4.3 指数函数与对数函数的关系-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 [解题技法]解决综合性问题的关注点 (2)求关于x的不等式f(x)≤ln(2x)的解集. (1)增强定义城意识：无论是求单调区阒、证奇偶性，解 不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的 前提： (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关健是 转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单 调性。 [跟踪训练] 5.已知函数f(x)=ln(a.x十1)+ln(x-1)的图象 经过点(3,3ln2). (1)求a的值，及f(x)的定义域； 巩固·课堂自测 1.若a=log0.3,b=log.0.2.c=0.3.则a,b,c 值为一2，求实数a的值 的大小关系是 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 2.若1g(2.x一4)≤1，则x的取值范围是 ( A.(-∞，7] B.(2,7] C.[7,+∞) D.(2,十∞) 3.函数f(x)=log(x+2x-3)的单调递增区间 是 4.若函数y=log.(2x一1)在区间[1,3]上有最小 4.3 指数函数与对数函数的关系 课标要求 情境导入 1,了解反函数的概念，知道指数函数和对数 指数挠对数 =logy 交换上以， 函数互为反函数，弄清它们的图象间的对 观察下列变换：y=a 称关系 y=logar. 2,会求简单函数的反函数 问题(1)指数函数y=a的值域与对数函数y=logr的定义 3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些 域是否相同？ 简单问题， (2)指数函数y=a与对数函数y=logx的图象有什么关系？ 夯实·必备知识 知识梳理 应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x) 的反函数，此时，称y=f(x)存在反函数. 1.反函数的定义 2.反函数的记法 一般地，如果在函数y=∫(x)中，给定值域中 一般地，函数y=f(x)的反函数记作③ ① 的值，只有② 的x与之对 ·19· 高中同步讲练测·一线调研「数学·必修第二册·RJB 3.函数及其反函数的性质间的关系 [思考]函数∫(x)=x有反函数吗？为什么？ (1)图象：关于直线④ 对称： (2)定义域、值域：y=∫(x)的定义域与y= f1(x)的⑤ 相同，y=∫(x)的值域与 y=f-1(x)的⑥ 相同： 区自主小测 (3)单调性：y=f(x)与y=f'(x)的单调性 1.函数y=lnx与函数y=e的图象 ① A.关于x轴对称 [提醒]并非任意一个函数y=f(x)都有反函数，只 B.关于y轴对称 有定义域和值城都满足“一一对应”的函数才有反函 C.关于原点对称 数，互为反函数的两个函数的定义城、值域的关系如下 D.关于直线y=x对称 表所示： 2.若函数y=1十3的反函数为y=g(x),则 函数y=f(x) 反函数y=f-1(x) g(10)等于 () 定义域 A C A.2 B.-2 C.3 D.-1 值城 C A 3.函数f(x)=a*(a>0且a≠1)的图象经过点 (1,10),则函数f(x)的反函数g(x)= 精研·核心题型 题型一 求已知函数的反函数 [解题技法](1)求反函数时，要先确定原函数的值减， 例1求下列函数的反函数： (2)求反函数解析式的两种方法： (1)f(r)=log:x; ①可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x 2rx)=(传)： f(y)中求出y,得到反函数y=f(x). ②从y=f(x)反解得到x=f1(y),然后把x (3)f(x)=5.x+1. f(y)中的x,y对调得到y=f(x) (3)最后要注明反函数的定义域 [跟踪训练] 1.求下列函数的反函数： (1)f(.x)=√E+1(x≥0)： (2)f(x)= 2x+3 x一1 x≠1). ·20· 第四章指数函数、对数函数与幂函数 题型二互为反函数的图象间的关系 题型三 指数函数与对数函数的综合应用 例2(1)函数y=1g(x十1)的反函数的图象为 例3已知f(x)=42+1(aeR),f(0)=0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求∫(x)的反函数： (3)对任意的k∈(0，十∞)，解不等式f1(x)> 1+x log2k 444444444 D (2)已知函数y=log(,x2-5.x)(x>5)的反函数 图象过点(1,6)，则函数y=log(x2一5x)的图 象必过点 A.(1,1)B.(1,6)C.(6,1)D.6,6) [解题技法]互为反函数的图象的特点 (1)互为反函数的图象关于直线y=x对称：图象关于 直线y=x对称的两个函数互为反函数； 思维变式1（变条件）若本例变为“若函数「(x)为 (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致： 奇函数”，求a的值. (3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数. [跟踪训练] 2.将曲线y=log2x沿x轴正方向移动1个单位长 度，再沿y轴负方向移动2个单位长度，得到曲 线C,在下列曲线中，与曲线C关于直线x一y= 0对称的是 ( A.y=2++1 B.y=2+2-1 C.y=2-2-1 D.y=2-2+1 3.已知函数f(x)=a'十b(a>0且a≠1)的图象 过点(1,7)，其反函数y=f1(x)的图象过点 思维变式2（变设问）若本例中的条件不变，如何判 (4.0),求a的值. 断f1(x)的单调性，并给出证明. ·21· 高中同步讲练测·一线调研数学·必修第二册·RJB [解题技法]解对数不等式的常见解法 (2)已知函数g(x)=f(x2十1)，求不等式 (1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为 g(2x+1)<g(3-x)的解集. 真数的不等式，最后与定义城取交集即得原不等式 的解集： (2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等 于1，并注意与1的大小的讨论. [跟踪训练] 4.已知指数函数y=(a2-3a十3)a'(a>0,且a≠ 1)的反函数为y=(x). (1)求函数y=f(x)的解析式； 巩固·课堂自测 1.已知函数f(x)=logx与g(x)的图象关于直 是 线y=x对称，则g(1)= ) A.3 C.1 D.-1 2.f(x)=-3x十4的反函数是 A.f1(x)=4 3 B.∫1(x)=-4 3 C.f1(x)=x+4 3 D.f1(x)=-3 4.若函数f(x)=log(x十m)十2的反函数的图象 4 经过点(3,1)，则f(3)= 3.下列函数图象中，存在反函数的函数的图象只能 提升课 指数型函数、对数型函数的性质的综合 精研·核心题型 题型一 指（对）数型函数图象的变换 例1利用函数y=∫(x)=2的图象，作出下列各 函数的图象： (1)f(x-1): (2)f(x|): (3)f(x)-1: (4)-f(x); (5)|f(x)-1. ·22·