6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

高中同步讲练测·一线调研丨数学·必修第二册·BS 题型六求与余弦函数有关的函数的值域与最 c0sx,将原函数转化为关于t的二次函数，利用配 值问题 方法求值城或最值即可，求解过程中要注意t=cos 例6(1)设M和m分别是函数y= x的有界性。 3cos z-1 O巩固调练6已知函数y=2cosx的定义域为 的最大值和最小值，则M十m= (2)函数y-cos2x一4cosx+5的值域为 合，值域为[a,b],求6-a的值 反思感倍求与余弦函数有关的函数的 值域的常用方法 (1)求解形如y=acos x十b(a≠0)的函数的 最值或值城问题时，利用余弦函数的有界性 (一1≤cosx≤1)求解.求余弦函数取最值时相应 自变量x的取值集合时，要注意考虑余弦函数的 周期性. (2)求解形如y=acos2x十bcos x+c(a≠0) 的函数的最值或值城问题时，通过换元，令t= §6函数y=Asin(wx十p)的性质与图象 6.1探究w对y=sin wx的图象的影响 6.2探究p对y=sin(x十p)的图象的影响 6.3探究A对y=Asin(wx十p)的图象的影响 夯实·必备知识 私知识清单 y=sin wx图象上的所有点向左(p>0)或向右 一、三角函数的图象变换 (p<0)平移 里个单位长度得到的（可简记为左 1.左、右伸缩变换 “十”右“一”)， 函数y=sin wx的图象是将函数y=sinx图 即y=sin a 向左(>0)或向右（华<0） y=sin(ax). 象上所有的点的横坐标缩短到原来的二（当ω>1 平移卫个单位长度 3.上、下伸缩变换 时)或伸长（当0<仙<1时）到原来的二倍（纵坐标 函数y=Asin(awx十p)(A>0)的图象是将函 不变)得到的，即y= 数y=sin(wz十p)图象上的每个点的纵坐标伸长 纵坐标不变，横坐标 (当A>1时)或缩短（当0<A<1时）到原来的 sin x 缩短到原来的上a>1D或伸长(0<仙<I)到原来的】 A倍（横坐标不变）得到的，即 横坐标不变，纵坐标 sin wx. y=sin(ar十9) 伸长(A>1)或缩短(0<A<1D到原来的A倍 2.左、右平移变换 y=Asin(wx+o). 函数y=sin(x十g)的图象，可以看作将函数 ·18· 第一章三角函数 4.上、下平移变换 三、函数y=Asin(ux十p)(A>0,m>0,x∈R)的 函数y=Asin(ax+p)十b的图象，可以看作 性质 是把函数y=Asin(ar十p)图象上的所有点向上 1.定义域：R (当b>0时)或向下（当b<0时）平移|b|个单位长 2.值域：[-A,A] 度得到的（可简记为上“+”下“一”），即 y=Asin(ax)- 向上(6>0)或向下(6<0) 3.周期：周期函数，最小正周期T=2 平移b|个单位长度 4.奇偶性：当9=kπ，k∈Z时，函数y y=Asin(aux+o)+6. 名师念拔函数y=Asin(ux十p)十 Asin(x十p)是奇函数：当g=受十kx,k∈Z时， b(A>0,m>0)中，参数A,m,中，b的变化引起图 函数y=Asin(ar十p)是偶函数：当g≠经，k∈Z 象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵 向伸缩变换；仙的变化引起周期的变换，即横向伸 时，函数y=Asin(z十p)既不是奇函数，也不是 缩变换；P的变化引起左右平移变换；b的变化引 偶函数。 起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右 5.单调性：函数y=Asin(aux十9)(A>0,w> 减，上加下减” 二、A,w,p对函数y=Asin(ax十p)的影响 0,x∈R)的单调递增区间可由一2+2张x≤r十 1.在函数y=sin wx(w>0)中，w决定了函数 9≤受十2x,k∈乙解得：单调递诚区间可由受十 的周期，T=是函数y=sin r的最小正周期， 2k<x十g<经+2x,k∈Z解得.当u<0时， 适常称周期的倒数宁一公为频率 求单调区间一定要运用诱导公式将x的系数化为 2.在函数y=sin(wx十p)中，g决定了x=0 正，然后结合函数式求解. 时的函数值，通常称9为初相，z十p为相位. 名师念我1.一般情况下，w的值是唯一 3.在函数y=Asin(ux十p)(A>0)中，A决定 了函数y=Asin(ar十p)的值域以及函数的最大值 确定的，但9的值是不确定的，它有无数个，如果 和最小值，通常称A为振幅. 求出的？值不在指定范国肉，可以通过加说行的 名师念我1.A,w,9对函数y 整数倍达到目的. Asin(ax十g)(A>0,w>0)的图象的影响. 2.正弦函数、余弦函数图象的两个相邻的对称 (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值 中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的 与A是正比例关系. 一个周期，而是半个周期。 (2)w越大，函数的周期越小，w越小，函数的 四、函数y=Asin(wx十9)(A>0,w>0,x∈R)的 周期越大，周期与仙为反比例关系. 图象 (3)9大于0时，函数图象向左平移，9小于0 时，函数图象向右平移，即“左加右减” 用五点法作函数y=Asin(wx十p)的图象. 2.当A<0,或w<0时，应先用诱导公式将x (1)确定函数的最小正周期T=2示 的系数或正、余弦函数符号前的数化为正数，再确 元3 定初相.如函数y=一sin(2x-牙)的初相不是 (2)令x十9分别等于0,2，元，2,2r,确定 该函数的五个关键点. 4 列表如下： ·19· 高中同步讲练测·一线调研」数学·必修第二册·BS 3π x十9 0 名师念钱由y=sinx变换得到y 2 2 π一22 π一9 3π-2g 2π一9 Asin(az十P)(A>0,w>0,x∈R)的方法 2w u 2w 四 (1)先平移后伸缩： 0 A 0 -A 0 向左（右） 横坐标缩短或伸 函数y=sinr+p长到原来的而 这五个点为P(小P(2A小： 函数y=sin风平移 的图象 个单位的图象 纵坐标不变 长度 纵坐标变为 )A)P) 函数y=Asin(aωx+p) 愿来的A倍函数y=sin(ox+p 的图象 横坐标不变的图象 其中P,P,P,均为零点（图象与x轴的交 (2)先伸缩后平移： 横坐标缩短或伸 点)，P2是最大值点，P,是最小值点 函数y=sin长到原来的高函数y=sinu风向左（右）平移 (3)描点连线，作出函数在一个周期上的图象， 的图象 纵坐标不变的图象 个单位长度 纵坐标变为 再向左、右无限扩展，得到y=Asin(wx十p)(A> 函数y=Asin(x+p) 原来的A倍函数y=sin(ox+p 0,m>0,x∈R)的图象. 的图象 横坐标不变「 的图象 精研·核心题型 题型一用“五点法”作函数y=Asin(wx十p) wx十9 0 3π 2 2 2元 的图象 3π2 例1用“五点法”作函数y=2sim2z-), 2π9 20 w u 2w x∈R的图象. 0 A 0 -A 0 第二步，在同一坐标系中描出各点。 第三步，用光滑曲线顺次连接这些点，得到 图象 ◇州周测练1用“五点法”作函数y=2sin(x一 )十3的图象，并写出函数的定义域，值域、周期、 频率、初相、最值、单调区间。 反®感倍“五点法”作函数y Asin(wx十p)图象的实质和步骤 (I)实质：利用“五点法”作函数y=Asin(ax十p) 的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画 出函数在一个周期内的图象 (2)步骤： 第一步，列表 ·20· 第一章三角函数 题型二正、余弦函数的图象变换 以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方 法来进行变换. 例2已知函数f(x)=3sin 2-》 (2)当相应的变换函数名不同时，先利用诱导 x∈R. 公式将函数名化相同，再利用相应的变换得到 (1)列表并画出函数f(x)在一个周期内的 结论 简图； (2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可 ◇州周满练2为得到函数y=2sin(2x-)的图 得到函数f(x)的图象？ 象，只需将函数y=2Cosx的图象上所有点() A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再 1-2 向左平移个单位长度 B.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再 -2 --4 向右平移牙个单位长度 C纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，再向 左平移个单位长度 8 D,纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，再向 右平移个单位长度 题型三研究函数y=Asin(ox十p)的性质 例3已知函数f(x)=2sin(2x十9) （仁<9<）的图象过点01. 反思感情正、余弦函数图象的变换方法 (1)求函数f(x)的最小正周期及9的值； (1)对于函数y=Asin(wx十p)十b(A>0, (2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自 w>0,9p≠0，b≠0)，其图象的基本变换有四种. 变量x的取值集合； ①振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起 (3)求函数f(x)的单调递增区间. 的.当A>1时其函数图象上每个点的纵坐标伸 长；当0<A<1时其函数图象上每个点的纵坐标 缩短.②周期变换（横向伸缩变换）：是由，的变化 引起的.当w>1时其函数图象上的所有点的横坐 标缩短：当0<w<1时其函数图象上的所有点的 横坐标伸长.③相位变换（横向平移变换）：是由9 的变化引起的，当P>0时其函数图象上的所有点 向左平移：当P<0时其函数图象上的所有点向右 平移.④上下平移（纵向平移变换）：是由b的变化 引起的.当b>0时其函数图象上的所有点向上平 移：当b<0时其函数图象上的所有点向下平移.可 ·21· 高中同步讲练测·一线调研丨数学·必修第二册·BS 友息感倍>研究函数y=Asin(awr十g)的 (2)求f(x)在区间 0, 2 上的最大值和最 性质，主要运用整体代换的思想，将(wx十p)视为 小值. 一个整体来研究，但首先要掌握和熟记y=sinx 的性质. ◇巩固训练3已知函数f(x)=2,2 sin-一 (w>0)的最小正周期是π. (1)求w: §7 正切函数 7.1正切函数的定义 7.2正切函数的诱导公式 夯实·必备知识 私知识清单 为切，如涉及sina,cosa的分式问题，常采用分子 一、正切函数的定义 分母同除以cosa(n∈N+),将被求式化为关于 1.定义 tana的式子. 二、正切函数的诱导公式 根据函数的定义，比值识是工的函数，称为 tan(kr十a)=tana(k∈Z)；tan(-a)= x的正切函数，记作y一tanx,其中定义域为 -tan a;tan(x+a)=tan a;tan(x-a)=-tan a; ∈R≠2+x,k∈z. 2.正切函数值在各象限中的符号 名师念我1，正切函数的诱导公式可以 由正切函数的定义知：当角a的终边在第一 用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变 和第三象限时，正切值为正；当角α的终边在第二 偶不变，符号看象限” 和第四象限时，正切值为负 2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步 名师念拔1.若一个角的某一个正切函 骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相 数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的 同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”， 位置没有给出，首先要根据已知的正切函数值确定 即由未知转化为已知的化归思想， 这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同 3.诱导公式用角度制和弧度制表示都可以，运 的情况求解。 用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的 2.化简三角函数式的常用技巧 选取. 减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦 ·22·