2025年中考数学压轴题训练——二次函数与特殊三角形综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与特殊三角形综合 1．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上有一点，连接、，当时，求点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数） 的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，以直线为对称轴的拋物线（a、b、c为常数，且）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（参考公式：在平面直角坐标之中，若，则A，B两点间的距离为） (1)求m的值及抛物线的函数表达式； (2)是否存在抛物线上一动点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出Q点的横坐标；若存在，请说明理由； (3)若P是抛物线对称轴上一动点， 且使周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试问 是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由． 4．如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C的，与轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线． (1)点A的坐标为　 　； (2)若射线平分，求二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？ 7．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由； 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 9．如图．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)若点Q是对称轴上的点，且为直角三角形，求点Q的坐标． 10．如图，抛物线y=a+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(0，8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)求△BCP的面积最大值； (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点． ①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标． 11．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F． ①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标； ②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2 (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值． (3)点H是射线BA上的一个动点，过点D作DH的垂线交射线AC于点G，过点G作OC的垂线交抛物线于点F，直接写出H点坐标为何值时， CG的长为，并写出此时点F的坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 14．二次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接BD，当时，求△DNB的面积； (3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 15．如图，抛物线的顶点A在直线l：上． (1)求抛物线的解析式及顶点A； (2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧），判断△ABD的形状； (3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（﹣2，9）与y轴交点为B（0，5）． (1)求此抛物线的函数关系式以及与x轴的交点坐标C（x1，0），G（x2，0）（x1＜x2）； (2)抛物线上是否存在点P，使得△PBC中BC边上的高为5？若存在，请求出，不存在，说明理由； (3)已知点D（﹣2，3），点E从点O出发沿OB方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点F从点O出发沿OC方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．当一个点停止运动另一个点也停止运动，设运动时间为t秒（0＜t），△DEF的面积为S，当t为何值时？S最大，并求出最大值． 17．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 18．抛物线 y＝ax2−4ax＋3a 交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3 (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ//AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年3月11日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 2．(1) (2)不存在值，使得,理由见解析 (3)，或 【分析】（1）在中，求出，，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）由，得，，而，即得或，当时， ，当时，，即可知不存在值，使得； （3）设抛物线对称轴交轴于，过作于，由可得，抛物线对称轴为直线，由，，知是等腰直角三角形，设，可得，解得，从而可得，即得，或． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在值，使得，理由如下： 由得：， 整理得， 直线与抛物线两交点的横坐标分别为，， ，为的两个实数解， ，， ， ，即， 解得或， 当时，一元二次方程，根的判别式， 此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点， 不符合题意，舍去， 当时，一元二次方程，根的判别式， 此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点， 不符合题意，舍去， 不存在值，使得； （3）解：设抛物线对称轴交轴于，过作于，如图： 由可得，抛物线对称轴为直线， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题． 3．(1)， (2)存在，Q点的横坐标为5.2或8.2 (3)为定值 【分析】（1）先把代入一次函数中，解方程即可得m的值，即可得一次函数解析式，进而求出一次函数的图象与y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例方程求解：①若C为直角顶点，作交抛物线于点Q，轴于E，易证；②若A为直角顶点作交抛物线于点，轴于，易证． （3）利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质确定出的周长最小时点P的坐标；从而表示出过点P的直线的表达式；把代入 ，整理得出关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两点坐标间的关系；利用两点间的距离公式，分别求得线段和的长度，通过计算比较即可得到． 【详解】（1）解：一次函数 (m为常数)的图象与x轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∴C点坐标为， ∵以直线为对称轴的抛物线 (a、b、c为常数，且)经过、， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在，设， ①当点C为直角顶点时，如图，作交抛物线于点Q，轴于E． 在与中， ， ∴， ∴ ，即 ， 解得 (不合题意舍去)； ②当点A为直角顶点时，如图，作交抛物线于点，轴于． 在与中， ， ∴， ∴ ，即 ， 解得 (不合题意舍去)． 综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2； （3）解： ∵ 与x轴交于、B两点，对称轴为直线，   ∴B点坐标为， ∵， ∴设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设过点P的直线为：， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 整理得，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ， ∴ ， ∴为定值． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度较大，利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键． 4．(1) (2)或或或或 (3)或 【分析】（1）先求出B、C坐标，然后把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可； （2）设点E的坐标为，则,,，再分三种情况：当，当，当讨论求解即可； （3）如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作于F，先证明是等腰直角三角形，则可设，则，进而得到，求出得到点P的坐标，利用对称性求出点P在x轴下方时的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于B、C两点， ∴， 把代入抛物线解析式中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设点E的坐标为， ∴,,， 当时，则， 解得， ∴点E的坐标为或； 当时，则， 解得或， ∴点E的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或或； （3）解：如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作于F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴可设，则， ∴， 由对称性可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴由对称性可知当点P在x轴下方时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 5．(1) (2)存在；，， (3)， 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出的值，以点C为圆心，为半径作弧，交对称轴于；以点D为圆心为半径作圆交对称轴于点，，作垂直于对称轴于点H，由等腰三角形的性质就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出直线的解析式，从而可设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形的面积可求出S与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点，， 则，解得， 抛物线表达式为：； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 则点坐标为， 的长为, 如图1所示，使是以为腰的等腰三角形的点有，，三种情况，其中， 过点作,    垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， 综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使是以为腰的等腰三角形， P点的坐标为，，， ； （3）解：根据题意作图2，过点作,垂足为点， 令，则， ，， 故点坐标为，， 设直线解析式为，过点，， ，解得， 则直线解析式为， 设，， ， ， 故时，四边形的面积取得最大值为，此时点坐标为， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线中等腰三角形的存在性、抛物线中四边形面积最大值的存在性、勾股定理等知识，采用数形结合和分类讨论思想是解题关键． 6．(1) (2) (3)当或时，为直角三角形 【分析】（1）把代入，得出a与b的关系，然后令解方程即可； （2）先求出直线的解析式，再根据列方程求出a的值即可； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 当时， ， ∵， ∴，解得． ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴对称轴为直线． 设对称轴与交于点G， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵轴， ∴，， ∵， ∴， ①当时，， ∵对称轴为直线， ∴此时； ②当时，设直线交x轴于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴H与A重合， ∴此时； 综上，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、锐角三角函数是解答本题的关键． 7．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后把抛物线解析式设为交点式，代入C点坐标求解即可； （2）如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，求出，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则由勾股定理得，，，然后分三种情况：当时，当时，当时，建立方程进行求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则，令，则， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设抛物线解析式为，代入点C坐标得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴，，， 当时， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时， ∴， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，点P在运动过程中，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值； ②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】（1）解：令，得， ， 令得， ， ， ，， ， ， ， ， （2）①设直线的解析式为：，代入，得 ， ， ， 设， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 即的最大值为9； ②点是的中点， 在中，， 即为等腰三角形， ， ， ， ， ， 若以点为顶点的三角形与相似， 则①， ， 又， ， ， ，， ， ，， 或， 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又， ， ， ， 整理得，， ，， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键． 9．(1)，，直线l的解析式为； (2)P的坐标为或； (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）令，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式； （2）设，用m表示N点坐标，分两种情况：；．分别列出m的方程进行解答便可； （3）分三种情况，当AD为斜边时；当时； 当时．分别利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质解决问题． 【详解】（1）解：令，得， 解得，，或， ∴，， 设直线l的解析式为，则， 解得，， ∴直线l的解析式为； （2）解：如图1， 根据题意可知，点P与点N的坐标分别为，， ∴， 分两种情况： ①当时，得， 解得，或（舍）， ∴； ②当时，得， 解得，或（舍）， ∴； ∴综上所述：P的坐标为或； （3）解： 的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ①当AD为斜边时，取AD的中点为P， ∵，D， ∴，P， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②对称轴与AD的交点为G，与x轴的交点为H， 当时， 则G，H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点Q的坐标为； ③当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．(1)y=+3x+8 (2)32 (3)①存在，(3，0)或(3，5)或(3，5+5)或(3，5+5) ②(8，5)或(8，5)或(8，5)或(2，0) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作PGy轴交BC于G，设P(t，+3t+8)，则G(t，t+8)，可得+32，即可求解； （3）①设M(3，m)，分别求出BE=5，BM=，EM=|m5|，分三种情况讨论：当BE=BM时；当BE=EM时；当BM=EM时；分别列出方程求解即可；②设N(x，y)，分三种情况讨论：当BE为菱形的对角线时，此时N(8，5)；当BM为菱形的对角线时，此时N(8，5)或(8，5)；当BN为菱形的对角线时，此时N(2，0)． 【详解】（1）解：将A(2，0)，C(0，8)代入y=a+3x+c， ∴， 解得：， ∴y=+3x+8； （2）解：令y=0，则+3x+8=0， 解得x=2或x=8， ∴B(8，0)， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴y=x+8， 过点P作PGy轴交BC于G， 设P(t，+3t+8)，则G(t，t+8)， ∴PG=+3t+8+t8=+4t， ∴， ∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32； （3）解：①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下： ∵y=+3x+8=， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴， ∴E(3，5)， 设M(3，m)， ∴BE=5，BM=，EM=|m5|， 当BE=BM时，5=， 解得m=5(舍)或m=5， ∴M(3，5)； 当BE=EM时，5=|m5|， 解得m=5+5或m=+5， ∴M(3，5+5)或(3，+5)； 当BM=EM时，=|m5|， 解得m=0， ∴M(3，0)； 综上所述：M点坐标为(3，0)或(3，5)或(3，5+5)或(3，+5)； ②设N(x，y)，M(3，m)， 当BE为菱形的对角线时，BM=EM， ∴， 解得：， ∴N(8，5)； 当BM为菱形的对角线时，BE=EM， ∴， 解得：或， ∴N(8，5)或(8，5)； 当BN为菱形的对角线时，BE=BM， ∴， 解得：或， ∴N(2，0)； 综上所述：N点坐标为(8，5)或(8，5)或(8，5)或(2，0)． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 11．(1) (2)①F（-，）；②存在，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4） 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线BC的解析式为：y=x+3，设F（x，），则E（x，x+3），用含x的代数式表示的面积，进而即可求解； ②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝， 得：， 解得： ∴二次函数解析式为． （2）①令x=0，代入，得：， ∴C（0，3）， ∵B（-3，0）， ∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=x+3 设F（x，），则E（x，x+3） ∴FE=-（x+3）=， ∴的面积=（）=， ∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）； ②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图： ∵DFy轴， ∴DF⊥x轴， ∴∠ODF=∠CFE=90°， ∴CFOB， ∴点F的纵坐标为3， ∴3=﹣﹣2x+3， 解得=0（舍去），=﹣2， ∴F（﹣2，3）， Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H， ∵DFy轴， ∴DF⊥x轴， ∴∠BDE=90°， ∵C（0，3），B（﹣3，0）， ∴OC=OB=3， ∴∠OBC=45°， ∴∠OEB=∠CEH=45°， ∵∠ECF=90°， ∴CE=CF， ∵CH⊥EF， ∴EF=2CH， 设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，）， ∴EF=﹣（m+3）=﹣﹣3m，CH=﹣m， ∴﹣﹣3m=﹣m， ∴=0（舍去），=﹣1， ∴点D坐标为（﹣1，0）． ∴F（﹣1，4） 综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 12．(1) (2) (3)H（1，3），F（3，）或H（3，5），F（7，） 【分析】（1）由抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，根据点A在上可求得点A的坐标为（2，4），将（2，4），（，0）代入抛物线的解析式可求得a和k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）设点E的坐标为（t，），则点N的坐标为（t，），由坐标得，当时，EN最大为1，此时E的坐标为（4，3），过点E作AD的对称点，连接交AD于点P，此时最短，由勾股定理求得即可． （3）设GF交x轴于点E，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标；同理如图②所示，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为A， ∴.A的横坐标为2， 又∵直线AB的解析式为 ∴当时，，当时， ∴点A的坐标为（2，4），B（，0） 将（2，4），（，0）代入得：， ∴抛物线的解析式为． （2）由（1）得： ∵对称轴为直线，B（，0） 设E（t，），N（t，） ∴当时，EN最大为1 ∴E（4，3） ∵AD是此抛物线的对称轴 ∴过点E作AD的对称点（0，3），连接交AD于点P，此时最短，M（5，） （3）如图①所示： 设GF交x轴于点E，在中，，， ∴， ∴， 将代入抛物线的解析式可得：， ∴点F的坐标为（3，） 在与中， ∴， 又∵点A的坐标为（2，4） ∴H的坐标为（1，3）； 同理如图②所示， 在中，，， ∴， ∴， 将代入抛物线的解析式可得：， ∴F的坐标为（7，）， 在与中， ∴， 又∵点A的坐标为（2，4） ∴H的坐标为（3，5）； 综上所述，H（1，3），点F（3，）或H（3，5），F（7，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟悉全等三角形的性质和判定以及特殊锐角的三角函数值是解题的关键． 13．(1) (2)（1，-2） (3)（-1，0）或（，-2）或（，2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 14．(1) (2) (3)P（1，－1）或（3，3） 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可； （2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可； （3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中， 得： ， 解得： ． ∴二次函数的表达式为． （2）解：连接BD，如图所示， ∵， ∴AM=3． 又∵， ∴． 设直线BC的表达式为， 将点C（0，2），B（4，0）代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为：． 将x=2代入和， 得D(2，3)，N（2，1）， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴． 设P（2t-1，m）， 则，． ∵PB=PC， ∴， ∴， ∴． ∵PC⊥PB， ∴， 将代入整理得：， 解得：t=1或t=2． 将t=1或t=2分别代入中， ∴P（1，－1）或（3，3）． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． 15．(1)，顶点A（1，－4）， (2)△ABD为直角三角形，理由见解析 (3)（4，－1）或（2，－3）． 【分析】（1）先求出抛物线顶点A的横坐标，再代入直线解析式中求出点A坐标，然后将点A坐标代入抛物线解析式式中求出c即可； （2）先由抛物线解析式求出点B、C、D坐标，再求出AB2、BD2、AD2，然后根据勾股定理的逆定理可判定△ABD的形状； （3）设点P（m，m－5），设直线I与y轴交点为Q，先求出点E、Q坐标，易得直线l∥BD，由（2）知直线l⊥AB，分点P在线段AE上和射线EP上，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴顶点A的横坐标为x=1， 又∵顶点A在直线上， ∴当x=1时，y=1-5=-4， ∴顶点A的坐标为（1，-4）， 将点A坐标代入中，得c=-3， ∴抛物线的解析式为； （2）解：△ABD为直角三角形，理由为： 当x=0时，y=-3，∴B（0，-3）， 当y=0时，由得：x1=-1，x2=3， ∴C（-1，0），D（3，0）， ∴AB2=12+（-4+3）2=2， AD2=（3-1）2+42=20， BD2=32+32=18， ∵AB2+BD2=AD2， ∴△ABD为直角三角形； （3）解：设P（m，m-5），直线l与y轴交点为Q， 当x=0时，y=0-5=-5，当y=0时，由0=x-5得：x=5， ∴Q（0，-5），E（5，0）， ∴OE=OQ=5，则∠OEQ=45°， ∵OD=OB=3， ∴∠ODB=45°=∠OEQ， ∴直线l∥BD， 由（2）知，∠ABD=90°，∴∠BAE=90°， 则AB为两平行线间的距离， ①如图，当点P在线段AE上时，过D作DN⊥AE于N，则DN=AB=，AP+PE=AE， S△PAB= AP·AB= AP，S△PDE =DE．丨yp丨=PE·DN=PE， ∵A（1，-4），E（5，0），D（3，0）， ∴AE=，DE=2， 则AP=-PE， 当AP＞PE时，S△PAB-S△PDE=（AP-PE）=（-2PE）=2， 解得：PE=， 由S△PDE =××=×2×（-m+5）得：m=4， 则P（4，-1）； 当AP＜PE时，S△PDE-S△PAB=（PE-AP）=（2PE-）=2， 解得：PE=， 由S△PDE =××=×2×（-m+5）得：m=2， 则P（2，-3）； ②如图，当点P在射线EP上时，AP-PE=AE= ， S△PAB-S△PDE=（AP-PE）= ×=4≠2，舍去， 综上，满足条件的点P坐标为（4，-1）或（2，-3）． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、函数图像与坐标轴的交点问题、一次函数图像上点的坐标特征、两点坐标距离公式、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式等知识，涉及知识点较多，综合性强，解答的关键是理解题意，找准各个知识点的联系，利用数形结合和分类讨论思想解决问题． 16．(1)y＝﹣x2﹣4x+5，C（﹣5，0），G（1，0）． (2)存在，P（，）或（，） (3)当t＝时，S的值最大，最大值是． 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，先确定h、k的值，再将点B的坐标代入不含h、k的函数关系式求出a的值即可； （2）作PK∥y轴交CB的延长线于点K，设△PBC边BC上的高为PH，求直线BC的函数关系式，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示点P、K的坐标，再用含x的代数式表示线段PK的长，PH=PK及PH=列方程求出x的值，得到点P的坐标； （3）作DL⊥x轴于点L，作DQ⊥y轴于点Q，求出DL、DQ的长，再用含t的代数式表示△DEF的面积，得到S关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质求出当t为何值时S取得最大值及最大值是多少． 【详解】（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（﹣2，9）， ∴h＝﹣2，k＝9， ∴y＝a（x+2）2+9， 把B（0，5）代入y＝a（x+2）2+9得，4a+9＝5，解得a＝﹣1， ∴此抛物线的函数关系式y＝﹣（x+2）2+9，即y＝﹣x2﹣4x+5； 当y＝0时，由﹣x2﹣4x+5＝0得，x1＝﹣5，x2＝1， C（﹣5，0），G（1，0）． （2）存在，如图1，作PK∥y轴交CB的延长线于点K， 设△PBC边BC上的高为PH，则PH＝5，∠PHK＝90°， ∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠K＝∠OBC＝45°， ∴∠K＝∠HPK＝45°， ∴PH＝PK； 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），直线BC的解析式为y＝mx+5，则﹣5m+5＝0， 解得，m＝1， ∴y＝x+5， ∴K（x，x+5）， ∴|﹣x2﹣4x+5﹣（x+5）|＝5， 整理得，x2+5x﹣10＝0或x2+5x+10＝0， 方程x2+5x+10＝0无解， 由x2+5x﹣10＝0得，x1＝，x2＝， ∴P（，）或（，）． （3）如图2，作DL⊥x轴于点L，作DQ⊥y轴于点Q，则∠CLD＝∠DQB＝90°， ∵点D（﹣2，3）在直线y＝x+5，且0＜t， ∴点D在线段BC上， ∴∠LDC＝∠LCD＝45°， ∴LD＝LC， ∵DQ＝OL＝2，OC＝5， ∴DL＝CL＝3， 由S△DEF＝S△OBC﹣S△OEF﹣S△DBE﹣S△DCF得， S＝×5×5﹣t×2t﹣×2（5﹣2t）﹣×3（5﹣t）， 即S＝﹣t2+t， ∵S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，且﹣1＜0，0＜＜， ∴当t＝时，S最大＝， ∴当t＝时，S的值最大，最大值是． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题． 17．(1)y＝x2﹣4x+3 (2)点P的坐标为（2，﹣1） (3)存在，点D的坐标为：（2，）或（2，）． 【分析】（1）利用待定系数法解得即可； （2）过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，由已知易得△EPQ和△EFC是等腰直角三角形；设P（t，t2-4t+3），则Q（t，-t+3），利用已知条件得出用字母t表示PE+EF的关系式，再利用二次函数的性质求得符合条件的t值，结论可求； （3）分两种情况讨论解答：①点D在x轴上方时，②点D在x轴下方时，设出点D的坐标，利用相似三角形对应边成比例，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； ∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3； （2）解：过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，如图， 由题意：F（0，m），K（-m，0）， ∴OF=OK=-m． ∴∠OFP=∠OKF=45°． ∵OB=OC=3， ∴∠OBC=∠OCB=45°． ∴∠ECF=∠EFC=45°． ∵PQ∥FC， ∴△EPQ和△EFC都是等腰直角三角形． ∴PE=PQ，EF=FC． ∵FC=OF+OC， ∴FC=3-m． ∴EF=（3-m）． 设直线BC的解析式为y=kx+m， ∴， 解得：． ∴直线BC的解析式为：y=-x+3． 设P（t，t2-4t+3），1＜t＜3，则Q（t，-t+3）， ∴PQ=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t， ∴PE=（-t2+3t）． ∵抛物线y=x2-4x+3与直线y=x+m相交于点P， ∴t2-4t+3=t+m， ∴t2-5t=m-3． ∴PE+EF=（-t2+3t）+（3-m）=-（t2-4t）=-（t-2）2+4． ∵-＜0， ∴当t=2时，PE+EF取得最大值为4． 此时点P的坐标为（2，-1）； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形． ①点D在x轴上方时， 过点D作DG⊥OC，交OC延长线于点G，过点B作BH⊥GD交GD延长线于点H，如图， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∴GD=OK=2． ∵OC⊥OB，HG⊥OC，BH⊥GH， ∴四边形OBHG为矩形， ∴GH=OB=3，BH=OG． ∴DH=GH﹣GD=1． 设D（2，n），则OG=BH=n， ∴CG=n﹣3． ∵∠BDC=90°， ∴∠GDC+∠HDB=90°． ∵DG⊥OC， ∴∠GCD+∠GDC=90°． ∴∠GCD=∠HDC． ∵∠CGD＝∠DHB=90°， ∴△GCD∽△HDB． ∴． ∴． 解得：n＝（负数不合题意，舍去）． ∴D（2，）； ②点D在x轴下方时， 过点D作DN⊥OC，交OC延长线于点N，过点B作BM⊥ND交ND延长线于点M，如图， 设D（2，n），则ON=BM=﹣n， ∴CN=﹣n+3． 同理可知：DN=2，DM=1， 同理△DNC∽△BMD， ∴． ∴． 解得：n＝（正数不合题意，舍去）． ∴n＝， ∴D（2，）． 综上，在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形． 点D的坐标为：（2，）或（2，）． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 18．(1) (2) (3)或 【分析】（1）y=ax2-4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），△ABC的面积=AB×OA=×2×3a=3，即可求解； （2）PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y=-x+b，设点P（m，m2-4m+3）（m＞2），将点P的坐标代入上式，即可求解； （3）d=4时，点P（4，3），设点，直线PD的函数表达式为：y=2x-5①，直线AG的函数表达式为：②，联立①②并解得：，故点，AN=AM，即2，即可求解． 【详解】（1）解：交x轴于B、C两点， 令y=0，则 解得， ∴点B、C的坐标分别为：、， 交交y轴于点A， 令x=0，则y=3a， ∴点， ∵的面积，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）如图，设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵点，点 代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； ∵ ∴设的表达式设为：， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∵点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m， ∴设点， 将点P的坐标代入并解得：， ∴， ∵A（0，3）， ∴OA=3， ∴； （3）当时，则， 解得：或（舍去）， ∴点， 如图， ∵ ∴点， ∵DN⊥y轴于点N， ∵点 设直线PD的解析式为 把点（4，3），（2，-1）代入得 解得， ∴直线的函数表达式为：①， 设点， 设直线的函数表达式为： 把A（0，3），代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为： ②， 联立①②并解得：， 故点， 点、点， ∵， ∴，解得：或4， ∴点或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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