专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式与一次函数压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 2．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即当n为非负整数时，若，则．如，．给出下列关于的结论：①；②；③若，则实数x的取值范围是；④若，则．其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 4．（24-25七年级下·北京昌平·期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解：，． ，，． ，， 同理，得． 由，得， 的取值范围是． 【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25八年级下·湖北·期末）定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有 个． 9．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 【经典例题三 一元一次不等式与一次函数压轴】 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 14．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 18．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 20．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】21．（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 22．（24-25七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 23．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 26．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 27．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 28．（24-25七年级下·福建泉州·期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 29．（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 30．（24-25七年级下·福建福州·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 33．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 34．（24-25七年级下·北京通州·期中）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5． （1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是　 　； （2）求关于x的不等式组的解集； （3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围． 35．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 24-2536．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 39．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式与一次函数压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，不等式的解集，解不等式，掌握绝对值与算术平方根的非负性，求出，且是解题的关键． 先根据非负数的性质，得出，，解得：，，再根据不等式的解集为，得到，，把，代入，得，然后由，则，解得，所以，最后解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵关于的不等式的解集为， ∴，， ∴， 把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 即不等式的解集是． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了取整函数，解一元一次不等式组，理解表示不大于a的最大整数是解题的关键，先求出，再利用可求x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 由[a]表示不大于a的最大整数， 则， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即当n为非负整数时，若，则．如，．给出下列关于的结论：①；②；③若，则实数x的取值范围是；④若，则．其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③/③① 【分析】①四舍五入到个位为1，故①正确；②由，变形得，得或或，说法②错误；③若，则，求解得③正确；④反例：时，，故④错误； 【详解】解：①；四舍五入到个位为1，故①正确； ②若，则，即 ∴， ∴或或，说法②错误； ③若，则， ∴实数x的取值范围是；说法③正确； ④反例：时，，，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查对新定义和理解，不等式变形；能够理解新定义并熟练变形是解题的关键． 4．（24-25七年级下·北京昌平·期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解：，． ，，． ，， 同理，得． 由，得， 的取值范围是． 【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示． 【答案】（1）；（2）当时， 【分析】（1）仿照例子，运算求解即可； （2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a的取值范围即当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 7．（24-25八年级下·湖北·期末）定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题． 【详解】解：令，代入原方程可得， 解得， 由题意可得， ∴，解得， ∵n为整数， ∴n=1或2， 当n=1时，， 当n=2时，， 则方程所有解的和为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有 个． 【答案】12 【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：， ， ，是正整数， ， 解得，即只能取1，2，3， 当时，， 正整数解为：，，，，，， 当时，， 正整数解为：，，，， 当时，， 正整数解为：，； 综上，它的正整数解有12个． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键． 9．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 【答案】(1)12 (2)图见解析， 【分析】本题考查实数的运算、一元一次方程及一元一次不等式，理解题中新定义，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）根据新定义，列方程求解即可； （2）根据新定义，列出不等式并求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上，利用数轴可求得最小的整数值． 【详解】（1）解：由题意，将化为 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得， 故答案为：12； （2）解：因为， 所以， ． 因为， 所以，解得． 原不等式的解集为，在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，最小整数解为． 【经典例题三 一元一次不等式与一次函数压轴】 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键． 先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解． 【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图： ∵直线与交于点， 由图可知当时，函数的值大于函数的值， ∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可， ∵当直线平行于直线时，符合题意，此时 ∴满足题意，， 故答案为：． 14．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与轴对称变换．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，即可； （2）先根据对称性求出直线的解析式，再结合函数图象对求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点A， ， 把点代入直线中， 得，， 解得，， 直线的解析式为； 故答案为：， （2）解直线与直线关于直线对称， 直线为， 画出函数图象如解图， 结合图象， 可得，或时，区域内恰有1个整点． 故答案为：或． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式．熟练掌握解不等式，是解题的关键． 由已知得，得，的最小值为4，，得 ，即得． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 17．（24-25九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 18．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键． 根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解集是， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，． 故选：D． 19．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 【答案】26 【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】联立， 把a看作常数，解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴当时，；当时，； ∴． 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键． 20．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 (3)或 【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可； （2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可； （3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ②代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数， ∴二元一次方程组是1系方程组， 故答案为：1； （2）解；， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或， 当整数为时，则， 解得，； 当整数为时，则， 解得，； 综上所述，或； （3）解：， 将②代入①得，， 解得，， ∴， 由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数， ∴，即， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，或 ． 【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 21．（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（24-25七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 23．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 25．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 26．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 27．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 28．（24-25七年级下·福建泉州·期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)这个公共解为； (3)；． 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）由方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （3）化简整理用含x，y的代数式表示a，之后将两种情况下的x、y代入a，可得，再根据题意得到，解之即可求解． 【详解】（1）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得：； （2）解：原方程整理得， 由题意得，方程的解与a无关， ∴， 解得， ∴这个公共解为； （3）解：， 即， ∴， ∴； 当，时，， 此时，即， ∴， 当，时，， 此时，即， ∴， ∴， ∵m恰好有4个整数解， ∴4个整数解为， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，求不等式组的解集，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键． 29．（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 【答案】(1)1＜x+y＜5 (2)a＞1 (3) 【分析】（1）模仿阅读材料解答即可； （2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可； （3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论． 【详解】（1）解：∵x-y=3， ∴x=y+3， ∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞-1， 又∵y＜1， ∴-1＜y＜1…①， 同理可得2＜x＜4…②， 由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5， 故答案为：1＜x+y＜5； （2）解：解方程组， 得， ∵该方程组的解都是正数， ∴x＞0，y＞0， ∴， 解不等式组得：a＞1， ∴a的取值范围为：a＞1； （3）解：∵a－b=4，b<2， ∴， ∴， 由（2）得，a＞1， ∴， ∴…①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴…②， 由①+②得：， ∴2a＋3b的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键． 30．（24-25七年级下·福建福州·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围； （3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围． 【详解】（1）解：3x-5=4， 解得：x=3， 当x=3时， ①， 解得：，故①不符合题意； ②， 解得：x≤3，故②符合题意； ③， 解得， 故不等式组的解集是：，故③符合题意； 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解” ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， 解得， 由解得． 当时， ∴， 即. ∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， ∴． ∵满足条件的整数n有且只有一个， ∴ ∴ 解得 ∴， ， ∴此时n恰好有一个整数解-2， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 33．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案； （2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可； （3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1， ∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①当时 此时要求且 无解 ②当时 此时要求 则 ③当时 此时要求且 无解 综上所述： （3）①当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ②当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ③当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 综上所述：或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． 34．（24-25七年级下·北京通州·期中）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5． （1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是　 　； （2）求关于x的不等式组的解集； （3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围． 【答案】（1）3；（2）m﹣1≤x＜m+1；（3）m＞6或m≤1． 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （3）由已知得出m-1＞5或m+1≤2，解之可得答案． 【详解】解：（1）点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是5﹣2＝3， 故答案为：3； （2）解不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1， 解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1， 则不等式组的解集为m﹣1≤x＜m+1； （3）∵关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上， ∴m﹣1＞5或m+1≤2， 解得：m＞6或m≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 35．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范围； （2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，化简绝对值，合并同类项即可； （3）根据不等式以及不等式的解可确定，再结合（1）可进一步确定k的取值范围，取整数解即可． 【详解】解：（1）， ①+②得：，即， 又∵， ∴，即； （2）∵， ∴，， ∴； （3）由可得， 两边同时除以得到， 不等号的方向改变，故，解得， 由（1）可知，故， 故=-1时满足条件． 【点睛】本题考查解方程组，解不等式组，化简绝对值和求不等式组的整数解．（1）中掌握整体思想是解题关键；（2）中理解正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解决此题的关键；（3）中熟记不等式的三个性质，并且能根据不等式的性质进行分析是解题关键． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 24-2536．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次不等式．解题的关键在理解新定义，根据新定义转化为一元一次方程和不等式问题去解决． 分情况讨论，验证的所有取值即可判定①；取特殊值验证，当时，即可判定②；在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解可判定③；把方程问题转化为不等式问题，由，得，即，可判定④． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故当时，则的值为或0或1或，故①错误； ②当时，，故②错误； ③当，2.1，3.1，时，方程均成立，故正③确； ④由，得，即，故④正确； ∴正确的有③④，共2个． 故选：B． 37．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 39．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：①因为，，，，所以连动数的是，2.5， ②因为，，，，， 所以连动数的是，2.5， 故答案为①，2.5；②，2.5， （2）解：解关于的方程得，， 关于的方程的解满足是连动数， 或， 解得或； 故答案为或； （3）解： 由①得，； 由②得，， 不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时， 四个连动整数解为，，1，2， ， 的取值范围是． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是不等式③的“梦想解” (2)m为14或15 (3)m的取值范围是 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组）， （1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解方程得， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$