7 正切函数-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

高中同步讲练测·一线调研 数学·必修第二册·BS 反愈感悟研究函数y-Asin(xr十)的 #0} (2)求/(x)在区间 上的最大值和最 性质,主要运用整体代换的思想,将(r十c)视为 小值. 一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y一sinx 的性质, ◇巩练3已知函数f(.x)=2/2sin(ur-) (>0)的最小正周期是x. (1)求; 87 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式 夯实·必备知识 乙知识清单 为切,如涉及sina,cosa的分式问题,常采用分子 一、正切函数的定义 分母同除以cos*a(nEN.),将被求式化为关于 1.定义 tana的式子. sin工是x的函数,称为 二、正切函数的诱导公式 根据函数的定义,比值 cos7 tan(kπ十a)=tana(bEZ);tan(-a)= r的正切函数,记作y一tanx,其中定义域为 -tana;tan(π十a)-tana;tan(r-a)=-tana; #ER{ 2.正切函数值在各象限中的符号 名师点拨1.正切函数的诱导公式可以 由正切函数的定义知:当角a的终边在第一 用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变 和第三象限时,正切值为正;当角a的终边在第二 偶不变,符号看象限” 和第四象限时,正切值为负 2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步 拨1.若一个角的某一个正切函 骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相 数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的 同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值” 位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定 即由未知转化为已知的化归思想, 这个角所在的象限或终勃所在的位置,然后分不应 3.诱导公式用角度制和狐度制表示都可以,运 的情况求解。 用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的 2.化简三角函数式的常用技巧 选取. 减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦 .22. 第一章 三角函数 精研·核心题型 题型一 正切函数定义的应用 题型二 利用正切函数的诱导公式求值 例1已知角a的终边经过点P(-4a,3a)(a 0),求sina,cosa,tana的值. ( ~ # .-# 2π 一t+tan= +tan 3π (2)tan 5 十tan 反思感悟利用正切函数的诱导公式求 值问题的处理方法 (1)正切函数的诱导公式通常结合已知角求 值,即“知角求值”,关键是利用诱导公式将任意角 的正切函数值转化为锐角,通常是特殊角的正切 函数值. (2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知 角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值. 反思感悟利用正切函数的定义求值的 策略 (1)已知角a的终边在直线上求a的正切函数 tan(}a)等于 7_~ 值时,常用的解题方法有以下两种: A.5 B.-5 方法一,先利用直线与单位圆相交,求出交点 C.25 坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函 D.0 数值. (2)求值: tan 225*+tan750* 'tan(-30*)-tan(-45)· 方法二,注意到角的终边为射线,所以应分两种 情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角 Va十6{ 一,正切函数值tana= 6 {十6{} (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给 出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类 讨论。 巩固调练1已知角a的终边经过点P(x. -6),且tana二- .23. 高中同步讲练测·一线调研 数学·必修第二册·BS 题型三 利用正切函数的诱导公式化简或证明 用正切函数的诱导公式化简、证明的总体 例3求证: 原则: tan(2π-a)sin(-2r-a)cos(6π-a) (1)“切化弦”,函数名称尽可能化少, --tana. cos(a-n)sin(5r-a) (2)“大化小”,角尽可能化小, C巩固训练3化简: sin(n十x)·cos(n-x)·tan(-x) sin(5r-x)·tan(8-x)·cos(x-3) 反思感悟求正切函数值的流程图 任意角的正 0~2π的角的 锐角的正 正切函数值 切函数值 切函数值 7.3 正切函数的图象与性质 夯实·必备知识 乙知识清单 一、正切函数的图象 的图象无对称轴, 1.正切函数v三tanx的图象; 二、正切函数的性质 y 函数 y-tan] R t”,后乙 定义域 。 值域 施_ 奇偶性 奇函数 单调递增区间:(-十=,十6x) 单调性 2.正切函数的图象称作正切曲线。 7 3.正切函数的图象特征:正切曲线是被相互平 单调递减区间:无 周期性 最小正周期是x 十,Z所隔开的无穷多支曲 图象的 (#2)67 线组成的,这些直线称作正切曲线各支的渐近线 对称中心 要点笔记正切函数是奇函数,图象关于 名师点拨1.正切函数y=tan:的最小 原点对称,与工轴有无数个交点,因此有无数个对 正周期是x一般地,函数y一Atan(ox十)(A .24. 第一章 三角函数 2.正切函数无单调递减区间,在每一个单调区 二 间内都是单调递增的,并目每个单调区间均为开区 间,不能写成闭区间 精研·核心题型 题型一 与正切函数有关的函数的定义域与值 巩固训练1函数/(x)--2tan (2)的 域问题 定义域是 _ 例1求下列函数的定义域和值域; #.-#} (1)/(c)-tan(-)# 1.{} (2)/(x)-③-tanx. 题型二,正切函数的图象及其应用 例2解不等式tanx二-1. 反思感悟求与正切函数有关的函数的 定义域的方法及注意事项 求与正切函数有关的函数定义域时,除了求函 数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y tanx有意义,即x学十kπ,Z乙.而对于构建的 三角不等式,常利用正切函数的图象求解, 解形如tanx一a的不等式的步骤 作在区间(-,)上的正切函数图象 在区问(-号,)上使tanx-a成立的 x值 反愈感悟利用正切函数图象解不等式 求在区间(-,)上使tanx>a成立的 的方法 x的范围 解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形 结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包 根据正切函数的周期性,写出定义域 含端点值,切记正切函数的最小正周期为x ·25. 高中同步讲练测·一线调研 数学·必修第二册·BS 190-与tan8 23的大小; 巩眉调练2(1)求满足-3<tanx<1的x 巩固训练3(1)比较tan 的取值集合; (2)求函数y-3tan({-2x)的单调区间. (2)求不等式tan(2x+=)二-1的解集. 题型四 与正切函数有关的函数的周期性、奇 题型三 正切函数的单调性及应用 偶性问题 1。 (2+)1的 ( 单调递增区间为 ) A.(2-,2+)6 周期; (2)判断函数y=f(x)一sinx十tanx的奇 B.(22+)6 偶性. C.(4-,4+)#6 D.(4u#,) 6 (2)下列各式中正确的是 ( ) A. tan 735*>tan 800” B. tan1>-tan 2 C. tan7 4π D. tan ## 感悟与正切函数有关的函数的周 感悟运用正切函数的单调性比较 期性,奇偶性问题的解决策略 大小的方法 (1)一般地,函数y一Atan(ax十)的最小正 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 周期为T-. 一单调区间内: (2)运用单调性比较大小. 周期. .26. 第一章 三角函数 < A.4 B.3 C.2 (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域, D.1 判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无 tanπ是 (2)函数f(x)一 ( 1十cosx _~ 奇偶性,若对称,再判断f(一x)与f(x)的关系. ◇巩练4(1)已知函数/(x)-3tan(ux-) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 88 三角函数的简单应用 夯实·必备知识 知识清单 于解出的结果要代入原问题中进行检验 名师点拨1.三角函数模型的作用 解答三角函数应用题的基本步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步, 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种 审题,建模,解模,回归实际问题 数学模型,可以用来研究很多间题,在刻画周期变化 1.审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解。 规律、预测未来等方面发挥着重要作用. 翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述 2.三角函数模型的三种模式 的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预 在现实生活中,许多变化的现象都具有周期 测所属数学模型,有些问题中采用即时定义解释某 性,因此,可以用三角函数模型来描述,如气象方面 些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时, 有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物 注意挖掘一些隐含条件. 理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情 2.建模:在细心阅读与深人理解题意的基础 绪、智力、体力的变化等,研究这些应用问题,主要 上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为 有以下三种模式:(1)给定呈周期变化规律的三角 数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角 函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解 函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实 决一些实际问题;(2)给定呈周期变化的图象,利用 际问题的要求,这样便将实际问题转化成了数学 待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题; 问题. (3)搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出 3.解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运 散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变 算,使问题得到解决 化规律的函数解析式,进一步用函数性质来解决相 4.回归实际问题,应用问题不是单纯的数学问 应的实际问题. 题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对 精研·核心题型 题型一 已知三角函数解析式解决实际问题 动的周期是1s时,线长/等于 ( A 例1一根长/cm的线,一端固定,另一端悬 挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间1(s)的函数关系式是s C._ ### 3cos ·27.