2024-2025学年冀教版九年级下册期中数学模拟测试卷

冀教版2024-2025学年九年级下学期 期中数学模拟测试卷 (满分:120分　时间:120分钟) 1、 选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若☉O的半径为7cm,圆心O到直线l的距离为8cm,则直线l与☉O的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下: x … -3 -2 -1 0 1 … y … -3 -2 -3 -6 -11 … 则该函数图像的对称轴是 (　　) 3.如图,在半径为2的☉O中,C为直径AB延长线上一点,CD与☉O相切于点D,连接AD,已知∠DAC=30°,则线段CD的长为 (　　) A.1 B. C.2 D.2 4.对于二次函数y=-x2+x-4,下列说法正确的是 (　　) A.当x>0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值-3 C.图像的顶点坐标为(-2,-7) D.图像与x轴有两个交点 5.如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.下列是抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图像的是 (　　) 7.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,☉A的半径为2.下列说法不正确的是 (　　) A.当a<5时,点B在☉A内 B.当1<a<5时,点B在☉A内 C.当a<1时,点B在☉A外 D.当a>5时,点B在☉A外 8.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y与月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是 (　　) A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月 C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月 9.如图,已知P为☉O外一点,连接OP交☉O于点A,且OA=2AP,求作直线PB,使PB与☉O相切.以下是甲、乙两同学的作法. 甲:作OP的中垂线,交☉O于点B,则直线PB即所求. 乙:取OP的中点M,以M为圆心、OM长为半径画弧,交☉O于点B,则直线PB即所求. 对于两人的作法,下列说法正确的是 (　　) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 10.如图,一次函数y=-x与二次函数y=ax2+bx+c的图像相交于点M,N,则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是 (　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.以上结论都正确 11.如图,圆内接正八边形的边长为1,以正八边形的一边AB作正方形ABCD,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,则正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积为 (　　) A. B.-1 C. D. 12.当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为 (　　) A.- B.或- C.2或- D.2或-或- 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.如图,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,点P是上的任意一点,则∠CPE的度数为　　　　.  14.如图,铅球被小明从手中抛出,铅球距地面的高度h(m)与抛出时间t(s)之间满足函数关系h=at2+1.6t,已知铅球被抛出后经过4s落地,则铅球距地面的最大高度是　　　　m.  15.如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转的度数为　　　　.  16.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,2),(1,0),顶点C在函数y=x2+bx-1的图像上,将正方形ABCD沿x轴平移后得到正方形A'B'C'D',点D的对应点D'落在抛物线y=x2+bx-1上,则点D与其对应点D'间的距离为　　　　.  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(7分)已知矩形ABCD的边AB=6cm,AD=8cm. (1)以点A为圆心、8cm为半径作☉A,求点B,C,D与☉A的位置关系; (2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,求☉A的半径r的取值范围. 18.(8分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1),水面宽6m时,水面距离桥孔顶部3m,因降暴雨水面上升1m. (1)建立适当的坐标系,并求暴雨后水面的宽度; (2)一艘装满物资的小船,露出水面的部分高0.5m、宽4m(横断面如图2所示),暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注:结果保留根号) 19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E. (1)求证:∠A=∠ADE; (2)若AD=16,DE=10,求BC的长. 20.(8分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n. (1)当m=2时, ①求抛物线的对称轴,并用含n的式子表示顶点的纵坐标; ②若点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2>y1,则x2的取值范围是　　　　.  (2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,抛物线与线段PQ恰有一个交点,结合函数图像,求m的取值范围. 21.(8分)如图,☉O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D,E分别是∠ACB的平分线与☉O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE. (1)求AC,AD的长; (2)试判断PC与☉O的位置关系,并说明理由. 22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图像与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0). (1)求该二次函数的表达式及点C的坐标. (2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图像上的动点,连接CD,CF,以CD,CF为邻边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S. ①求S的最大值; ②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图像上时,请直接写出此时S的值. 23.(11分)(2024青海中考)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分. (1)求抛物线的表达式. (2)求抛物线最高点的坐标. (3)斜坡上点B处有一棵树,B是OA的三等分点且OB<BA,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度. 24.(12分)(2024凉山州中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的表达式. (2)P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求点P的坐标. (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 参 考 答 案 与 解 析 1.C　【解析】　∵☉O的半径为7cm,圆心O到直线l的距离为8cm,7<8,∴直线l与☉O相离.故选C. 2.B　【解析】　∵x=-3和x=-1对应的函数值都是-3,∴二次函数图像的对称轴为直线x=-2.故选B. 3.D　【解析】　连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=30°.∵CD与☉O相切于点D,∴OD⊥CD.∵∠DOC=2∠DAC=2×30°=60°,∴∠C=30°,∴CD=OD=2.故选D. 4.B　【解析】　二次函数y=-x2+x-4图像的对称轴为直线x=-=2,顶点坐标为(2,-3),显然选项C错误;∵a=-<0,∴抛物线开口向下,顶点为最高点,当x=2时,y有最大值-3,故选项B正确;由抛物线开口向下,对称轴为直线x=2可知,当x>2时,y随x的增大而减小,故选项A错误;一元二次方程-x2+x-4=0中,b2-4ac=1-4×(-)×(-4)=-3<0,∴抛物线y=-x2+x-4与x轴没有交点,故选项D错误.故选B. 5.C　【解析】　解法一　如图,设正六边形的中心为O.连接OA,OB.∵∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,易知S正六边形=6S△OAB.∵图中的两个直角三角形可拼成一个边长为a的等边三角形,∴S空白=S△OAB,∴=====5. 解法二　通过割补题图可得如图所示的图形,所以=5. 6.D　【解析】　A,B选项,由二次函数的图像可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a,b异号,b>0,此时直线y=ax+b应经过第一、二、四象限,故A,B错误;C,D选项,由二次函数的图像可知a>0,对称轴在y轴的右侧,可知a,b异号,b<0,此时直线y=ax+b应经过第一、三、四象限,故C错误,D正确.故选D. 7.A　【解析】　设点A,B之间的距离为d,由于圆心A在数轴上所表示的实数为3,圆的半径r=2,所以当d=r时,☉A与数轴交于两点,所表示的实数分别是1和5,故当a=1或a=5时,点B在☉A上;当d<r,即当1<a<5时,点B在☉A内;当d>r,即当a<1或a>5时,点B在☉A外.由以上结论可知B项、C项、D项不符合题意,A项符合题意.故选A. 8.C　【解析】　∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12,又∵该函数的图像开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C. 9.D　【解析】　如图1,作OP的垂直平分线交OP于点H,连接OB,设AP=x,则OA=2x,OB=2x.∵BH垂直平分OP,∴BO=BP=2x.∵OB2+BP2=(2x)2+(2x)2=8x2,OP2=(3x)2=9x2,∴△OBP不是直角三角形,∴PB不是☉O的切线,∴甲的作法错误.如图2,连接OB,∵点M为OP的中点,∴OP为☉M的直径,∴∠OBP=90°,∴OB⊥PB,∴PB与☉O相切,∴乙的作法正确.故选D. 10.A　【解析】　∵一次函数y=-x与二次函数y=ax2+bx+c的图像有两个交点,∴方程ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根,即ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根.故选A. 11.B　【解析】　正八边形的内角∠ABC'==135°,正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,设CD与A'D'相交于点E,∴∠ABC=∠A'BC'=90°,∠BA'D'=∠BAD=90°,∴∠ABA'=135°-90°=45°.延长BA',则BA'过点D,如图,则∠A'DE=∠ABA'=∠A'ED=45°,∴A'E=A'D.∵AB=1,∴A'B=AB=1,BD=,∴A'E=A'D=-1,∴正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积=S△BDC-S△DA'E=×1×1-×(-1)×(-1)=-1.故选B. 12.C　【解析】　对于y=-(x-m)2+m2+1,易知抛物线的开口向下,对称轴为直线x=m,顶点坐标为(m,m2+1).当-2≤m≤1时,最大值为m2+1=4,解得m1=(不合题意,舍去),m2=-.当m<-2时,易知当x=-2时有最大值,即-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-(不合题意,舍去).当m>1时,易知当x=1时有最大值,即-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2.综上可知,m的值为2或-.故选C. 13.45°　【解析】　连接OD,OC,OE,∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠COD=∠DOE==45°,∴∠COE=45°+45°=90°,∴∠CPE=∠COE=45°. 14.1.6　【解析】　由题意得t=4时,h=0,则0=16a+1.6×4,解得a=-0.4,∴h=-0.4t2+1.6t,∴铅球距地面的最大高度是==1.6(m). 15.50°或110°　【解析】　如图,旋转后射线BA与☉O相切分两种情况,设旋转后与☉O相切于点D,E,连接OD,OE,∵OD=OB,OD⊥BD,∴∠OBD=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠OBD=80°-30°=50°.同理可得,∠OBE=30°,∴∠ABE=∠ABC+∠OBE=80°+30°=110°.综上,射线BA绕点B按顺时针旋转的度数为50°或110°. 16.2　【解析】　如图,过点C作GH⊥x轴,交x轴于G,过D作DH⊥GH于H.∵A(0,2),B(1,0),∴OA=2,OB=1,∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∴∠ABO+∠CBG=90°,∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠CBG=∠OAB,∵∠AOB=∠BGC=90°,∴△AOB≌△BGC,∴BG=OA=2,CG=OB=1,∴C(3,1).同理得△BCG≌△CDH,∴CH=BG=2,DH=CG=1,∴D(2,3).∵点C在抛物线y=x2+bx-1上,把C(3,1)代入得b=-,∴y=x2-x-1.设D'(x,y),由平移得D与D'的纵坐标相同,则y=3.当y=3时,x2-x-1=3,解得x1=4,x2=-3(舍去),∴DD'=4-2=2,则点D与其对应点D'间的距离为2. 17.【解析】　(1)连接AC,∵AB=6cm,AD=8cm,∴AC=10cm, ∴点B在☉A内,点C在☉A外,点D在☉A上. (2)∵以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,∴☉A的半径r的取值范围是6cm<r<10cm. 18.【解析】　(1)以桥孔的最高点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设水面与抛物线的交点分别为A,B,水面上升1m后,与抛物线的交点分别为C,D. 由题意知A(3,-3),B(-3,-3),设抛物线的表达式为y=ax2, 把点B坐标代入,得9a=-3,解得a=-,所以抛物线的表达式为y=-x2, 当y=-2时,-x2=-2,解得x=±,故暴雨后水面的宽度为2m. (2)由(1)知,当x=2时,y=-,因为--(-2)=>0.5,所以暴雨后这艘船能从桥下通过. 19.【解析】　(1)连接OD,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°, ∴∠ADE+∠BDO=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°. ∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A. (2)连接CD.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE. ∵BC是☉O的直径,∠ACB=90°,∴EC是☉O的切线, ∴ED=EC,∴AE=EC. ∵DE=10,∴AC=2DE=20, 在Rt△ADC中,DC==12, 设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122, 在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202, ∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9, ∴BC==15. 20.【解析】　(1)①∵m=2,∴抛物线的表达式为y=x2-2x+n. ∵x=-=1,∴抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=1时,y=1-2+n=n-1,∴顶点的纵坐标为n-1. ②x2<-2或x2>4 ∵抛物线的对称轴为直线x=1,开口向上, 直线x=-2到直线x=1的距离为3, 点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2>y1,∴x2的取值范围是x2<-2或x2>4. (2)∵点P(-1,2),向右平移4个单位长度,得到点Q, ∴点Q的坐标为(3,2). ∵n=3,∴抛物线为y=x2-mx+3. 当抛物线经过点Q(3,2)时,32-3m+3=2,解得m=; 当抛物线经过点P(-1,2)时,(-1)2+m+3=2,解得m=-2; 当抛物线的顶点在线段PQ上时,=2,解得m=±2. 分别画出y=x2-x+3,y=x2-2x+3,y=x2+2x+3的图像及线段PQ,如图所示, 结合图像可知,m的取值范围是m≤-2或m=2或m>. 21.【解析】　(1)如图,连接BD,∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=45°, ∴∠ABD=∠ACD=45°,∠DAB=∠DCB=45°, ∴△ADB是等腰直角三角形. ∵AB=10,∴AD=BD==5. 在Rt△ACB中,AB=10,BC=5, ∴AC==5. (2)直线PC与☉O相切.理由如下: 如图,连接OC.在Rt△ACB中,AB=10,BC=5, ∴∠BAC=30°. ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,∴∠COB=60°. ∵∠ACD=45°,∴∠OCD=45°-30°=15°, ∴∠CEP=∠COB+∠OCD=60°+15°=75°. ∵PC=PE,∴∠PCE=∠CEP=75°, ∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°, ∴直线PC与☉O相切. 22.【解析】　(1)把A(0,8),B(-4,0)代入y=-x2+bx+c得 解得 ∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+8. 当y=0时,-x2+x+8=0,解得x1=-4,x2=8, ∴点C的坐标为(8,0). (2)①如图,连接OF,DF,设F(t,-t2+t+8), ∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF, ∴S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD=×4×t+×8×(-t2+t+8)-×4×8=-t2+6t+16=-(t-3)2+25. 当t=3时,△CDF的面积最大,最大值为25, ∵四边形CDEF为平行四边形, ∴S的最大值为50. ②18. ∵四边形CDEF为平行四边形, ∴CD∥EF,CD=EF. ∵点C向左平移8个单位长度,再向上平移4个单位长度得到点D, ∴点F向左平移8个单位长度,再向上平移4个单位长度得到点E,即E(t-8,-t2+t+12). ∵E(t-8,-t2+t+12)在抛物线上, ∴-(t-8)2+t-8+8=-t2+t+12,解得t=7, 当t=7时,S△CDF=-(7-3)2+25=9, 此时S=2S△CDF=18. 23.【解析】　解:(1)∵点A是抛物线y=-x2+bx上的一点, 把点A代入y=-x2+bx中,得-32+3b=, 解得b=. ∴抛物线的表达式为y=-x2+x. (2)由(1),得y=-x2+x=-. ∴抛物线最高点的坐标为. (3)如图,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别是E,D, ∵∠BOD=∠AOE, ∠BDO=∠AEO=90°, ∴△OBD∽△OAE. ∴==. 又∵B是OA的三等分点, 且OB<BA, ∴=. ∵A, ∴AE=,OE=3. ∴==. 解得BD=. ∵==, 解得OD=1. ∴点C的横坐标为1. 将x=1代入y=-x2+x中,得y=-12+×1=. ∴点C的坐标为. ∴CD=. ∴CB=CD-BD==2. 答:这棵树的高度为2. 24.【解析】　解:(1)把B(3,m)代入y=x+2,得m=3+2=5. ∴B(3,5). 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8. (2)设P(t,-t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0). ∵PE=2ED, ∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2). 解得t=1或t=-2(此时点P不在直线AB上方,舍去). ∴点P的坐标为(1,9). (3)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半.点M的坐标为或或或. 解法提示:过点M作MK∥y轴交直线AB于点K,过点B作BE⊥MK,延长MK交x轴于点F,如图. 在y=-x2+2x+8中,令y=0得0=-x2+2x+8, 解得x=-2或x=4. ∴A(-2,0),C(4,0).∴AC=6. ∵B(3,5), ∴S△ABC=×6×5=15. 设M(m,-m2+2 m+8),则K(m,m+2). ∴MK== . ∴S△ABM=MK· =×5 =. ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半, ∴=×15. ∴=3. ∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3. 解得m=或m=. ∴M的坐标为或或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$