5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

第一章三角函数《 题型三诱导公式在三角形中的应用 题时，要注意充分利用诱导公式· (2)在三角形中，当cosC=cosB时，一定有 例3在△ABC中，若sin A+B-C 2 C=B;若sinC=sinB,也一样能得到C=B. sin A-B+C 试判断△ABC的形状 ◇州固测练3在△ABC中，求证： (1)sin(2A+B+C)=-sin A; A+B C (2)sin 2 二cos2 反思感倍三角形中隐藏的两点内容 (1)在△ABC中，有A+B+C=π， A+B+C 2 合，因此在解决三角形中的正弦西数、余弦西教问 §5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 夯实·必备知识 氢知识清单 线，如图所示。 一、正弦函数的图象 3红 5 1.正弦函数图象的作法 Z2红.3Z4元x (1)几何法：借助单位圆获得对应的正弦函 y=sinxx∈R 数值. (2)五点法：根据正弦曲线的基本性质，描出 名师念拔“五点法”中的“五点”是指函 数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交 0,0,(经1，(，0)，(，-1，(2x,0)这五个关 点.“五点法”只是画出y=sinx在区间[0,2π]上 键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到 的图象，若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上 正弦函数的简图. 的图象通过左右平移，每次平移2π个单位长度，得 2.正弦函数的图象 到y=sinx,x∈R的图象.这是作正弦函数以及 正弦函数y=sinx,x∈R的图象称作正弦曲 下一节余弦函数图象最常用的方法， ·11 高中同步讲练测·一线调研」数学·必修第二册·BS 二、正弦函数的性质 续表 函数 y=sin x 图象的 定义域 R 对称轴 工=受+kx,EZ 值域 [-1,1] 图象的 (kπ，0)，k∈Z 奇偶性 奇函数 对称中心 在区间2k一受，2kx+引，k∈乙上都单调 名师念找1.正弦曲线是中心对称图形， 递增： 其对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z,即正弦曲线与x轴 单调性 的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其对称轴是 在区间2元十，2kx 3π 2 ,k∈Z上都单调 递减 直线x一质x十受∈乙，对称箱垂直于x轴，且与正弦 周期性 最小正周期是2π 曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大（小）值， 当x=2张x+k∈Z时y取最大值1 2.判断函数奇偶性时，必须先检查定义城是不是 最值 关于原点的对称区间，如果是，再验证f(一x)是否等 当x=2kx十 3 2 ,k∈Z时，y取最小值一1 于一f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性；如果不 是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数 精研·核心题型 题型一用五点法作与正弦函数有关的函数的 (2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b), 图象 (受A+b,(,6),,-A+b小，2x,6b)五个点： 例1利用“五点法”画出函数y=一2十sinx, (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连 x∈[0,2π]的图象. 接起来 O巩周调练1作出函数y=一2sinx(0≤x≤ 2π)的图象。 反®感悟>用五点法画函数y=Asinx十b (A≠0)，x∈[0,2x]的图象的步骤 (1)列表： 3π x 0 2 个 2 2x y=sin z 0 -1 0 y=Asin x+b b A+6 6 -A+b 6 ·12· 第一章三角函数《 题型二根据正弦函数的图象求角的范围 题型三利用正弦函数图象判断方程根的个数 例3判断方程sinx=lgx根的个数. 例2利用正弦函数的图象，求满足 1 sinr≤的x的取值范围。 反息感悟利用正弦函数的图象求解 sinx≥a(≤a)的步骤 (1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象. (2)作直线y=a. (3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围. (4)根据正弦函数周期性确定最终范围， 反思愈色与正弦函数相关方程根的个 ◇巩個训练2求满足下列条件的角的集合， 数问题探究 1)smx≥号 (1)关于方程根的个数间题，往往运用数形结 2:2)sinx≤-2 合的方法，将函数根的个数问题转化为函数图象的 交点的个数问题 (2)正弦曲线上最高点的纵坐标都是1，最低 点的纵坐标都是一1，在作图时要注意这种有界性. (3)在利用图象研究方程根的个数时，作图要 精确，特别注意图象所经过的某些关键点是否 包含 ◇巩周训练3(2024·全国I卷)当x∈[0,2π] 时，曲线y=sinx与y=2sin(3x-）的交点个 数为 A.3 B.4 C.6 D.8 ·13· 高中同步讲练测·一线调研「数学·必修第二册·BS 题型四求与正弦函数有关的函数定义域问题 题型五与正弦函数有关的函数周期性、奇偶 例4求下列函数的定义域： 性问题 (1)y=√sinx; 例5函数y= Isin zl(1-sin x) 1-sin x (2)y=lg(2sin x-1). A.是奇函数，但不是偶函数 B.既是奇函数，又是偶函数 C.是偶函数，但不是奇函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 反思感倍>求与正弦函数有关的函数的 周期和判断奇偶性的方法 (1)求正弦函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解 ②图象法：通过观察函数图象求其周期。 (2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否 关于原点对称，再看f(一x)与f(x)的关系. 反®感悟>函数解析式有意义的一般 ◇巩固调练5若函数y=2sinx十a一1是R上 准则 的奇函数，则a的值为 () (1)分式中的分母不为0. A.-1 B.1 (2)偶次根式的被开方数非负 C.0 D.2 (3)y=x°要求x≠0. 题型六求与正弦函数有关的函数的值域与最 (4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不 值问题 等于1 例6(1)求函数y=3一2sinx的最大值和最 (5)实际问题中除考虑函数解析式有意义外， 小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值 还应考虑实际问题本身的要求。 时x的取值集合： ◇职固训练4求下列函数的定义域： (2)求函数y=sin2x十sinx-1的值域. (1)y-1-2sin (2)y=√2sinx+1. ·14 第一章三角函数《 危®感每求与正弦函数有关的函数的 函数的最值或值域，应利用换元法，结合正弦函数 的性质、二次函数的性质求解。 值域或最值的常用方法 (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判 ◇巩固调练6(1)函数y=sin2x-3sinx十2的 别式法等，而正弦函数是一种特殊的函数，其一般 最小值为 () 方法也适用，但要结合正弦函数本身的性质。 A.2 B.0 (2)求形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最 c-号 D.6 值或值域，一般利用正弦函数的有界性（一1≤ sinx≤1)求解，当b>0时，ymx=a十b;当b<0 (2)函数y=sin,x∈[天，2的值域为 63 时，ymsx=a一b. (3)求形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的 5.2 余弦函数的图象与性质再认识 夯实·必备知识 知识清单 正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度 一、余弦函数的图象 y 即可，这是利用诗导公式cosx=sin(红十2)得 y=cOs XXER 出的. 二、余弦函数的性质 函数 y=cos x 定义域 g 变 将正弦曲线y=sinx向左平移 乞个单位长度得到 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 法 先在平面直角坐标系内描出五个关键点，即 在区间[(2k一1)π，2kπ]，k∈Z上都单调 (0,1),受，0)，(，-1)，(，0)，(2x,1) 单调性 递增； 然后用光滑曲线将这五个点顺次连接起来 得y=cosx,xE[0,2π]的图象，最后向左、右 在区间[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上都单调 平移（每次平移2π个单位长度）得余弦函数 递诚 =cosx,xeR的图象 周期性 最小正周期是2x 名师念拔1，余弦函数图象中五点的 当x=2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大 确定 值1， y=cosx,x∈[0,2π]的图象上的关键五点分 最值 当x=(2k十1)π，k∈Z时，余弦函数取得最 为两类：(1)图象与x轴的交点：(2)图象上的最高 小值一1 点和最低点.y=cosx,x∈[0,2π]与x轴有两个 图象的 交点，即（受，0），(0小，图象上有两个最高点，即 x=kπ，k∈Z 对称轴 (0,1),(2,1),一个最低点（π，-1） 图象的 2.要得到余弦函数y=cosx的图象，只需把 对称中心 (kx+受，0小k∈z ·15·