4.2.3 对数函数的性质与图象-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

│ 数学·必修第二册·RJB e 1.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式中 正确的为 ( ) A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga 1 x D. n logax= 1 nlogax 2.2log510+log50.25等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 ( ) A. a+b a B. a+b b C. a a+b D. b a+b 4.已知2a=5b=M,且 2 a+ 1 b=2 ,则 M 的值是 . 4.2.3 对数函数的性质与图象 课标要求 情境导入 1.理解对数函数的概念, 会求简单对数函数的定 义域. 2.能画出具体对数函数的 图象,并能根据对数函 数的图象说明对数函数 的性质. 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的 “龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、 整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今 为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算 出黄河巨龙的生活年代的吗? 那就让我们学习一种新的函数模型———对数函数来 解决这个问题吧! 问题 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用 P(碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t,那么t是P 的函数吗? e   一、对数函数的概念 一般地,函数① 称为对数函数,其中a 是② ,a>0且a≠1. [思考]类比指数函数的解析式及定义,对数函数 的解析式有何特征? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 二、对数函数的图象与性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 UUU Y Y Z ZMPHBY 0 UUU Y Y Z ZMPHBY 0 性质 定义域 ③ 值域 ④ 定点 ⑤ ,即x=⑥ 时,y=0 单调性 ⑦ ⑧ [提醒] ·41· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 1.对数函数的图象都经过点 1a ,-1 ,(1,0),(a, 1),且图象都在第一、四象限内. 2.底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的 “升降”:当a>1时,对数函数的图象“上升”;当 0<a<1时,对数函数的图象“下降”,且还具有 以下规律:在对数函数y=logax(a>0且a≠1) 中,①若0<a<1且0<x<1,或a>1且x>1, 则有y>0;②若0<a<1且x>1,或a>1且 0<x<1,则有y<0.以上性质可以简称为:同区 间为正,异区间为负. 3.在同一坐标系内,y=logax(a>0且a≠1)的图 象与y=log1 a x(a>0且a≠1)的图象关于x 轴 (即直线y=0)对称.  1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=log2x2 与y=logx3不是对数函数.( ) (2)对数函数的图象都过定点 0,1 . ( ) (3)对数函数的图象都在y 轴的右侧. ( ) (4)函数y=loga x-1 的定义域为 0,+∞ . ( ) 2.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是 ( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 3.函数y=lg(x+1)的图象大致是 ( )   Z Y0 A  Z Y0 B  Z Y0 C  Z Y0 D 4.对数函数f(x)的图象过点(9,2),则f 1 3 = . e  题型一 对数函数的概念及应用 例1(1)(多选)下列函数表达式中,是对数函数的 有 ( ) A.y=logπx B.y=log2x C.y=log4x2 D.y=log2(x+1) (2)若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则 f(8)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a> 0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. [跟踪训练] 1.下列函数是对数函数的是 ( ) A.y=loga(5+x)(a>0且a≠1) B.y=log(3-1)x C.y=log3(-x) D.y=logx 3(x>0且x≠1) 2.已知函数f(x)是对数函数,且f 2 2 =-12,则 f22 = . 题型二 对数型函数的定义域、值域问题 例2(1)求下列函数的定义域: ①y= lg(2-x); ②y=log(2x-1)(-4x+8). (2)求下列函数的值域: ①y=log2(x2+4);②f(x)=log1 2 (3+2x-x2) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·51· │ 数学·必修第二册·RJB 思维变式1(变 条 件)把本例(1)①的函数变为 “y= log1 2 (2-x)”,结果如何? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 思维变式2(变设问)若把本例(1)①中x 的范围 限定为[-8,1],求函数的值域. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法] 1.求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 2.求函数值域的方法 (1)求对数型函数的值域,一般需根据对数函数的单 调性及真数的取值范围求解; (2)求函数的值域时,一定要注意定义域对它的影 响,结合函数的单调性求解,当函数中含有参数时, 有时需讨论参数的取值. [跟踪训练] 3.函数y= ln(x+1) -x2-3x+4 的定义域为 ( ) A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 4.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为 . 题型三 对数型函数的图象 考向一 图象过定点问题 例3 函数f(x)=loga(2x+1)+2(a>0且a≠1) 的图象过定点 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]求函数y=m+logaf(x)(a>0且a≠1) 的图象恒过定点的步骤: (1)令f(x)=1; (2)求出x; (3)得定点(x,m). [跟踪训练] 若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图 象恒过定点(3,2),则实数b= ,c= . 考向二 图象识辨问题 例4 已知a>0且a≠1,则函数y=ax 与y= loga(-x)的图象可能是 ( )   Z Y0 A   Z Y0 B   Z Y0 C   Z Y0 D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]给出函数解析式判断函数的图象,应首先 考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函 数图象的特殊点,判断函数的基本性质(定义域、单调 性以及奇偶性等);最后综合上述几个方面将图象选 出,解决此类题目常采用排除法. [跟踪训练] 6.设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y= loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b= ( )  0 Z Y





      A.6 B.8 C.10 D.12 考向三 图象的应用问题 例5 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax(a> 0且a≠1)恒成立,则实数a的取值范围为 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.0, 1 2 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]本题应用了一种重要的思想方法,即数形 结合思想,数形结合思想就是将数学语言与直观的图 形结合起来,使抽象思维与形象思维结合.本题将不等 式恒成立问题转化为两个函数图象的位置关系问题进 行求解. [跟踪训练] 7.函数f(x)=|ln x|-e-x 的零点个数为 . ·61· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 e 1.下列函数是对数函数的是 ( ) A.y=log2x B.y=ln(x+1) C.y=logxe D.y=logx 2.函数f(x)=log2(1-x)的定义域是 ( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 3.函数y=|log2x|的图象是 ( )   Z Y0 A   Z Y0 B   Z Y0 C   Z Y0 D 4.当a>0,且a≠1时,f(x)=loga(x+2)+3的 图象过定点P,则点P 的坐标为 . 提升课 对数函数的图象与性质的应用 e  题型一 比较对数值的大小 例1 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.14(a>0,且a≠1); (4)log50.4,log60.4. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性 的影响,对底数进行分类讨论. [跟踪训练] 1.比较大小: (1)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1); (2)log3π,log2 3,log3 2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·71·