4.4 幂函数-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数 课标要求 情境导入 1.了解幂函数的概念. 2.掌握y=xα(α=-1, 1 2 ,1,2,3)的图 象与性质. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分 类特征,能运用数形结合的方法处 理幂函数的有关问题. 大约到15世纪,人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个 相同数的乘积.直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分 开来表示的趋势. 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法,他用罗马数字 表示指数,写在底数的右上角,如“A4”写作“AⅣ”,这种记法与现在相比较, 除了数字采用罗马数字外,其余完全一样.一年以后,法国数学家笛卡儿将 其进行了改进,把罗马数字改用阿拉伯数字,成了今天的样子,此后由英国 数学家沃利斯(Walis 1616 1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指 数幂的概念及符号,从而使幂的概念及符号发展得更完备了. 问题 (1)符合怎样特征的函数是幂函数? (2)幂函数与指数函数有什么区别? e   一、幂函数的概念 一般地,函 数① 叫 做 幂 函 数,其 中 ② 是自变量,③ 是常数. [思考]幂函数解析式的结构特征如何? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 二、五个幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象     0 Y Z ZY ZY ZY ZY ZY   2.幂函数共同的性质 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义, 因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 ④ ; (2)如果α>0,则幂函数的图象通过⑤ , 并且在区间[0,+∞)上是⑥ 函数; (3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是 ⑦ 函数,且在第一象限内:当x 从右边趋 向于 原 点 时,图 象 在 y 轴 右 方 且 无 限 逼 近 ⑧ ;当x 无限增大时,图象在x 轴上方 且无限逼近⑨ ,幂函数的图象不过 原点; (4)当x>1时,从x 轴起,幂函数y=xα 的指数 α由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”.  0 Y Z Z Y ZY U
U U
U U
U    P  1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( ) (2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( ) (3)当幂指数α取1,3, 1 2 时,幂函数y=xα 是增 函数. ( ) (4)若幂函数y=xα 的图象关于原点对称,则 y=xα 在定义域内y 随x 的增大而增大. ( ) ·52· │ 数学·必修第二册·RJB 2.函数y= x的图象大致为 ( ) 0 Y Z A 0 Y Z B 0 Y Z C 0 Y Z D 3.若幂函数 fx 的图象经过点 2,4 , 则f3 = ( ) A.9 B.8 C.6 D.3 4.函数y= x-1 1 2的定义域是 . e  题型一 幂函数的概念 例1(1)在函数y=x-2,y=(x+1)2,y=3x 中, 幂函数的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+ b等于 ( ) A.2 B.1 C. 1 2 D.0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的 形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量; (3)系数为1. [跟踪训练] 1.(多选)下列函数中是幂函数的是 ( ) A.y= 1 x B.y=2x 2 C.y=2x+1 D.y=x- 1 2 题型二 幂函数的图象及其应用 例2 如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn 在第 一象限的图象,已知n 取±2,± 1 2 四个值,则相 应于C1,C2,C3,C4 的n依次为 ( )   Z Y0 $ $ $ $ A.-2,- 1 2 ,1 2 ,2 B.2, 1 2 ,- 1 2 ,-2 C.- 1 2 ,-2,2, 1 2 D.2 ,1 2 ,-2,- 1 2 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法](1)解决与幂函数有关的综合性问题的 方法 首先要考虑幂函数的概念,对于幂函数y=xα(α 是常 数),由于α的取值不同,所以相应幂函数的单调性和 奇偶性也不同.同时,注意分类讨论思想的应用. (2)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象:先根据α的取值, 确定幂函数y=xα 在第一象限内的图象. ②确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定 义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图 象. [跟踪训练] 2.若幂函数y=xm 与y=xn 在第一象限内的图象 如图所示,则 ( )   Z ZYO ZYN ZY Y0 A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 题型三 幂函数的性质及其应用 角度一 比较幂的大小 例3 比较下列各组数中两个数的大小. (1)25 0.5 与 1 3 0.5 ; (2)- 2 3 -1 与 - 3 5 -1 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·62· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]比较幂值大小的两种基本方法 +, U ,* +A!D ," .  " D" +, U D , UD*A!D  [跟踪训练] 3.若a= 13 2 3 ,b= 15 2 3 ,c= 49 1 3 ,则a,b,c的 大小关系是 ( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 角度二 解不等式 例4 已知函数f(x)=x- 1 2. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若(a+1)- 1 2<(3-2a)- 1 2,求实数a 的取值 范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数; (2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系 转化为自变量的大小关系; (3)解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的 应用. [跟踪训练] 4.已知函数f(x)=x 1 m2+m(m∈N*).若该函数图象 经过点(2,2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 e 1.下列函数中不是幂函数的是 ( ) A.y= x B.y=x3 C.y=3x D.y=x-1 2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点 4, 1 4 ,则 f(2)等于 ( ) A. 1 2 B.2 C. 2 2 D.2 3.判断大小:2.3 3 4 2.4 3 4.(填“>”或“<”) 4.已知y=(m2+2m-2)xm 2-1+2n-3是定义域 为R的幂函数,求m,n的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·72·