4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

第一章三角函数《 §4正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 夯实·必备知识 么知识清单 [-1,1]. 3.它们都是周期函数，其周期都是2kπ(k∈Z, 一、任意角的正弦函数和余弦函数 且k≠0)，最小正周期都是2π. 1.单位圆：以单位长度为半径的圆称为单位圆。 2.单位圆中任意角的 4.正弦函数=如x在区间[2k元一，2张x十 正弦函数和余弦函数的定 义：给定任意角α，作单位 引∈2上单调递增，在区间2k+号2x+到， 2 圆，角α的终边与单位圆的 P(u,) k∈Z上单调递减；余弦函数u一cosx在区间 交点为P(u,v),点P的纵 [2kx一π，2kπ]，k∈Z上单调递增，在区间[2kx, 坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐 2kπ十π]，k∈Z上单调递减. 标v叫作角a的正弦值，记作v=sina;把点P的 名师念拔正弦函数和余弦函数都具有 横坐标u叫作角a的余弦值，记作u=cosa, 周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值 于是，在弧度意义下，对于a∈R,称v=sina 将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦 为任意角a的正弦函数，u=cos&为任意角a的余 函数值的对应关系是多角对一值的关系，即如果给 弦函数 定一个角，它的正弦函数值和余弦函数值只要存在 3.设角a终边上除原点外的一点Q(x,y),则 就是唯一的：反过来，如果给定一个正弦函数值或 sin a=y ,cosa=2,其中r=√+y, 余弦函数值，却有无穷多个角与之对应. 三、正弦函数值和余弦函数值的符号 名师念拔对正弦函数和余弦函数定义 正弦函数值和余弦函数值的符号是根据正弦 的理解 函数和余弦函数定义和各象限内的坐标符号确定 (1)正弦函数和余弦函数都是函数，它们满足 的.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；余 弦函数值的符号取决于横坐标x的符号.正弦函 函数的定义，可以看成是从角（弧度制）的集合到一 数值、余弦函数值在每个象限的符号如图所示。 个比值的集合的对应。 (2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的， 所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R (3)正弦函数和余弦函数是一个比值，也是一 个实数，这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的 sin a 位置无关，只由角α的终边位置决定，即正弦函数 名师点找 值和余弦函数值的大小只与角的大小有关 a为第一象a为第二象a为第三象a为第四象 类型 二、正弦函数、余弦函数的基本性质 限的角 限的角 限的角 限的角 根据正弦函数v=sinx和余弦函数u=cosx sin a 的定义，不难看出它们具有以下基本性质： 的符号 cos a 1.定义域都是R. 的符号 2.最大值都是1，最小值都是一1，值域都是 ·7· 高中同步讲练测·一线调研数学·必修第二册·BS 精研·核心题型 题型一根据正、余弦函数的定义求值 ⊙羽固调练1(2024·贵州模拟)已知角a的终 例1已知角a的终边过点（一4a,3a)(a 边经过点P(一3,1)，则cosa= () 0),求2sina十cosa的值. A罗 B.-V10 10 C.、3v1o 10 D.30 10 题型二正、余弦函数值的符号判断及应用 例2如果点P(sin0+cos0,sin9cos0)位于 第二象限，那么角日的终边所在的象限是() A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 反®感倍正、余弦函数值的符号判断 方法 一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角 的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，二正 弦，三全负，四余弦”，即第一象限角的正、余弦函数 值全为正值，第二象限角的正弦函数值为正值，第 三象限角的正、余弦函数值全为负值，第四象限角 的余弦函数值为正值。 O巩围训练2已知角a的终边经过点(3a,a十 5),且cosa≤0，sina>0,求实数a的取值范围. 反思感悟利用正弦函数和余弦函数的 定义求一个角的正弦函数值和余弦函数值有以下 几种情况： (1)若已知角，只需确定出该角的终边与单位 圆的交点坐标，即可求出正弦函数值和余弦函 数值 (2)若已知角a终边上一点P(x,y)是单位圆 上的点，则sina=y,cosa=x, (3)若已知角a终边上一点P(x,y)不是单位 圆上一点，首先求r=√+y,则sina=y (4)若已知角a终边上点的坐标含参数，则需 进行分类讨论. ·8· 第一章三角函数《 题型三正弦函数、余弦函数基本性质的应用 反®感倍对于形如y=asin x十b的函 例3已知函数y=-3sinx十1. 数性质的研究可借助正弦函数v=sinx的性质. (1)求该函数的定义域、值域、周期和单调 要清楚a,b对函数y=asin x十b的影响，若参数 区间： 不确定还要注意分类讨论。 (2)求该函数在区间 2x 6’3 上的最值. ◇巩固调练3求函数y=2cosx一4的定义域、 值域、最值、周期以及单调区间. 4.3 诱导公式与对称4.4诱导公式与旋转 夯实·必备知识 氢知识清单 sin(a+z)=sin(2+a)=cos a.cos(a+2)- 一、特殊角的终边的对称关系 1.角一a的终边与角a的终边关于x轴对称. cos(2ta）=-sna 2.角a士π的终边与角a的终边关于原点 sin(受-a）-cosa,cos(经-a)-sina. 对称. 3.角π一a的终边与角α的终边关于y轴 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导 公式 对称. 名师念拔理清角度之间的关系，是学好 名师念技诱导公式的记忆方法 诱导公式的前提，因此学习正弦函数、余弦函数时， 将任意角归纳为·受士a,质∈Z的形式，则 应结合正弦函数、余弦函数的定义，明确角一α， 诱导公式的记忆方法可概括为“奇交偶不变，符号 a士π，π一a与角a的终边的对称关系. 看象限”： 二、正弦函数、余弦函数的诱导公式 (1)“变”与“不变”是指互余的两个角的正弦函 对任意角a,下列关系式均成立（其中k∈Z). 数名、余弦函数名改变 sin(a+2k)=sin a,cos(a+2kx)=cos a. (2)“奇偶”是对k·受士a中的整数及来讲的。 sin(-a)=-sin a,cos(-a)=cos a. sin(a+r)=sin(π十a)=-sina, 3》“象限”指·受士a中，将a看作锐角时， cos(a十π)=cos(π十a)=-cosa. sin(a-x)=-sin a,cos(a-x)=-cos a. 及·受士0所在象限，再根据“一全正，二正弦，三全 sin(x-a)=sin a,cos(x-a)=-cos a. 负，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号 ·9· 高中同步讲练测·一线调研|数学·必修第二册·BS 精研·核心题型 题型一给角求值问题 题型二给值求值问题 例1计算：sin2120°+cos180°+tan45° cos2(-330°)+sin(-210). 例2（1)已知cos(x-a)=-g则cs(-2x-a) 的值是 () A号 &青 c 2)已知co(-e)=则co(a+）) 反思感倍角的转化方法 食®感宿解决条件求值问题的策略 (1)对于负角的正弦函数、余弦函数求值，可先 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件 利用诱导公式化为正角的正弦函数、余弦函数，若 与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的区 转化之后的正角大于360°，则利用诱导公式化为 别及联系」 0°~360°（不包括0°和360）之间的角的正弦函数、 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或 余弦函数， 将所求式进行变形向已知式转化. (2)若化成的角是90°~180°（不包括90°和 180)之间的角，则利用180°一a的诱导公式化为 ◇巩目满练2已知sn(仔-a)=?,求 0°~90°（不包括0°和90）之间的角的正弦函数、余 cos 弦函数. (后+a)小sin(+a)的值 (3)若化成的角是270°~360°（不包括270°和 360)之间的角，则利用360°一a及一a的诱导公式 化为0°~90°（不包括0°和90）之间的角的正弦函 数、余弦函数。 ◇巩固调练1计算下列各式的值： (2)sin420°cos330°+sin(-690)cos(-660). ·10· 第一章三角函数《 题型三诱导公式在三角形中的应用 题时，要注意充分利用诱导公式· (2)在三角形中，当cosC=cosB时，一定有 例3在△ABC中，若sin A+B-C 2 C=B;若sinC=sinB,也一样能得到C=B. sin A-B+C 试判断△ABC的形状 ◇州固测练3在△ABC中，求证： (1)sin(2A+B+C)=-sin A; A+B C (2)sin 2 二cos2 反思感倍三角形中隐藏的两点内容 (1)在△ABC中，有A+B+C=π， A+B+C 2 合，因此在解决三角形中的正弦西数、余弦西教问 §5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 夯实·必备知识 氢知识清单 线，如图所示。 一、正弦函数的图象 3红 5 1.正弦函数图象的作法 Z2红.3Z4元x (1)几何法：借助单位圆获得对应的正弦函 y=sinxx∈R 数值. (2)五点法：根据正弦曲线的基本性质，描出 名师念拔“五点法”中的“五点”是指函 数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交 0,0,(经1，(，0)，(，-1，(2x,0)这五个关 点.“五点法”只是画出y=sinx在区间[0,2π]上 键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到 的图象，若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上 正弦函数的简图. 的图象通过左右平移，每次平移2π个单位长度，得 2.正弦函数的图象 到y=sinx,x∈R的图象.这是作正弦函数以及 正弦函数y=sinx,x∈R的图象称作正弦曲 下一节余弦函数图象最常用的方法， ·11