4.2.2 对数运算法则-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 题型三 对数的性质与对数恒等式 例 3 (1)若 log2 (log3x)=log3 (log4y)= log4(log2z)=0,则x+y+z的值为 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 (2)设3log3 (2x+1)=27,则x= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法] 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求 loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc) 的值; (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求, 逐步脱去“log”后再求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋2.对数恒等式a logaN=N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可; (2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤 求解:  ! N+D0BU  6,D*0+ 0BMPH

//+D0 ! B [跟踪训练] 3.已知log3(log2x)=1,那么x= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 4.计算:2log23+2log31-3lg 10+3ln 1= . e 1.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞) 2.2-3= 1 8 化为对数式为 ( ) A.log1 8 2=-3 B.log1 8 (-3)=2 C.log2 1 8=-3 D.log2(-3)= 1 8 3.已知loga2b=c,则有 ( ) A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b 4.计 算:3log2 +2log31-3log7 +3ln 1= . 4.2.2 对数运算法则 课标要求 情境导入 1.掌握对数的运算法则,理解其推导 过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.会运用对数运算法则进行一些简单 的化简与证明. 大家都知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对 数的关系以及指数运算法则中,得出相应对数的运算法则吗? 同学们 能否大胆猜想一下对数的运算法则呢? 问题 观察下列各式,你能从中猜想出什么结论? ①log2(2×4)=log2 +log24=3; ②log3(3×9)=log3 +log39=3; ③log2(4×8)=log24+log28=5. e   一、对数的运算法则 若a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,则 (1)loga(MN)=① ; (2)logaMα=② ; (3)loga M N=③ . ·11· │ 数学·必修第二册·RJB [提醒]对数运算中的常见公式及推广 (1)loga n M = 1 nlogaM (M>0,n∈N*,n>1,a>0 且a≠1); (2)loga 1 M=-logaM (M>0,a>0且a≠1); (3)loga p Mn= n plogaM (M>0,n,p∈N*,p,n> 1,a>0且a≠1); (4)loga(M·N)=logaM+logaN(a>0且a≠1, M>0,N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk) =logaN1+logaN2+…+logaNk(k∈N*,N1,N2, …,Nk 均大于0,a>0且a≠1). 二、换底公式 1.对数换底公式:logab=④ (a>0,且a≠ 1;c>0,且c≠1;b>0). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=⑤ (N>0,且 N≠1;a>0, 且a≠1). (2)loganb m =⑥ (a>0,且 a≠1, b>0). (3)logab·logbc·logcd=⑦ (a>0, b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1). 特别地logab·logba=1. [思考]换底公式中底数c是特定数还是任意数? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋  1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( ) (2)loga xy =logax·logayx,y>0 . ( ) (3)log925=log35. ( ) (4) log89 log427 = 9 4. ( ) 2.若lg 2-lg m=1,则m= ( ) A. 1 10 B. 1 5 C.5 D.5 3.已知ln 2=a,ln 3=b,那么log32用含a,b的代 数式表示为 ( ) A.a-b B. a b C. b a D.a+b 4.计算:log35+log3 1 5 的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 e  题型一 利用对数的运算法则求值 例1 求下列各式的值: (1)log2(47×25); (2)lg 5 100; (3)lg 14-2lg 7 3+lg 7-lg 18; (4)lg 52+ 2 3lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·21· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公 式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的 实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行; (2)两种常用的方法:①“收”,将同底的两对数的和 (差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). [跟踪训练] 1.求下列各式的值: (1)log3(27×92); (2)ln 3+ln 1 3 ; (3)log35-log315. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 题型二 利用对数的运算法则化简 例2(1)已知log312=a,试用a表示log324; (2)设a=lg 2,b=lg 3,试用a,b表示lg 108. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 思维变式1(变设问)若本例(2)中的条件不变,如 何用a,b表示lg 9 5 ? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 思维变式2(变条件)若将本例(2)中的条件改为 “lg 6=a,lg 15=b”,结果如何? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]关于对数式的化简 首先观察式子的结构、层次特征,确定化简的顺序,其 次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开. [跟踪训练] 2.已知x=lg 3,y=lg 5,则用x,y 表示lg 45为 ( ) A.2xy B.3xy C.2x+y D.2x-y 3.设a=lg 6,b=lg 15,则lg 120= .(用 a,b来表示) 题型三 对数换底公式的应用 例3 已知3a=4b=c,且 1 a+ 1 b=2 ,求实数c的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]利用换底公式求值的思想及注意点 "%   *E*UE  * +D0"4 * IKME+

!0 B F>*  [跟踪训练] 4.已知a=log35,b=log45,c= 1 a+ 1 b ,则5c= ( ) A.12 B. 1 12 C.7 D. 1 7 5.若2m=3,则log312= ( ) A. 1+2m 2m B. 2m 1+2m C. 2+m m D. m 2+m ·31· │ 数学·必修第二册·RJB e 1.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式中 正确的为 ( ) A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga 1 x D. n logax= 1 nlogax 2.2log510+log50.25等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 ( ) A. a+b a B. a+b b C. a a+b D. b a+b 4.已知2a=5b=M,且 2 a+ 1 b=2 ,则 M 的值是 . 4.2.3 对数函数的性质与图象 课标要求 情境导入 1.理解对数函数的概念, 会求简单对数函数的定 义域. 2.能画出具体对数函数的 图象,并能根据对数函 数的图象说明对数函数 的性质. 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的 “龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、 整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今 为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算 出黄河巨龙的生活年代的吗? 那就让我们学习一种新的函数模型———对数函数来 解决这个问题吧! 问题 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用 P(碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t,那么t是P 的函数吗? e   一、对数函数的概念 一般地,函数① 称为对数函数,其中a 是② ,a>0且a≠1. [思考]类比指数函数的解析式及定义,对数函数 的解析式有何特征? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 二、对数函数的图象与性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 UUU Y Y Z ZMPHBY 0 UUU Y Y Z ZMPHBY 0 性质 定义域 ③ 值域 ④ 定点 ⑤ ,即x=⑥ 时,y=0 单调性 ⑦ ⑧ [提醒] ·41·