精品解析：河南省开封市2024-2025学年下学期九年级第一次数学试题试卷

2024－2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解： 米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 3. 据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：6100亿， 故答案为：C． 4. 如图，直线 ， 相交于点，射线平分．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的定义，熟练掌握角平分线的定义以及对顶角的定义是解此题的关键．由对顶角的定义可得出，再利用角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解： 直线 ， 相交于点， ， 射线平分， ， 故选：B． 5. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图， 是半圆的直径，点 是半圆的中点，则 的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 连接 ，得到，，继而得出. 【详解】解：如图，连接 ， 是半圆的直径， ， 点 是半圆的中点， ， ， ， 故选：C. 7. 若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】解： 关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 8. 中国邮政于2022年12月25日发行《中国空间站》纪念邮票一套4张（除正面内容不同外，其余均相 同），如图所示，邮票表现内容分别为：①天地往返；②空间科学；③出舱活动；④太空家园．集邮爱好 者小明收集了这四张纪念邮票，现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张邮票，则他抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键. 列表，得到 种等可能的情况，其中抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的情况有种，根据概率公式计算即可得到答案. 【详解】解：列表如下， 共有 种等可能的情况，其中抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的情况有种， 抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的概率为， 故选：B. 9. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断的符号，由图像与轴的交点判断 的正负情况，再结合一次函数的性质解答． 【详解】解： 二次函数的开口向上， ， 一次函数中，随 的增大而增大， 抛物线的对称轴直线在轴左侧， ， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ， 一次函数交于轴的负半轴， 一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 10. 如图（1），在正方形中，点是对角线 上 一动点，点 是 上的点，且． 设，，已知与 之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设 ，则，，在中，由勾股定理求出，得到 ，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点 ， 关于直线 对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又 ， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设 ，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校七年级共有 名学生报课后兴趣班（每名学生只报一个兴趣班），其中有一半学生报的是绘画班，则 报其余兴趣班的学生共_______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键. 根据题意列代数式即可. 【详解】解：根据题意报其余兴趣班的学生为（名）， 故答案为：. 12. 二元一次方程组的解为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， ， 将 代②得：， ， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 13. 在《数书九章》第十二卷中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四 石到廊，验得米内 夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲 知米内杂谷多少？”大意是：粮仓开仓纳粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内掺杂谷约为_______石（结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体的方法的应用，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键. 根据题意得到抽样结果，计算即可得到答案. 【详解】解：根据题意这批米内掺杂谷约为（石）， 故答案为：. 14. 如图， 是 的切线，B为切点，连接交 于点C，延长交 于点D，连接 ．若 ，且，则 的长度是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含直角三角形的性质，勾股定理，连接，设 的半径为，根据， ，得，结合切线的定义可知，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 设 的半径为， ∵， ， ∴， ∵ 是 的切线， 为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， ∴ ， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，，点O为对角线 的中点，连接 ．当是直角三角形时， 的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． 分两种情况：当，得到 是等边三角形，即可解题；当时利用正切的定义求解即可． 【详解】分两种情况讨论： ①当时，如图（1），垂直平分 ， ， 又∵ 是等边三角形， ； ②当时，如图（2）， 则； 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简；． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先乘方，求立方根，再利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）先进行括号内计算，再计算除法即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 17. 某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据如下统计图表． 乙种大豆亩产量统计表 亩产量/kg 频数 1 a b （1）填空： ， ． （2）根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量W（单位：）落在 范围内的可能性最大（填选项）． A． B． C． （3）从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由． 【答案】（1）3，4 （2）C （3）选择种植乙种大豆． 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表、折线统计图、方差等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据折线统计图确定、的频数即可解答； （2）根据落在哪个组的频数最多判断即可； （3）从离散程度判断即可． 【小问1详解】 解：根据折线统计图可知：的频数为3，的频数为4， 所以． 故答案为：3，4． 【小问2详解】 解：∵的频数最大， ∴落在范围内的可能性最大． 故选C． 【小问3详解】 解：甲波动明显，乙比较稳定，则大豆产量的稳定性的角度来看，选择种植乙种大豆． 18. 如图， 是 中 边上的高． （1）利用尺规作 中边上的高 ，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求证：． 【答案】（1）解：如图， 即为所求； （2）证明：∵BD和CE是△ABC的高， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的高，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）以C为圆心，适当长度为半径画弧，交于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，最后作射线 ，交 于点O，即为所求； （2）根据三角形高的定义可得，，由可得，证明得到，，推出 ，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E 处用测角仪测得圭表塔最高点B 处的仰角为，组员乙从点M 处沿台阶上至第4级，在点D 处测得圭表塔最高点 B 处的仰角为，用卷尺测得每级台阶宽为， 高为，点 M，E 之间的距离为． 求圭表塔的高度（ 点M，C，B，A 在同一竖直平面内， ，， 结果精确到 ．参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键； 过点A作于点N，过点C作于点P，延长 交于点H，根据等腰三角形的判定可得，设，，，根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点N，过点C作于点P，延长 交于点H， 由题意知，，， ，，，， ， ， ， 设， 则，， 在中，， ， ， ； 答∶圭表塔的高度约为． 20. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和 个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于 的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】（1） （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， ； 【小问2详解】 解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形 中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F 在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在上． （1）求a，k 的值； （2）判断点B是否在圆弧上，并说明理由； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和 【答案】（1） ， ； （2） 点B在圆弧上， 理由： 一次函数、反比例函数的图象均关于原点O对称， 它们的交点A、B关于原点O对称， ， 点B在圆弧上； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质及扇形面积的公式． （1）将点A 的坐标代入，求得a，进而可求k； （2）根据一次函数及反比例函数图象的中心对称性质即可得结论； （3）把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得 ， ， 将代入， 得 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 ， 在直线上， ， ，， 设 ，则 ， ， ， ， ， ，， ， ． 22. 窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式．如图（1）是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可 视为抛物线的一部分．小明以水平地面为x 轴、拱形窑门的左边缘所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，如图（2），经测量，拱形窑门的宽度 为 ， 矩形门框的高度为 ， 且其两侧的宽度相等 （ 即）．已知拱形窑门的最高点到地面的距离为， 横梁在 上方，且到 的距离为，， 直线 过点D． （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； （2）求横梁的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 四边形为矩形， ， 直线过点D,且, ， 由题意知，，抛物线的最高点到 轴的距离为3.5， 抛物线的顶点坐标为， 设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， 故拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解： 横梁到 的距离为， 点的纵坐标均为， 将代入， 得， 解得，， 即点 的横坐标为 ， 点 的横坐标为， ， 故横梁的长度为． 23. 新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O， ． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交 边于点E，交边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形 ） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是 的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分 ，点 P 在上，点E，D 分别是 ， 上的动点，且 ，当点D，E 分别在 ， 上运动时，试判断四边形 的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ， ，，，点E为边上一点，且平分 ， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在 上时，点F 恰好为 的三等分点，请直接写出m 的值． 【答案】[操作判断] ①不变；②不变； [探索发现] ①平分线；② ； [迁移探究]不变，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为 ，， 则 ， ， ， ， ， 平分 ，，， ， ， ，， ， ， 为定值， 故四边形的面积不发生变化； [拓展应用]的值为7或8 【解析】 【分析】[操作判断] ①作 于，作 于，设与 交于点，与 交于点，根据正方形的性质证明，即可得结论；②取 的中点 ，连接，得 是等边三角形，证明 ， ，得，，进而可得不变这一结论； [探索发现] ①由正方形、菱形的性质即可得线是 的平分线；②由正方形、菱形的性质即可得 ； [迁移探究] 过点作，，垂足分别为 ，，证明 ，进而可证明 ，利用面积和差可得结论； [拓展应用]根据上面所得结论，过点作，垂足为 ，过点作，垂足为，可得，证明 ， ，求得，进而可得 ， 分以下两种情况讨论：当点 是靠近点 的三等分点时，当点 是靠近点 的三等分点时，结合图形求解即可． 【详解】解：[操作判断] ①不变；理由如下： 作 于，作 于，设与 交于点，与 交于点， 由题意可得，正方形中， 平分 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； ②不变； ， 又菱形中， ， ， 是等边三角形， ， 如图，取 的中点 ，连接， 是 的中位线， ， ， ， 则 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； [探索发现] ① 四边形是正方形， 平分 ； 四边形是菱形， 平分 ； 故答案为：平分线； ②在图（1）中， ， ， 在图（2）中， ， ， 故答案为： ； [迁移探究] 略 [拓展应用] 解：的值为7或8； 平分 ， ， ， ， ， ， ， ； ， 过点作，垂足为 ，过点作，垂足为， 可得， 同上可证明 ， ， ， ， ， ， 分以下两种情况讨论： 如图，当点 是靠近点 的三等分点时，， ，则 ； 当点 是靠近点 的三等分点时，， ，则 ， 综上所述，的值为7或8． 【点睛】本题是三角形、四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质和判定、菱形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 3. 据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线 ，相交于点，射线平分．若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A. B. C. D. 6. 如图， 是半圆的直径，点 是半圆的中点，则 的度数为 （ ） A. B. C. D. 7. 若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 全体实数 8. 中国邮政于2022年12月25日发行《中国空间站》纪念邮票一套4张（除正面内容不同外，其余均相 同），如图所示，邮票表现内容分别为：①天地往返；②空间科学；③出舱活动；④太空家园．集邮爱好 者小明收集了这四张纪念邮票，现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张邮票，则他抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图（1），在正方形中，点是对角线 上 一动点，点 是 上的点，且． 设，，已知与 之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校七年级共有 名学生报课后兴趣班（每名学生只报一个兴趣班），其中有一半学生报的是绘画班，则 报其余兴趣班的学生共_______名． 12. 二元一次方程组的解为_______ 13. 在《数书九章》第十二卷中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四 石到廊，验得米内 夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲 知米内杂谷多少？”大意是：粮仓开仓纳粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内掺杂谷约为_______石（结果保留整数）． 14. 如图， 是 的切线，B为切点，连接交 于点C，延长交 于点D，连接 ．若 ，且，则 的长度是 ______． 15. 在中，，，点O为对角线 的中点，连接 ．当是直角三角形时， 的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简；． 17. 某农场选育大豆种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在农场建了16块试验田，分别用8块试验田种植甲、乙两种大豆，得到其亩产量数据如下统计图表． 乙种大豆亩产量统计表 亩产量/kg 频数 1 a b （1）填空： ， ． （2）根据统计表，若该农场选择种植乙种大豆，则其亩产量W（单位：）落在 范围内的可能性最大（填选项）． A． B． C． （3）从大豆产量的稳定性的角度来看，你认为该农场应选择种植哪种大豆？简述理由． 18. 如图， 是 中 边上的高． （1）利用尺规作 中边上的高 ，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求证：． 19. 圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E 处用测角仪测得圭表塔最高点B 处的仰角为，组员乙从点M 处沿台阶上至第4级，在点D 处测得圭表塔最高点 B 处的仰角为，用卷尺测得每级台阶宽为， 高为，点 M，E 之间的距离为． 求圭表塔的高度（ 点M，C，B，A 在同一竖直平面内， ，， 结果精确到 ．参考数据：，，）． 20. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和 个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于 的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形 中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F 在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在上． （1）求a，k 的值； （2）判断点B是否在圆弧上，并说明理由； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和 22. 窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式．如图（1）是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可 视为抛物线的一部分．小明以水平地面为x 轴、拱形窑门的左边缘所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，如图（2），经测量，拱形窑门的宽度 为 ， 矩形门框的高度为 ， 且其两侧的宽度相等 （ 即）．已知拱形窑门的最高点到地面的距离为， 横梁在 上方，且到 的距离为，， 直线 过点D． （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； （2）求横梁的长度． 23. 新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O， ． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交 边于点E，交边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形 ） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是 的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分 ，点 P 在上，点E，D 分别是 ， 上的动点，且 ，当点D，E 分别在 ， 上运动时，试判断四边形 的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ， ，，，点E为边上一点，且平分 ， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在 上时，点F 恰好为 的三等分点，请直接写出m 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $