4.2.1 对数运算-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 e 1.下列大小关系正确的是 ( ) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 2.f(x)= 1 2 x ,x∈R,那么f(x)是 ( ) A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 3.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造. 三年后,城市污水排放量由原来每年排放125万 吨降到27万吨,那么污水排放量平均每年降低 的百分率是 ( ) A.50% B.40% C.30% D.20% 4.不等式22x-3> 12 7 的解集是 . 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 课标要求 情境导入 1.理解对数的概念,能进行指 数式与对数式的互化. 2.理解对数的底数和真数的取 值范围. 3.掌握对数的基本性质及对数 恒等式. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…… 36=. I I
问题 依次类推,1个这样的细胞分裂x 次得到的细胞个数N 是多少? 分裂 多少次得到的细胞个数为8和256? 如果已知细胞分裂后的个数N,如何求分 裂次数? e   对数的相关概念 1.对数的概念 (1)定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈ (0,+∞))中,幂指数b称为以① 为底 ② 的对数. (2)记法:b=logaN,其中a 称为对数的③ ,N 称为对数的④ . [提醒]对数与指数的关系    ,  BC/ CMPHB/Û (1)对数运算是指数幂运算的逆运算; (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算 的关键. ·9· │ 数学·必修第二册·RJB 2.对数的性质及对数恒等式 (1)负数和零没有对数; (2)1的对数等于0; (3)底的对数等于1; (4)alogaN=⑤ ; (5)loga b=⑥ . 3.常用对数与自然对数 (1)常用对数:log10N,简写为⑦ ; (2)自然对数:logeN,简写为⑧ ,e= 2.718 28…. [思考]对数式logaN 是不是loga 与N 的乘积? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋  1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对数log39和log93的意义一样. ( ) (2)lg(ln e)=0. ( ) (3)对数运算的实质是求幂指数. ( ) (4)若ln N=2,则N=2e. ( ) 2.将23=8化为对数式正确的是 ( ) A.log23=8 B.log28=3 C.log82=3 D.log32=8 3.将log30.81=x 化成指数式可表示为 ( ) A.3x=0.81 B.x0.81=3 C.30.81=x D.0.813=x 4. -2 4-5log52= . e  题型一 对数的概念 例1 若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值 范围是 ( ) A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]关于对数式的范围 利用式子logab⇒ b>0, a>0, a≠1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求字母的范围. [跟踪训练] 1.在 M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,x 的 取值范围为 ( ) A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4) 题型二 指数式与对数式的互化 例2 将下列指数式与对数式互化: (1)log216=4; (2)log1 3 27=-3; (3)ln 10≈2.303; (4)43=64; (5)3-2= 1 9 ; (6)10-3=0.001. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数 作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数 作为指数,底数不变,写出指数式. [跟踪训练] 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( ) A.100=1与lg 1=0 B.27- 1 3= 1 3 与log27 1 3=- 1 3 C.log39= 1 2 与9 1 2=3 D.log5 =1与51=5 ·01· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 题型三 对数的性质与对数恒等式 例 3 (1)若 log2 (log3x)=log3 (log4y)= log4(log2z)=0,则x+y+z的值为 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 (2)设3log3 (2x+1)=27,则x= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法] 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求 loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc) 的值; (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求, 逐步脱去“log”后再求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋2.对数恒等式a logaN=N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可; (2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤 求解:  ! N+D0BU  6,D*0+ 0BMPH

//+D0 ! B [跟踪训练] 3.已知log3(log2x)=1,那么x= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 4.计算:2log23+2log31-3lg 10+3ln 1= . e 1.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞) 2.2-3= 1 8 化为对数式为 ( ) A.log1 8 2=-3 B.log1 8 (-3)=2 C.log2 1 8=-3 D.log2(-3)= 1 8 3.已知loga2b=c,则有 ( ) A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b 4.计 算:3log2 +2log31-3log7 +3ln 1= . 4.2.2 对数运算法则 课标要求 情境导入 1.掌握对数的运算法则,理解其推导 过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.会运用对数运算法则进行一些简单 的化简与证明. 大家都知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对 数的关系以及指数运算法则中,得出相应对数的运算法则吗? 同学们 能否大胆猜想一下对数的运算法则呢? 问题 观察下列各式,你能从中猜想出什么结论? ①log2(2×4)=log2 +log24=3; ②log3(3×9)=log3 +log39=3; ③log2(4×8)=log24+log28=5. e   一、对数的运算法则 若a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,则 (1)loga(MN)=① ; (2)logaMα=② ; (3)loga M N=③ . ·11·