2025年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与角度综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与角度综合 1．如图，已知，抛物线经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作，垂足为点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ (3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)过点作，垂足为点，是否存在点，使得中的某个角等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于点E，求的最大值； (3)如图2，点P为抛物线上一动点，是否存在点P，使得2∠PCB＝∠OCB，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC． (1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，直接写出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段AB上一点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，求出点E到直线BC距离d的最大值； (3)连接CD，作点B关于CD的对称点，连接，．在点D的运动过程中，能否等于45°？若能，请直接写出此时点的坐标，若不存在请说明理由． 6．如图1，已知抛物线过点，，，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在BC下方的抛物线上是否存在点P，使△PBC面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)在x轴下方抛物线上有一点Q，若，求点Q的坐标． 7．在平面直角坐标系xOy中，如图（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，点B（3，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（2），点P在抛物线上，且在线段BC的上方，△BCP的面积为3，求点P坐标； (3)如图（3），点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，在抛物线上是否存在一点Q，使∠BQC＝∠ACO+∠ADE，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线，与轴交于点，点与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与轴交于点． (1)抛物线解析式为______，顶点的坐标为______； (2)判断的形状，并说明理曲； (3)如图，点是线段上的一个动点（点与点、点不重合），连结、，过点作，射线交射线于点，交抛物线于点；过点作，垂足为点，交射线于点． ①当≌时，请求出此时点的坐标； ②当时，请你直接写出的值． 9．如图，已知抛物线经过三点，点D在该抛物线的对称轴l上． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的度数及点D的坐标； (3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当时，请直接给出点P的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线折叠后得到抛物线，折痕与抛物线交于点G，H两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，当时，动点M，N在抛物线上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)①求当抛物线与直线BC恰好只有一个公共点时m的值； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)若抛物线上存在一个点P，使得，请求出P点的坐标． (3)已知点M的坐标，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点左侧，2CO=9AO，连接BC． (1)求点A坐标： (2)求该抛物线的解析式： (3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标． 13．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)点P是抛物线在第一象限上的一动点，当的面积最大时． ①如图1，若E是y轴上一点，求周长的最小值； ②如图2，连接PB，取PB的中点M，x轴上存在一点Q使得，求点Q的坐标． 14．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ． (1)求出抛物线的解析式； (2)当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝_____，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由； (3)延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标． 15．如图1，抛物线y＝x2＋（m﹣2）x一2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8． 　　 (1)求m的值； (2)在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值． (3)如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CPAP的最小值，并求出此时点P的坐标． 16．如图，抛物线与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，过点C作轴的平行线交抛物线于点D，连接AC，作直线BC． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点E（，0）是线段OB上的点，过点E作与轴垂直的直线与直线BC交于点F，与抛物线交于点G． ①线段FG的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ②连接CG，当∠DCG=∠ACO时，求点G的坐标； (3)若点P是直线BC下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段BC上，当以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M． (1)求抛物线的关系式及点M的坐标； (2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°． 18．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP，BP，若，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年3月11日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)，当时，有最大值 (3)存在， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，从而求出直线BC的解析式，则点P的坐标为，点Q的坐标为，，再利用勾股定理求出，得到，再证明∠PQN=∠BCO，得到，则，由此求解即可； （3）如图所示，过点C作CD⊥PM于D，则四边形OCDM是矩形 ，可以得到∠OCD=90°，点D的纵坐标为4，可以证明∠PCD=∠PCN，得到，则，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过A、B两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线BC的解析式为， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，4）， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴， ∵OC=4，OB=3， ∴， ∴， ∵PM⊥x轴， ∴， ∴∠PQN=∠BCO， 又∵PN⊥BC， ∴， ∴， ∴当时，PN有最大值； （3）解：存在，m的值为； 理由：如图所示，过点C作CD⊥PM于D，则四边形OCDM是矩形， ∴∠OCD=90°，点D的纵坐标为4， ∴∠OCB+∠BCD=90°， ∵∠OCB+2∠PCN=90°， ∴∠BCD=2∠PCN， ∴∠PCD=∠PCN， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 因此存在，m的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 2．(1) (2)或 (3)点D的横坐标为2或． 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）如图，连接OD，设，令 则 即 而 再分别表示   再利用的面积为列方程求解即可； （3）分∠DCE=2∠ABC及∠CDE=2∠ABC两种情况考虑：当∠DCE=2∠ABC，如图，过作轴交于 过作于 点作，垂足为点，则轴，可得 证明 设， 再列方程求解即可，当∠CDE=2∠ABC时，作C关于OB的对称点F，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图所示．先求解 点N关于BC的对称点为点P，可得 设 利用勾股定理求解的坐标，再求解直线CP的解析式为，从而可得答案． 【详解】（1）解： 点的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 解得： 经检验符合题意， 所以抛物线的解析式为： （2）解：如图，连接OD，设， 令 则 即 而 解得： 或 （3）解：如图，过作轴交于 过作于 点作，垂足为点，则轴， 当时， 设的解析式为： 由可得： 解得 所以BC为： 设， 解得： （不符合题意，舍去） 当∠CDE=2∠ABC时，作C关于OB的对称点F，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图所示． 点N关于BC的对称点为点P， 设 整理得： 即 解得： 或 即 而 则的解析式为： 解得： 所以 ∵点C（0，2）， 同理可得直线CP的解析式为． 将代入， 整理，得：， 解得：（舍去），， ∴点D的横坐标为． 综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求函数的表达式等知识，解题的关键是根据题意综合运用以上知识点，注意分类讨论思想的运用. 3．(1) (2)的最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）直接根据两点式写出抛物线的表达式，然后代入点求出即可． （2）如图1，过点D作DF∥x轴交BC于点，根据得出，从而将求的最大值转换为求的最大值，由于，故只需求出最大值即可得出答案． （3）由，作的角平分线，此时点在角平分线上或者在角平分线关于的对称直线上，分别求出两条直线解析式，然后联立抛物线即可求出点的坐标． 【详解】（1）设， 将代入上式，得，解得， ∴，即． （2）如图1，过点D作DF∥x轴交BC于点F， ∵DF∥AB， ∴△EDF∽△EAB， ∴， 设直线BC的解析式为， 将和分别代入上式，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， ∵点D为直线BC上方抛物线上一动点， ∴设， ∵DF∥AB交BC于点F， ∴， ∴， ∵， ∴开口向下， 当时，， ∵，， ∴， ∴的最大值为． （3）答：存在，或． ①如图2，作∠OCB的角平分线交x轴于点M，交抛物线于点，过点M作MN⊥BC于点N． ∵是∠OCB的角平分线，MN⊥BC，MO⊥OC， ∴MO＝MN， 在Rt△OCM和Rt△NCM中， ∴Rt△OCM≌Rt△NCM（HL）， ∴CN＝CO＝3， 在Rt△OCB中，， ∴BN＝CB－CN＝5－3＝2， 设OM＝MN＝x，则BM＝4－x， 在Rt△MNB中，∵， ∴ ，解得， ∴； 设直线CM的解析式为， 将和分别代入上式得， 解得， ∴直线CM的解析式为y＝－2x＋3， 联立得（舍），， 将代入y＝－2x＋3中得：， ∴． ②如图3，延长MN至Q，使得MN＝NQ，连接CQ交抛物线于，过N作NR⊥AB于R． 在和中， ∴（）， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴．根据中点坐标公式得； 设直线CQ的解析式为， 将和分别代入上式得， 解得， ∴直线CQ的解析式为， 联立得（舍），， 将代入中得， ∴． 综上所述，存在满足条件的点或． 【点睛】本题属于二次函数与几何综合题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，综合性较强，解题的关键是读懂题意，巧妙转化，将复杂的几何问题转化为代数问题． 4．(1)； (2)点D不在抛物线的对称轴上，证明见解析 (3)点P坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式； （2）抛物线的表达式为，点B坐标为（−4，0），可证明△AOC∽△COB，继而可证AC⊥BC，则将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，可证△ACO≌△DCE，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上； （3）在中，，，即，点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，分两种情况：①轴，联立求解即可；②与轴交于，根据等腰三角形性质得出，在中利用勾股定理求出线段长得到点坐标，进而求出直线，联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为， 设AC所在直线的表达式为y=kx+b， ∴，解得， ∴AC所在直线的表达式为y=2x-2； （2）：点D不在抛物线的对称轴上， 理由如下∶ ∵抛物线的表达式是， ∴令y＝0，则，解得，， ∴点B坐标为（-4，0）， ∵OA=1，OC=2， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACO=∠CBO， ∴∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°， ∴AC⊥BC， ∴将△ABC沿BC折叠，点A的对应点D一定在直线AC上， 如下图，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E， 又∵∠ACO=∠DCE， ∴， ∴DE＝OA＝1， ∴点D的横坐标为-1， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点D不在抛物线的对称轴上； （3）解：、， 在中，，，即， 点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，分两种情况： ①轴，如图所示： 联立，解得（与重合舍弃）或， ； ②与轴交于，如图所示： ∠PCB＝∠ABC， ，设， 在中，，，则根据勾股定理可得，即，解得， ， 设直线表达式为，则，解得， 直线表达式为， 联立，解得（与重合舍弃）或， ； 综上所述，坐标为或． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度． 5．(1)A（-2，0），B（3，0），C（0，3）； (2)点E到直线BC的距离d的最大值为； (3)在点D的运动过程中，∠ADB'能等于45°，此时点B′的坐标为（0，-3）或（-3，3）． 【分析】（1）分别令x=0，或y=0，求出对应的y，x值即可得出结论； （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，当点D在线段OB上时或当点D在线段OA上时，两种情况讨论，过点E作EG⊥BC于点G，设E（m，-m2+m+3），则F（m，-m+3），可得EF的值，利用等腰直角三角形的性质可得点E到直线BC的距离d的函数解析式，利用配方法即可求得d的最大值； （3）利用分类讨论的思想方法当∠ADB′能等于45°时，分点B′在x轴的上方和在x轴的下方解答，依据题意画出图形，利用已知条件求得相应线段的长度即可得出结论． 【详解】（1）解：令y=0，则-x2+x+3=0， 解得：x1=3，x2=-2． ∵点B在点A的右侧， ∴A（-2，0），B（3，0）． 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）； （2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：． ∴直线BC的解析式为y=-x+3． 当点D在线段OB上时，过点E作EG⊥BC于点G，如图， 设E（m，-m2+m+3）， ∵ED⊥x轴， ∴F（m，-m+3）． ∴EF=（-m2+m+3）-（-m+3）=−m2+m． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3． ∴∠OCB=∠OBC=45°． ∵DE∥OC， ∴∠EFG=∠OCB=45°． ∵EG⊥BC， ∴EG=GF=EF=-m2+m=− (m−) 2+． ∵-＜0， ∴点E到直线BC的距离d的最大值为； 当点D在线段OA上时，过点E作EG⊥BC于点G，如图， 设E（m，-m2+m+3）， ∵ED⊥x轴， ∴F（m，-m+3）． ∴EF=（-m+3）-（-m2+m+3）=m2-m． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3． ∴∠OCB=∠OBC=45°． ∵DE∥OC， ∴∠EFG=∠OCB=45°． ∵EG⊥BC， ∴EG=GF=EF=m2-m=(m−) 2-． ∵>0， ∴当m<时，EG的值随m的值增加而减少， ∵A（-2，0），O（0，0），即， ∴当m=-2时，EG有最大值． ∵ ∴点E到直线BC的距离d的最大值为； （3）解：当点D运动的过程中，∠ADB′能等于45°，分以下两种情况： ①如图，当点B′在x轴下方，∠ADB′=45°，连接CD，DB′， 则∠CB′D=∠CBO=45°． ∴∠DOB′=90°． ∴点B′恰好在y轴上． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3，BC=B′C=3． ∴OB′=CB′-OC=3-3． ∴B′（0，-3+3）； ②如图，当点B′在x轴的上方，且∠ADB′=45°时， 由题意得：△B′DC与△BDC关于CD轴对称， ∴∠B′=∠CBO=45°，BC=B′C． ∵∠ADB′=45°， ∴∠B′=∠CBO=∠ADB′=45°． ∴B′C∥BD，B′D∥BC， ∴四边形B′CBD为平行四边形． ∵BC=B′C， ∴平行四边形B′CBD为菱形． ∴B′C=BC=3，B′C⊥OC． ∴B′（-3，3）． 综上所述，在点D的运动过程中，∠ADB'能等于45°，此时点B′的坐标为（0，-3）或（-3，3）． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，配方法，二次函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 6．(1) (2)存在，当时， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线BC方程为．设P(m，)，过P作PM垂直x轴交BC于M，则M(m，)，即可求出，最后根据结合二次函数的性质即可解答； （3）设Q(n，n2-4n+3)，过Q作QN垂直x轴于N，连接CD，BD．则N(n，0)，QN＝-n2+4n-3，AN =n-1．根据二次函数解析式可求出D(2，-1)．根据两点距离公式结合勾股定理逆定理可证明∠CBD＝90°，即得出tan∠BCD＝tan∠BAQ＝＝，即得出关于n的等式，解出n，再舍去不合题意的n的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）将，，，分别代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线BC方程为， 则，解得：， ∴直线BC方程为． 设P(m，)，如图，过P作PM垂直x轴交BC于M， ∴M(m，)， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即当点P坐标为时，； （3）设Q(n，n2-4n+3)，如图，过Q作QN垂直x轴于N，连接CD，BD． ∴N(n，0)，QN＝-n2+4n-3，AN =n-1． ∵y＝x2-4x+3＝(x-2)2-1， ∴D(2，-1)． ∵A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)， ∴BC＝，BD＝，CD＝， ∵CD2＝BC2 +BD2＝20， ∴∠CBD＝90°， ∴tan∠BCD＝， ∴tan∠BAQ＝＝，即， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题为二次函数综合题．涉及利用待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，两点的距离公式，勾股定理逆定理以及解直角三角形等知识．在解（2）和（3）时正确的作出辅助线是解题关键． 7．(1)； (2)P（1，4）或P（2，3）； (3)（，） 【分析】（1）利用待定系数法将B，C坐标代入即可求解； （2）设P（a，﹣a2+2a+3），过点P作PF∥y轴交BC于点F，连接PC，PB，利用待定系数法求得直线BC的解析式，则利用a的代数式可以表示出线段PF的长，利用S△BCP＝S△PCF+S△PBF＝ ×PF•OB，求得△PBC的面积，再利用配方法求得a值即可得出结论； （3）设抛物线的对称轴交BC于点G，连接OG，AG，利用勾股定理的逆定理判定∠AGC＝90°，从而判定点A，C，G，O四点在以AC为直径的圆上；利用圆周角定理和已知条件得到∠BQC＝45°，设点Q（n，﹣n2+2n+3），设直线CQ的解析式为，直线CQ与x轴交于点S，可得，过点C作CK⊥BQ于点K，用含n的代数式分别表示出线段CK的长度，利用，得到关于n方程，解方程求得n值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点点B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）解：设P（a，﹣a2+2a+3）， 过点P作PF∥y轴交BC于点F，连接PC，PB，如图， 设直线BC的解析式为y＝kx+m，由题意得： ， 解得：． ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3． ∴F（a，﹣a+3）． ∵点P在线段BC的上方， ∴PF＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a． ∵B（3，0）， ∴OB＝3． ∵S△BCP＝S△PCF+S△PBF＝×PF•OB， ∴（﹣a2+3a）×3＝3． ∴a2﹣3a+2＝0． 解得：a1＝1，a2＝2． ∴P（1，4）或P（2，3）． （3）解：在抛物线上存在一点Q，使∠BQC＝∠ACO+∠ADE，理由： 设抛物线的对称轴交BC于点G，连接OG，AG，如图， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1． ∴E（1，0），G（1，2），A（﹣1，0）． 令x＝0，则y＝3． ∴C（0，3）． ∴OA＝OE＝1，EG＝GD＝2． ∴OG为△ADE的中位线． ∴OG∥AD． ∴∠ADE＝∠OGE． ∵AC＝， AG＝， CG＝， ∴AC2＝AG2+CG2． ∴∠AGC＝90°． ∵∠AOC＝90°， ∴点A，C，G，O四点在以AC为直径的圆上． ∴∠ACO＝∠AGO． ∴∠ACO+∠ADE＝∠AGO+∠OGE＝∠AGE． ∵AE＝GE＝2，∠AEG＝90°， ∴∠AGE＝45°． ∵∠BQC＝∠ACO+∠ADE， ∴∠BQC＝45°． 设点Q（n，﹣n2+2n+3）， ∴QC＝， QB＝， BC＝3． 设直线CQ的解析式为，直线CQ与x轴交于点S， ∴，解得∶， ∴直线CQ的解析式为， 当y=0时， ∴， ∴点， ∴， 过点C作CK⊥BQ于点K， 则CK＝． ∵， ∴×＝． 两边平方，化简整理得： n2（n﹣1）2﹣2n（n﹣1）﹣8＝0． 设n（n﹣1）＝t，则原方程变为： t2﹣2t﹣8＝0． 解得：t1＝﹣2，t2＝4． 当n（n﹣1）＝﹣2时， n2﹣n+2＝0． ∵Δ＜0， ∴此方程无解． 当n（n﹣1）＝4时， n2﹣n﹣4＝0． 解得：n＝或(舍去)． ∴点Q的坐标为（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，配方法，换元法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 8．(1)，； (2)△MAB为等边三角形，理由详见解析； (3)①； ②． 【分析】(1)把A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；求解顶点坐标直接代入顶点坐标公式即可． （2）点M在函数对称轴上，故MA=MB，tan∠MAQ=,即∠MAQ=60°，即可得到△MAB的形状． （3）①△ABD≌△EBF时，BF=BD，即点E在点M重合，即可求解：②如下图，设PD=a，则BD=a,PB=a=AP，在Rt△ABD中，tanα=，分别计算GF、EF的长度即可求解． 【详解】（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式得， 解得 ∴二次函数表达式为：． 顶点M坐标： , ∴． （2）△MAB为等边三角形． 理由如下：∵M在对称轴上， ∴MA=MB，tan∠MAQ= ∴∠MAQ=60° ∴△MAB为等边三角形． （3）①△ABD≌△EBF时，BF=BD，即点E在点M重合， 此时，AP在MB的中垂线上，则∠PAQ=30°， 则， 即点P; ②设∠PAQ=α，则∠PBQ=α，∠FEB=α ∵∠APB=135°，则∠DPB=45°, 设PD=a,则BD=a， PB=a=AP, 在Rt△ABD ，tanα= 在Rt△GBF中， 在Rt△EFB中，, ， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到三角形全等、解直角三角形等知识点，综合程度较高． 9．(1) (2)，点D的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由A、B、C的坐标，待定系数法求函数解析式即可； （2）根据抛物线的对称轴，设点D的坐标为，由，利用两点距离公式列方程求得m，再由△DAC的三边关系计算∠CDA即可； （3）点P的位置有两种情形，分别在直线的上方和下方：①当点P在直线的上方时，由，根据抛物线的对称性和C关于对称轴l对称，即可解答；②当点P在直线的下方时，根据P1C⊥y轴，得△CEB≌△CP1B（ASA），则CE=CP1，求得E点坐标，再与B点坐标得出直线BE的表达式；进而与抛物线联立求得P2坐标； 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点， ∴，    解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴l为，设点D的坐标为， ∵， 由两点距离公式可得： ，，， ∵，则，， 解得：m=，即D（，）， ∴，， ∵，∴； （3）解：如图：点P在直线的上方时，记为，点P在直线的下方时，记为，抛物线对称轴为l，与x轴交于点E，连接AC， ①当点P在直线的上方时， ∵，又，∴， ∵A和B关于对称轴l对称，∴直线和关于对称轴l对称， 又和C均在抛物线上，∴和C关于对称轴l对称， ∵，对称轴l为，∴的坐标为； ②当点P在直线的下方时， ∵P1C⊥y轴，则∠ECB=∠P1CB=45°， ∵∠EBC=∠P1BC，BC=BC， ∴△CEB≌△CP1B（ASA），∴CE=CP1， ∵的坐标为，∴，又，∴E的坐标为， ∵，∴直线的表达式为， 则由，解得的坐标为（另一点为B）， 综上所述点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理，一次函数与二次函数的综合，此题综合性强难度大，结合对称的性质求二次函数与直线的交点是解题关键． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）将M点坐标设出来，利用矩形的对称性分别将点N，点P的坐标表示出来，再表示出线段MN、MP的长，即可得到矩形周长和点M横坐标的关系式，根据二次函数的性质求出最值即可； （3）求出的解析式，①求出直线BC的解析式与的解析式联立，利用根的判别式求出m的值；②设出F点坐标，利用得出两个角的正切值相等，即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为直线， 设，由题意可知，当四边形MNPQ为矩形时，点M与点N关于对称轴对称， 可得， 当时，与图象关于对称， 则， ，， 矩形周长， 根据题意可知， 所以当时，矩形周长最大为； （3）抛物线的解析式为， 其顶点坐标为，关于直线对称点的坐标为， 的解析式为， 设直线BC 的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ， 联立，得， 抛物线与直线BC恰好只有一个公共点， ， 解得：； 由题意得：，， ， ， ， 当，， 过F作轴，则， 设， 当点F在x轴的上方时，如图， ，， ， 解得：（另一个舍去）， ； 当点F在x轴的下方时，如图， ，， ， 解得：， ， 所以或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力培养，要会利用数形结合的思想将代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 11．(1) (2)或 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式． （2）分情况求解，①作，则，求得点的坐标，②当在下方时，设交轴于点，过点作，根据，求得的长，进而勾股定理求得的长，即可求得点的坐标，求得直线的解析式，联立二次函数解析式与直线解析式，即可求得点的坐标 （3）首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， ，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为：． （2）如图， ①作，则， 由， 解得 ②当在下方时，设交轴于点，过点作， ， ， 在中 设直线的解析式为，将点，代入，得， 解得 直线的解析式为 联立二次函数解析式与直线解析式，得 解得 综上所述，点的坐标为或 （3）解：假设存在这样的． 如图所示，设直线与直线交于点． 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：，， 直线解析式为：， 令，得， ，． ，轴 在中，由勾股定理得：． 设，则在中，由勾股定理得：． 设与直线相切于点，则． 在与中， ，， ∴， ， 即， 化简得：，解得或． 存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 12．(1)（-，0） (2) (3)（，3）或（，） 【分析】（1）由题意可知OC=3，根据，可求，可知点A坐标； （2）A（-，0），点C（0,3）代入解析式即可； （3）如图分两种情况点：点D在直线BC上方和下方讨论即可． 【详解】（1）解：由题意可知OC=3 ∵ ∴ ∴ ∴点A的坐标为（-，0）． （2）解：将点A（-，0），点C（0,3）代入解析式 得 解得： ∴该抛物线的解析式为． （3）解：情况一：如图，过点C作交抛物线于点 ∴ 令 解得 ∴点的坐标为（，3） 情况二：如图，取BC中点M，过点M作交AB于点N，连接CN，并延长CN交抛物线与于点 ∵直线MN是线段BC的垂直平分线 ∴CN=BN ∴ 由（2）可知 令 解得 ∴点B坐标为（9,0） 设直线BC解析式为 将点B（9,0），点C（0,3）代入 得 解得 ∴直线BC解析式为 ∵点M是BC中点 ∴点M坐标为（） ∵ ∴直线MN的k为3 设直线MN解析式为 将点M（）代入 得 ∴直线MN解析式为 令，解得 ∴点N坐标为（4,0） 设直线CN解析式为 将点C（0,3），N（4,0）代入 得 解得 ∴直线CN解析式为 将直线CN与抛物线联立得 解得 或 ∴点的坐标为（，） 综上点D的坐标为（，3）或（，）． 【点睛】本题是二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式以及等腰三角形和平行线的性质是解题的关键． 13．(1)， (2)①，②或 【分析】（1）分别令，，解方程求解即可； （2）过点作轴交于点，先求得的解析式，进而设，则，根据二次函数的性质求得当的面积最大时，，①作关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称性求得线段和最小值，即周长的最小值为，②连接PB，取PB的中点M，过点作，交轴于点，过作的垂线，交轴于点，作的角平分线交轴于点，过点作，即为所求的点，根据角平分线的性质，可得到的距离相等，设为，得到，代入数值计算即可，同理可得的坐标． 【详解】（1）由，令，则 令，则 解得 （2）如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 点P是抛物线在第一象限上的一动点， 设，则 当时，最大 当的面积最大时，． ①如图1，若E是y轴上一点， 作关于轴的对称点，连接交轴于点 , 周长的最小值为 即周长的最小值； ②如图2，连接PB，取PB的中点M，过点作，交轴于点，过作的垂线，交轴于点，作的角平分线交轴于点，过点作， 即为所求的点 ，，为的中点 , ，， ， 是的角平分线， 到的距离相等，设为， 则 设，则 解得 同理，设， 即 解得或（舍） , 综上所述，或 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，轴对称求最值问题，综合运用以上知识是解题的关键． 14．(1)y＝﹣x2+4 (2)5，理由见解析 (3)点P坐标为（﹣2，2） 【分析】（1）由题意得点C坐标为（0，4），点A坐标为（﹣4，0），根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+4，将点A（﹣4，0）代入可得16a+4＝0，即可求解； （2）当点P与点A重合时，PQ+PM＝AQ＝＝5，当点P与点C重合时，PQ+PM＝CQ+CO＝1+4＝5，对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值5，理由如下：先设点P的坐标为（m，﹣m2+4），用m的代数式表示PQ＝＝＝＝，得PQ+PM＝＝5； （3）由（2）得PQ+PM＝5，设点P的坐标为（x，y），得PM＝y，PQ＝5﹣y，由cos∠NPQ＝得，解得y＝2，即可求解． 【详解】（1）解：∵边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上， ∴点C坐标为（0，4），点A坐标为（﹣4，0）， 根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+4， 将点A（﹣4，0）代入可得16a+4＝0， 解得a＝﹣， ∴此抛物线关系式为：y＝﹣x2+4； （2）解：当点P与点A重合时，PQ+PM＝AQ＝＝5， 当点P与点C重合时，PQ+PM＝CQ+CO＝1+4＝5， 故答案为：5； 对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值5， 理由如下：过点P作PD⊥y轴于点D， 设点P的坐标为（m，﹣m2+4）， ∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点， ∴PD＝﹣m，QD＝|﹣m2+4﹣3|， ∴PQ＝＝＝＝， ∴PQ+PM＝＝5； （3）解：由（2）得PQ+PM＝5， 设点P的坐标为（x，y）， ∴PM＝y，PQ＝5﹣y， ∵∠NPQ为锐角，则y＜3， ∴QD＝3﹣y， ∵cos∠NPQ＝，∠NPQ＝∠DQP， ∴， 解得y＝2， 把y＝2代入抛物线解析式得， y＝﹣x2+4＝2， 解得x＝， ∵点P在AC段上， ∴x＝﹣2， ∴点P坐标为（﹣2，2）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正方形的性质，两点距离公式，解直角三角形等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 15．(1)2 (2) (3)（0，﹣1） 【分析】（1）先求出A（﹣m，0），B（2，0），C（0，﹣2m），再由三角形面积（2＋m）×（2m）＝8，可求m的值； （2）过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，证明△CED∽△TFC，可得，进而求出D（t2，t﹣4），再求出直线AT的解析式为y＝（t﹣2）x＋2t﹣4，将D点坐标代入直线解析式即可求（t﹣1）2； （3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，可得CPAP（CP＋AP）（GP＋AP）BG，可求CPAP的最小值为8，再由tan∠ACO，求出P（0，﹣1）． 【详解】（1）解：y=x2+（m-2）x一2m=（x-2）（x+m）， 令y=0，则x=2或x=-m， ∵m＞0， ∴-m＜0， ∴A（-m，0），B（2，0）， ∴AB=2+m， 令x=0，则y=-2m， ∴C（0，-2m）， ∵△ABC的面积为8， ∴×（2+m）×（2m）=8， 解得m=2或m=-4（舍）； （2）解：当m=2时，y=x2-4， ∵点T的横坐标为t， ∴T（t，t2-4）， 过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点， ∵∠DCT=90°， ∴∠DCE+∠TCF=90°， ∵∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠TCF=∠CDE， ∴△CED∽△TFC， ∴， ∵∠ATC=60°， ∴， ∵C（0，-4）， ∴CF=t，TF=t2， ∴DE=t，CD=t2， ∴D（-t2，t-4）， 设直线AT的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴y=（t-2）x+2t-4， ∴t-4=（t-2）（-t2）+2t-4， ∴（t-1）2=； （3）解：过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P， ∵A、B关于y轴对称， ∴AP=BP， ∵∠GBA+∠BAC=∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠ABG=∠ACO， ∵AO=2，CO=4， ∴AC=2， ∴sin∠ACO=， ∴=， ∴CP=GP， ∵CP+AP=（CP+AP）=（GP+AP）≥BG， ∵cos∠ACO=， ∴BG=， ∴CP+AP的最小值为8， ∵tan∠ACO=， ∴OP=1， ∴P（0，-1）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，会用胡不归求最短距离是解题的关键． 16．(1) (2)①当时，FG有最大值，FG的最大值=2；②G（3，－）或（1，－4.5）． (3)2或 【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入求得a的值即可； （2）①先求得直线CB的解析式，由F（x，x-4），得到，然后依据二次函数的性质求解即可；②过点D作DH∥y轴，交CG于点H，先求得点D的坐标，则可得到CD的长，然后证明，可得到点H的坐标，再求得CG的解析式，最后求得CG与抛物线的交点坐标即可； （3）当点Q在点C的上方时，由菱形的对角线平分每一组对角可得到∠ACP=90°，则CP∥x轴，可求得点P的坐标，故此可得到菱形的边长；当点Q在点C的下方时．过点P作PE⊥y轴，垂足为E．设菱形CQPM的边长为a，可求得点P的坐标为，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线的解析式得： ∴C（0，－4）． 设抛物线的解析式为， 将点C的坐标代入得；，解得： ∴，即． （2）①设直线BC的解析式为，将点B和点C的坐标代入得： 解得：， ∴直线CB的解析式为 ∵点E（x，0），EF⊥x轴， F，G ∴ ∴当时，FG有最大值，FG的最大值=2． ②如图1所示：过点D作DH//y轴，交CG于点H． ∵CD∥x轴， ∴点D的纵坐标为－4． 将代入抛物线的解析式得：， 解得：或 ∴D（2，－4）． ∴CD=2 ∵∠ACO=∠DCG ∴tan∠ACO=tan∠DCG ∴，即，解得 ∴H（2，－3）． 设CG的解析式为，将点H的坐标代入得：，解得 ∴直线CG的解析式为． 将代入得：， 解得：或 将代入得： ∴G（3，－）， 当G点在CD下方时， ∴H（2，－5）． ∴直线CG的解析式为 ，解得：或 将代入得：， ∴G（1，－4.5）， 综上所述，满足条件的点G（3，－）或（1，－4.5）． （3）如图2所示，当点Q在点C的上方时， ∵OB=OC=4， ∴∠OCB=45°， ∵QCPM为菱形， ∴∠QCP=90° ∴轴． 由（2）可知点P的坐标为（2，-4）． ∴菱形的边长为2． 如图3所示：当点Q在点C的下方时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E． 设菱形COPM的边长为a，则QC=PQ=a， ∵∠CQP=45°， ∴EP=QE=， ∴P的坐标为， 将点P的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：， 综上所述菱形COPM的边长为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、锐角三角函数的定义，菱形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 17．(1)y＝x2﹣2x；点M的坐标为（3，﹣3） (2)点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣） (3)见解析 【分析】（1）先求出A、B坐标，再根据抛物经过原点得到c=0，由此利用待定系数法求出抛物线解析式，然后求出顶点坐标即可； （2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，设点E的坐标为（m，m2﹣2m），则点H（m，m+3），然后根据进行求解即可； （3）设直线CM与y轴交于点E先求出直线CM的解析式为，从而得到点C（﹣3，0），点E（0，），即可求出再求出，即可得到，则∠ADM﹣∠ACM=∠HMD＝45°． 【详解】（1）解：对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3， 故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x； 则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3， 则点M的坐标为（3，﹣3）； （2）解：如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H， 设点E的坐标为（m，m2﹣2m），则点H（m，m+3）， ∴， ∴ 解得x＝1或 ， 故点E的坐标为（1，﹣）或（，）； （3）解：设直线CM与y轴交于点E ∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3） ∴直线CM的解析式为， ∴， ∴，   ∴直线CM的解析式为， 令y＝﹣x﹣＝0，解得x＝﹣3，令x=0，则 ∴点C（﹣3，0），点E（0，）， ∴，， ∴， ∴ 过点D作DH⊥CM于点H， ∵D（2，0），C（-3，0），M（3，-3）， ∴CD=5，， ∴，   ∴， ∴∠HMD=45°， ∴∠ADM﹣∠ACM=∠HMD＝45° 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解． 18．(1) (2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6） (3)存在，Q的坐标为（，）或(，） 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入，即可求解； （2）由题意可得×4×｜｜＝12，再由P点在x轴下方，则＝﹣6，即可求P点坐标； （3）将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D，连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ，再证明点Q满足要求，并利用轴对称找到另外一个满足要求的点即可． 【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：对于， 当x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|， ∵S△BOP＝2S△AOC， ∴×4×｜｜＝12，， ∴|yP|＝6， ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴P点在x轴下方， ∴＝﹣6， ∴＝﹣6， 解得x＝﹣5或x＝6， ∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）,； 如图1所示， （3）解：存在，Q的坐标为（，）或(，）． 理由如下： ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴ 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交点为点E（，0）， 将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D， 连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ， 则点Q满足要求，即∠QBA＝75°，如图2所示， ∵抛物线交x轴于，两点 ∴直线垂直平分AB，AB＝7 即直线DE垂直平分AB ∴ AD＝BD ∴△ABD是等腰三角形 ∵∠ABD＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴BE＝AE＝AB＝，∠ADB＝60°，BD＝AB＝7 ∴DQ＝BD＝7 ∴∠DBQ＝∠BQD ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝∠ADB＝30°，∠BED＝90° ∵∠BDE是△BDQ的外角 ∴∠BDE＝∠DBQ+∠BQD＝2∠DBQ＝2∠BQD ∴∠DBQ＝∠BQD＝∠BDE＝15° ∴ ∠QBA＝∠ABD+∠DBQ＝75° 在Rt△BED中， ∴ ∴EQ＝ED+DQ＝+7＝ ∴点Q的坐标是（，）， 如图2，以点E为圆心，EQ为半径画弧交直线EQ于点，则点Q与点关于x轴对称，由轴对称性质知，∠BA＝∠QBA＝75°， ∴ 点也满足题意，点 的坐标为(，）， 故点Q的坐标为（，）或(，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数表达式，勾股定理等知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$