精品解析：湖北省部分学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷

湖北省部分学校2024-2025学年度 高中三月月考数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 2. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ） A. ①反映建议（2），③反映建议（1） B. ①反映建议（1），③反映建议（2） C. ②反映建议（1），④反映建议（2） D. ④反映建议（1），②反映建议（2） 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 直线经过原点和点，则它的倾斜角是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 6. 已知空间四点，，，，则四面体的体积为（ ） A. B. C. 15 D. 7. 若函数有两个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 以下四个命题，其中是真命题的有（ ）． A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 函数且的图象过定点 D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数，则_______． 13. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 14. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 四、解答题 15. 试分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中． 16. 在中，内角所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形， （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点．以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点， ①若直线的斜率为1，求弦长． ②设直线与直线交于点．点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形．试问：直线PD是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分学校2024-2025学年度 高中三月月考数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 2. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ） A. ①反映建议（2），③反映建议（1） B. ①反映建议（1），③反映建议（2） C. ②反映建议（1），④反映建议（2） D. ④反映建议（1），②反映建议（2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断. 【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）； 对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题. 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 4. 直线经过原点和点，则它的倾斜角是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值求出直线的倾斜角度数. 【详解】设经过原点和点的直线方程的斜率为,且该直线的倾斜角为,由题意可知:,又,则. 故选 【点睛】本题考查了根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率及倾斜角问题,需要掌握直线斜率与倾斜角之间的关系,本题较为基础. 5. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6. 已知空间四点，，，，则四面体的体积为（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知点坐标求平面的一个法向量，向量法求到面的距离，且为边长为的等边三角形，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】由题设为边长为的等边三角形， 且，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 则到面的距离， 所以四面体的体积为. 故选：B 7. 若函数有两个零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由题意可得，有两个根， 由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 二、多选题 9. 以下四个命题，其中是真命题的有（ ）． A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 函数且的图象过定点 D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断. 【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确； 对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确； 对于C，当时，，故其过定点，故C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有， 又，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】BD 【解析】 【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用决定系数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D. 【详解】A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误； B：用决定系数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确； C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变， 故方差不变，则标准差不变，故C错误； D：根据独立性检验可知D正确. 故选：BD 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可. 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 13. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 【答案】8 【解析】 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 14. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 【答案】288 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得. 【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间， 然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法. 所以不同的排法种数有：（种）. 故答案为：288 四、解答题 15. 试分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中． 【答案】（1）1，2，4，8，16 （2）2，，，，． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，对依次赋值求解； （2）根据递推公式，对依次赋值求解. 【小问1详解】 因为，，，其中， 所以，， ． 因此，数列的前5项依次为1，2，4，8，16． 【小问2详解】 因为，，其中， 所以，， ，． 因此，数列的前5项依次为2，，，，． 16. 在中，内角所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理计算可得，即； （2）（ⅰ）利用余弦定理代入计算可得； （ⅱ）由余弦定理得推论计算可得，再根据同角三角函数基本关系以及三角恒等变换计算可得结果. 【小问1详解】 依题意根据由正弦定理可得； 又，所以可得， 即，所以， 可得，又， 解得. 【小问2详解】 （ⅰ）由以及， 利用余弦定理可得， 解得； （ⅱ）由，可得； 又，因此可得； 可知， ； 所以. 17. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹； （2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于的方程求解可得. 【小问1详解】 已知， 由题意可知，，坐标代入得， 整理得， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 由圆，则圆心为，半径为， 此时弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，不妨设斜率为， 则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离. 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，则， 所以，解得， 所以直线的方程为. 综上，满足条件的直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形， （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接． ∵四边形为菱形，且，则， 又∵为等边三角形，∴， 而，平面，∴平面． 又∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得平面，即可根据线面垂直的性质求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若，由是边长为2的等边三角形可得， ， 而，．以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建系． 则，，，，． 故，，， 设平面的法向量， ∴，∴即， 令，则，，所以，平面的法向量． 设直线与平面所成角为， ∴, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点．以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点， ①若直线的斜率为1，求弦长． ②设直线与直线交于点．点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形．试问：直线PD是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①，②过定点，且定点为. 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得且，即可求，可得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理，由弦长公式求，由中点坐标公式得，进而根据菱形的性质可得的方程为，即可求解，，进而根据点斜式求解直线方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设椭圆方程为， 以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为， 所以且，可得，故， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设直线，联立，整理得， 设，显然，则，， 所以， ①若直线的斜率为1，则，故； ②设中点，则，， 由四边形是菱形，是的中点，且，所以直线的斜率为， 故，令，则， 所以， 设，则，， 所以， 对于，令，则，， 所以为，即，故直线PD过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $