提升课1 指数函数的图象与性质的应用-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 e 1.若函数y=(m2-m-1)·mx 是指数函数,则m 等于 ( ) A.-1或2 B.-1 C.2 D. 1 2 2.指数函数y=ax 与y=bx 的图象如图所示,则 ( ) 0 Y ZZBY ZCY A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 3.函数f(x)=3-ax+1(a>0,且a≠1)的图象恒 过定点 ( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,1) D.(0,2) 4.函数y=0.7 1 x2-1的定义域为 . 提升课 指数函数的图象与性质的应用 e  题型一 利用指数函数性质比较大小 例1 比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 和1.53.2; (2)0.6-1.2 和0.6-1.5; (3)1.70.2 和0.92.1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]比较幂值大小的三种类型及处理方法 *+A EDKF!D * ++ A+ > , U   U ,  U  [跟踪训练] 1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的 大小关系是 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 题型二 利用指数函数性质解不等式 例2 求满足下列条件的x 的取值范围. (1)3x-1>9x; (2)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ·7· │ 数学·必修第二册·RJB 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab 的不等式,借助于函数y=ax 的单调 性求解,如果a 的取值不确定,要将a 分为0<a<1 和a>1两种情况讨论. (2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的 指数幂的形式,再借助函数y=ax 的单调性求解. [跟踪训练] 2.不等式23-2x<0.53x-4 的解集为 . 题型三 指数型函数的单调性 例3 判 断 f x = 1 3 x2-2x 的 单 调 性,并 求 其 值域. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 思维变式1(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[1, 2]”,则f(x)的值域为 . 思维变式2(变条件)本例中f(x)变为f(x)= 1 3 2x-x2 ,求f(x)的值域与单调区间. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性的 处理技巧 (1)关于指数型函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性 由两点决定,一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x) 的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成; (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域, 然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查 f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性, 即同增异减. [跟踪训练] 3.函数fx = 1 2 -x2+4x-6 的单调递减区间是 ( ) A.-∞,-2 B.-∞,2 C.2,+∞ D.-2,+∞ 4.函数y=4x-2×2x+5的单调增区间为 . 题型四 指数型函数的实际应用 例4 水是生命之源,我国是一个严重缺水的国家, 保护水资源是每个公民的义务.在日常生活中淡 水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用,假 设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的 残留数量Y(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位: 小时)之间的关系满足Y=Y0e-λt t≥0 ,其中λ 为正常数,Y0 为原有害物质数量.该工厂某次过 滤淡水时,若前4个小时淡水中的有害物质恰好 被过滤掉90%,那么再继续过滤4小时,淡水中有 害物质的残留量约为原有害物质的 ( ) A.5% B.3% C.2% D.1% 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[解题技法]解决指数型函数应用题的流程 (1)审题:理解题意,弄清关键字词和字母的意义,从题 意中提取信息; (2)建模:根据已知条件,列出指数函数的关系式; (3)解模:运用数学知识解决问题; (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论. [跟踪训练] 5.一个口罩厂今年6月份的产量是1月份产量的 a倍,那么该口罩厂这半年中产量的月平均增长 率是 ( ) A. a 5 B. a 6 C. 5 a-1 D. 6 a-1 6.Logistic模型是常用的数学模型之一,可应用于 流行病学领域,有学者根据公布的数据建立某地 区流感累计确诊病例数R(t)(t的单位:天)的 模型:R(t)= K 1+eN(t-60) ,其中 K 为最大确诊病 例数,N 为非零常数,当R(t0)= 1 2K 时,t0 的 值为 ( ) A.60 B.61 C.63 D.66 ·8· 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 e 1.下列大小关系正确的是 ( ) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 2.f(x)= 1 2 x ,x∈R,那么f(x)是 ( ) A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 3.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造. 三年后,城市污水排放量由原来每年排放125万 吨降到27万吨,那么污水排放量平均每年降低 的百分率是 ( ) A.50% B.40% C.30% D.20% 4.不等式22x-3> 12 7 的解集是 . 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 课标要求 情境导入 1.理解对数的概念,能进行指 数式与对数式的互化. 2.理解对数的底数和真数的取 值范围. 3.掌握对数的基本性质及对数 恒等式. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…… 36=. I I
问题 依次类推,1个这样的细胞分裂x 次得到的细胞个数N 是多少? 分裂 多少次得到的细胞个数为8和256? 如果已知细胞分裂后的个数N,如何求分 裂次数? e   对数的相关概念 1.对数的概念 (1)定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈ (0,+∞))中,幂指数b称为以① 为底 ② 的对数. (2)记法:b=logaN,其中a 称为对数的③ ,N 称为对数的④ . [提醒]对数与指数的关系    ,  BC/ CMPHB/Û (1)对数运算是指数幂运算的逆运算; (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算 的关键. ·9·