1 周期变化&2 任意角-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

第一章 三角函数 §1周期变化 夯实·必备知识 知识清单 二、函数周期性的常用结论 一、周期函数的概念 对于函数y=f(x)定义域内任一自变量x: 1.周期函数 (1)若f(x+a)=一f(x),则T=2a(a≠0)； 一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如果存在 1 (2)若fx+a)=于)则T=2a(a≠0)，(3)若 一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x十 T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y= f(x十a)= f),则T=2a(a≠0. ∫(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的 名命念技函数的周期性与图象的对称 周期. 性的关系 2.最小正周期 (1)如果函数y=f(x)(x∈D)的图象有两条 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在 对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函 一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数 数，且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期， y=f(x)的最小正周期. 下同) 名师念我1.周期函数定义的实质：存在 (2)如果函数y=f(x)(x∈D)的图象有两个 一个非零常数T,对定义域内的任意x,均有 对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数y= f(x十kT)=f(x),其中k∈Z,即自变量x每增加 f(x)是周期函数，且周期T=2(6-a). 一个T后，函数值就会重复出现一次， (3)如果函数y=f(x)(x∈D)的图象有一条 2.周期函数定义中的“f(x十T)=∫(x)”是对 对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那 定义域中的每一个x来说的，只有个别的x满足 么函数y=f(x)是周期函数，且周期T= f(x十T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期. 4|b-a1. 精研·核心题型 题型一求函数的周期 义，牢记函数周期的常用结论，熟练掌握函数的周 例1若对任意的x∈R,函数f(x)满足 期性与图象的对称性的关系 f(x+2021)=-f(x+2022),则函数f(x)的周 ◇巩周渊练1已知f(x)是定义在R上的函数， 期为 1 且满足fx+2)=-了石·则函数fx)的周期为 反思感信函数周期的求解方法 求解函数的周期问题，要紧扣函数周期的定 ·1· 高中同步讲练测·一线调研|数学·必修第二册·BS 题型二周期函数的判定 (1)求证f(n)是周期函数，并求出其周期： 例2设函数y=f(x),x∈R.若函数y= (2)若f(2)=3,求f(2024)的值 f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对 称，求证：函数y=f(x)为周期函数. 4444444 题型三利用函数的周期性求值或范围 例3设定义在R上的函数f(x)满足f(x十 2)=f(x),且当x∈[0,2)时，f(x)=2x-x2,则 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)= 危思感倍函数周期性的应用 反愈感摘紧扣定义—判断一个函数 根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得 为周期函数 到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意最 应用定义判断或证明函数是否具有周期性的 小正周期与周期的区别， 关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条 ◇巩圆渊练3已知f(x)是定义在R上的以3 件，合理赋值，巧妙转化 ◇巩周测练2已知定义在N上的函数f(n)满 为周期的偶函数，者了<1,6)-2则实 足f(n+2)=f(n+1)-f(n). 数a的取值范围为 §2 任意角 2.1角的概念推广 2.2象限角及其表示 夯实·必备知识 多知识清单 是角a的顶点，射线OA是角a的始边，射线OB 是角a的终边。 一、角的概念推广 1.角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头 所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O ·2· 第一章三角函数《 2.角的分类：按旋转方向可将角分为三类： 能对象限角进行定义，否则不能判断角的终边在哪 类型 定义 图示 一个象限，也就不能称作象限角， 2.若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任 条射线按逆时针方向旋转 B 正角 何象限。 形成的角 三、终边相同的角 “条射线按顺时针方向旋转 一般地，给定一个角a,所有与角a终边相同 负角 形成的角 的角，连同角a在内，可构成一个集合S={3lB a十k·360°，k∈Z},即任何一个与角a终边相同 ·条射线没有作任何旋转形 零角 的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和. 成的角 名师念找理解集合S={BB=a十k· 二、象限角 在平面直角坐标系中研究角时，角的顶点在坐 360°，k∈Z}要注意以下几点： 标原点，始边在x轴的非负半轴.以角的终边（除 (1)集合中角a为任意角. 端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的 (2)k∈Z这一条件必不可少， 终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 (3)k·360°与a之间是“+”，如k·360°-30° 应看成k·360°十（一30），即与一30°角终边相同. 名师念找1在角的顶点与坐标原点重 (4)当a与B的终边相同时，a一B=k·360°， 合，角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下，才 k∈Z,反之亦然。 精研·核心题型 题型一角的概念推广 题型二终边相同的角 例1下列命题为真命题的是 例2在与角一2025°终边相同的角中，求满 A.终边相同的角一定相等 足下列条件的角B. B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 (1)B是最小的正角： C.锐角都是第一象限角 (2)B是最大的负角； D.小于90的角都是锐角 (3)-720°≤8<720°. 反思感信>概念辨析问题的求解策略 对于概念辨析题，一是利用反例排除错误答 案，二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象 限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作 出正确的判断. ◇巩固训练1一个角为30°，其终边按逆时针方 向旋转三周后的角度是多少？按顺时针方向旋转 三周后又是多少？ 反思感倍终边相同的角的求解方法 求与已知角α终边相同的角时，要先将这样的 角表示成k·360°十a,k∈Z的形式，然后采用赋 值法求解或解不等式，确定整数k的值，求出满足 条件的角. ·3 高中同步讲练测·一线调研「数学·必修第二册·BS ◇职固训练2与600°角终边相同的角可表示为 包®感倚象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时，可先 A.k·360°+220°(k∈Z) 根据终边相同的角的表示方法，找到在0°~360°内 B.k·360°+240°(k∈Z) 与之终边相同的角，再确定其象限， C.k·360°+60°(k∈Z) 2.已知角的终边所在的象限，求待求角的终边 D.k·360°+260°(k∈Z) 所在的位置时，通常首先根据所给已知角的范围， 题型三象限角 得到待求角的范围，然后判断待求角终边所在的 例3(1)分别判断角a=一130°和角B= 位量. 一940°是第几象限角； ◇羽围调练3在0°一360°范围内，找出与下列 (2)若角a是第二象限角，试判断180°一a及 各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： 2a是第几象限角. (1)-120°：(2)660°；(3)-95008'. §3弧度制 3.1弧度概念 3.2弧度与角度的换算 夯实·必备知识 私知识清单 3.用“度”作为单位度量角时，“度”或“©”不能 一、弧度 省略，而用“弧度”作为单位度蟹角时，“弧度”或 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角 “rad”通常省略不写. 称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作 二、弧度制 弧度」 在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心 名师念我1.1弧度的角与1度的角所指 角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方 法，称作弧度制 含义不同，大小更不同 2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量 要念笔⊙1.当圆心角一定时，它所对的 角，角的大小都与“半径”大小无关， 孤长与半径的比值是一个确定的值，与所在圆的半 。4·