的高度约为238米． 19．解：（1）本次抽取的学生有：15÷37.5%＝40（人）， m%＝10÷40×100%＝25%， 数据的中位数是3h，数据的众数是3h， 故答案为：25，3，3； （2）劳动2小时的学生有：40×20%＝8（人）， 此次调查的学生的一周平均课外劳动时间是：3（h）； （3）根据中位数、众数和平均数可知大部分学生的劳动时间约为3小时． 20．解：（1）∵反比例函数的图象过点D（3，2）， ∴m＝3×2＝6． ∴反比例函数的表达式为y， ∵点C（1，c）在y上， ∴c＝6． ∴C点坐标为（1，6）， 把C，D两点的坐标代入y＝kx+b， 得，解得 ∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+8； （2）在y＝﹣2x+8中， 当y＝0时，x＝4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4， ∴S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD ＝12﹣4 ＝8． 21．解：（1）设购进甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要80元，乙种纪念品每件需要50元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，则购进（100﹣m）件乙种纪念品， 根据题意得：（160﹣80）m+（110﹣50）（100﹣m）≥7200， 解得：m≥60， ∴m的最小值为60． 答：该商场最少购进甲种纪念品60件． 22．（1）证明：∵BE，BF为圆的切线， ∴BE＝BF， ∵BA＝BC， ∴， ∵∠FBE＝∠ABC， ∴△BFE∽△BAC， ∴∠BFE＝∠BAC， ∴EF∥AC； （2）证明：∵EG∥AD，AD⊥BC， ∴EG⊥BC， ∵BE与圆相切于点E， ∴EG为圆的直径， ∵圆的直径与AD相等， ∴EG＝AD， ∴四边形ADEG是平行四边形， ∵∠ADE＝90°， ∴四边形ADEG是矩形； （3）解：EG与AC的交点是圆心的位置，理由： 连接FG，如图， 由（2）知：EG为圆的直径， ∴∠GFE＝90°，EG经过圆心， ∴GF⊥EF． 由（1）知：EF∥AC， ∴GF⊥AC， ∵四边形ADEG是矩形， ∴AG⊥EG， ∴AG为圆的切线， ∵AF为圆的切线， ∴AF＝AG， ∴AC为FG的垂直平分线， ∴AC经过圆的圆心， ∴EG与AC的交点是圆心的位置． 23．解：（1）在y＝2x+4中，分别令x＝0，y＝0，得y＝4，x＝﹣2，即点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝4，OB＝2， 故答案为：4，2； （2）过点E作EM⊥y轴于M，如图2， 则∠AEM+∠EAM＝90°， ∵EA⊥AB， ∴∠EAM+∠BAO＝90°， ∴∠AEM＝∠BAO， ∵AB＝AE，∠EMA＝∠AOB＝90°， ∴△EAM≌△ABO（ASA）， ∴EM＝OA＝4，AM＝OB＝2， ∵OM＝OA+AM＝4+2＝6， ∴点E的坐标为（﹣4，6）， 故答案为：（﹣4，6）； （3）过点A作AD⊥y轴，过点C与AD交于点D与x轴交于点N，如图3， 易证△ACD≌△CNB， 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2+x， ∴CN＝2+x， ∴2+x+x＝4， 解得x＝1， ∴C（﹣3，3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， 代入， 解得， ∴l2的函数表达式为：yx+4； （4）存在，理由如下： ①当正方形为ADCB时，如图4，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO， ∴DN＝OA＝4，AN＝OB＝8， ∴ON＝OA+AN＝12， ∴D（﹣12，4）， ②当正方形为ADCB时，如图， 过点D作DN⊥x轴于点N， 易证△BDN≌△ABO， ∴BN＝OA＝4，DN＝OB＝8， ∴ON＝OB+BN＝12， ∴D（﹣8，12）， ③∵点C在第二象限，以AB为对角线． ∴正方形为ACBD，如图， 过点D作DN⊥x轴于点N， 过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M， 易证△ADN≌△DBM， 设ON＝x，则BM＝x，AN＝OA+ON＝4+x，DN＝BM＝x， ∴MN＝OB＝MD+DN＝4+x+x＝8， ∴x＝2， ∴D（2，2）， 综上，点D的坐标为：（﹣12，4）、（﹣8，12）、（2，2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$