2.3 一元二次方程实际应用专题练习 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

一元二次方程实际应用专练（浙教版） 一、选择题 1．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】一元二次方程的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，则a＞0， y＞0 根据题意可得： ∴ 整理得：2x2-xy-2y2=0 同时除以y2得∴ ∴或（不合题意，舍去） 则甲的速度是乙的倍. 故答案为：C. 2．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意可得， ， 将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③， 将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11， 整理得：， 解得：或（舍）， 则x=y+1=6， 则矩形的宽为5cm，长为6cm， 按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：， 故答案为：C． 3．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有两种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 【答案】A 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 4．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题 5．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？设矩形门宽为x尺，则所列方程为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，由题意得， 故答案为：A 6．近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了万件，5月份比4月份增长了万件．则月寄件数据的月平均增长率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 7．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 8．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式的几何背景；一元二次方程的应用-几何问题 9．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 二、填空题 10．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　. 【答案】 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】 解：设AB=b，则图1和图2中有关的线段长度如图所标注 ∵矩形的面积与正方形的面积相等， ∴b（2+b）=4， 整理得，b2+2b-4=0， 解得：b=1±（负值舍去）， b=， ∴AB=， 故答案为：． 11．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出　 　个小分支． 【答案】8 【知识点】一元二次方程的其他应用 12．某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为　 　． 【答案】 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 13．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为　 　． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可得当时， 解得（不合题意，舍去）； 当时， 解得（不合题意，舍去）； 故答案为：3. 14．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（）． 已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的关于k的一个方程是　 　. 【答案】 【知识点】一元二次方程的其他应用 三、解答题 15．若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有　 　； ； ； ． （2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围． 【答案】（1） （2）解：由题意，当时，关于的方程为“明一方程”， 当时，． ． ． 又直线与轴交于点，与轴交于点， ，． ． ． 又， ． 或． 或或． 直线解析式为或或 （3）解：由题意，为“明一”方程， 方程必有一个根是． ． 又， ，，且． ． ，为“明一方程”的两个根， 其中一个是，而另一个为． ． ， ． 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：（1）解方程得， 是“明一方程”； 解方程得，， 不是“明一方程”； 解方程得，， 是“明一方程”； 故答案为：①③ 16．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材 某款中央空调每台进价为元． 素材 团购方案：团购台时，则享受团购价元台，若团购数量每增加台，则每台再降元． 规定：一个团的团购数量不超过台． 问题解决 问题：当团购台时，求出每台空调的团购价． 问题：设团购数量增加台，请用含的代数式表示每台空调的团购价． 问题：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为元． 【答案】解：问题1：当团购台时，每台空调的团购价为元； 问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为元； 问题3：根据题意，得：， 整理，得：， 解得舍去，， 答：当一个团的团购数量为台时，销售部的利润为元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】问题1：根据题意，在原售价基础上减去500元即可； 问题2：实际购价=团购价-超过2台的数量×500，原售价减去每台下降的部分即可得出答案； 问题3：根据总利润每台利润销售数量列方程求解即可． 17．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米. （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米. （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长. （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由. 【答案】（1）24 （2）解：设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝180， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10. 当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去； 当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意. 答：边CD的长为10米 （3）解：不能，理由如下： 设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米， 依题意得：y（48﹣3y）＝210， 整理得：x2﹣16x+70＝0. ∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到210平方米. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）. 故答案为：24. 18． 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式． 【答案】解：任务1：根据题意得：，解得：， 此时长方体盒子的长为：＜32cm ∴初始方案是不可行； 任务2：当时，根据题意得：， 解得：或， 当时，盒子的长为，符合题意； 当时，盒子的长为，不符合题意； ∴x的值为4； 任务3：， 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题 【解析】任务3：由题意(50-x-2×5)(40-y-2×5)=4680整理可得. 19． 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ． 任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】解：任务1：． 任务2：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得： ⑤任务3：利用上题结论可知：，……2分 【知识点】一元二次方程的其他应用 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程实际应用专练（浙教版） 一、选择题 1．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 3．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有两种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 4．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？设矩形门宽为x尺，则所列方程为（　　）. A． B． C． D． 6．近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了万件，5月份比4月份增长了万件．则月寄件数据的月平均增长率为（　　） A． B． C． D． 7．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 9．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　. 11．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出　 　个小分支． 12．某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为　 　． 13．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为　 　． 14．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（）． 已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的关于k的一个方程是　 　. 三、解答题 15．若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有　 　； ； ； ． （2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围． 16．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材 某款中央空调每台进价为元． 素材 团购方案：团购台时，则享受团购价元台，若团购数量每增加台，则每台再降元． 规定：一个团的团购数量不超过台． 问题解决 问题：当团购台时，求出每台空调的团购价． 问题：设团购数量增加台，请用含的代数式表示每台空调的团购价． 问题：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为元． 17．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米. （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米. （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长. （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由. 18． 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式． 19． 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ． 任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$