18.2.2　菱形 同步练习 2024—-2025学年人教版数学八年级下册

　菱形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的判定 1.(2024·南昌期中)在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是(D) A.AC=BD B.AB=AC C.∠A=∠B D.AC⊥BD 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有　①②③④　(只填写序号).  4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上, 且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; 【解析】(1)∵AD=BC, ∴AD+DC=BC+DC, 即AC=BD, 在△AEC和△BFD中,, ∴△AEC ≌△BFD(SSS), ∴∠A=∠B, ∴AE∥BF; (2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形. 【解析】(2)方法一:在△ADE和△BCF中,, ∴△ADE ≌△BCF(SAS), ∴DE=CF,又EC=DF, ∴四边形DECF是平行四边形, ∵DF=FC,∴▱DECF是菱形. 方法二:∵△AEC ≌△BFD, ∴∠ECA=∠FDB, ∴EC∥DF, 又EC=DF, ∴四边形DECF是平行四边形, ∵DF=FC, ∴▱DECF是菱形. 知识点2　菱形性质和判定的综合应用 5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD, ∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=6,CD=8,则BO的长为(C) A.8 B.6 C.4 D.5 6.如图,将四根长度相等的细木条首尾顺次相连,用钉子钉成四边形ABCD,若AB=6,∠B=60°,则B,D两点间的距离为　6　.  7.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD. (1)求证:AC⊥BD; 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴▱ABCD是菱形,∴AC⊥BD; (2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长. 【解析】(2)∵点E,F分别为AD,AO的中点, ∴EF是△AOD的中位线,∴OD=2EF=3,由(1)可知,四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6, 在Rt△AOD中,由勾股定理得AD===, ∴C四边形ABCD=4AD=4. 【B层 能力进阶】 8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是(D) A.AB=AE B.∠DAE=90° C.AB=AC D.∠BAC=90° 9.(2024·惠州期中)如图,在▱ABCD中,AB=BC,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接EF,FG,GH,HE,则对四边形EFGH的形状描述最准确的是(B) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 10.(2023·聊城中考)如图,在▱ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为　24　.  11.如图,在▱ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE, 若∠BCE=40°,则∠ADE=　15°　.  12. (2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点, 且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; 【解析】(1)连接AC,BD交于点O,交FG于点N,交HG于点M, ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵四边形EFGH是矩形, ∴∠HGF=90°, ∵H,G分别是AD,DC的中点, ∴HG∥AC,HG=AC, ∴∠HGF=∠GNC, ∴∠GNC=90°, ∵G,F分别是DC,BC的中点, ∴GF∥BD,GF=BD, ∴∠GNC=∠MOC=90°, ∴BD⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形; (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长. 【解析】(2)∵矩形EFGH的周长为22, ∴HG+FG=11, ∴AC+BD=22, ∵·AC·BD=10, ∴AC·BD=20, ∵(AC+BD)2=AC2+2AC·BD+BD2, ∴AC2+BD2=444, ∴AC2+BD2=111, ∴AO2+BO2=111, ∴AB2=AO2+BO2=111, ∴AB=. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图1,用硬纸板剪一个平行四边形ABCD,作出它的对角线的交点O.准备一根平放在平行四边形ABCD上的直细木条EF,用大头针把木条EF的中点固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动. (1)如图2,拨动细木条EF到对角线AC的位置,连接BE,ED,DF,FB.请你证明此时四边形BEDF是平行四边形; 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,∵点O是EF的中点, ∴OE=OF,∴四边形BEDF是平行四边形. (2)如图3,把上述平行四边形换成矩形ABCD,拨动EF,使得点E,F分别落在边AD,BC上,连接BE,DF.若EF⊥BD,AD=4,AB=2,求此时△ABE的面积. 【解析】(2)∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OD,∠A=90°, 又∵OE=OF,EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形,∴BE=DE, 设AE=x(x>0),则BE=DE=AD-AE=4-x, 在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=,即AE=, 则此时△ABE的面积为AB·AE=×2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　菱形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是(C) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若∠1=20°,则∠DCB=　40　度.  4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若OA=8,OH=6,则菱形ABCD的面积为　96　.  5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为　70°　.  6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE ≌△CDF. 【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB, ∵BE=BF,∴AE=CF, 在△ADE和△CDF中,, ∴△ADE ≌△CDF(SAS); (2)ME=NF. 【证明】(2)由(1)知△ADE ≌△CDF, ∴∠ADM=∠CDN,DE=DF, ∵DA=DC, ∴∠DAM=∠DCN, ∴∠DMA=∠DNC, ∴∠DMN=∠DNM, ∴DM=DN, ∴DE-DM=DF-DN, ∴ME=NF. 知识点2　菱形性质的实际应用 7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是　60　°.  8.中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图,晓进家有一个菱形中国结装饰,对角线AC,BD相交于点O,测得AB= 10 cm,BD=16 cm,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,求OH的长. 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=BD=8 cm,AO=OC=AC, ∴∠AOB=90°, ∴AO==6 cm,∵AH⊥BC, ∴∠AHC=90°, ∴OH=AC=AO=6 cm. 【B层 能力进阶】 9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为(B) A.80° B.75° C.70° D.60° 10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是(A) A.2 B. C.1.5 D. 11.(2023·甘孜中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为　(3,)　.  12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中, ∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　10°或80°　.  13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线. (1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); 【解析】(1) (2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数. 【解析】(2)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABC=∠D=140°,AB=CB, ∴∠BAC=∠BCA=×(180°-140°)=20°, ∵MN垂直平分AB, ∴AF=BF, ∴∠ABF=∠BAC=20°, ∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=120°. 【C层 创新挑战(选做)】 14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点, AE⊥BC,AF⊥CD,CG∥AE,CG交AF于点H,交AD于点G. (1)求证:四边形AECG是矩形. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC,AB=BC=4, ∵CG∥AE, ∴四边形AECG是平行四边形, ∵AE⊥BC, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∴四边形AECG是矩形. (2)求∠CHA的度数. 【解析】(2)连接AC,如图所示: ∵E为BC中点,AE⊥BC, ∴AB=AC, ∵AB=BC, ∴AB=BC=AC, ∴∠B=∠BAC=60°, 在等边三角形ABC中,∵AE⊥BC, ∴∠CAE=∠BAC=30°, 同理∠CAF=30°, ∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°, ∵AE⊥BC,CG⊥AD,AD∥BC, ∴AE∥CG, ∴∠CHA=180°-∠EAF=180°-60°=120°. (3)求菱形ABCD的面积. 【解析】(3)∵∠B=60°,∠AEB=90°, ∴∠BAE=30°,∵AB=4, ∴BE=AB=2, 在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE===2. ∴S菱形ABCD=BC·AE=4×2=8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　菱形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的判定 1.(2024·南昌期中)在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是( ) A.AC=BD B.AB=AC C.∠A=∠B D.AC⊥BD 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有 (只填写序号).  4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上, 且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; (2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形. 知识点2　菱形性质和判定的综合应用 5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD, ∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=6,CD=8,则BO的长为( ) A.8 B.6 C.4 D.5 6.如图,将四根长度相等的细木条首尾顺次相连,用钉子钉成四边形ABCD,若AB=6,∠B=60°,则B,D两点间的距离为 .  7.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD. (1)求证:AC⊥BD; (2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长. 【B层 能力进阶】 8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是( ) A.AB=AE B.∠DAE=90° C.AB=AC D.∠BAC=90° 9.(2024·惠州期中)如图,在▱ABCD中,AB=BC,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接EF,FG,GH,HE,则对四边形EFGH的形状描述最准确的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 10.(2023·聊城中考)如图,在▱ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 .  11.如图,在▱ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE, 若∠BCE=40°,则∠ADE= .  12. (2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点, 且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图1,用硬纸板剪一个平行四边形ABCD,作出它的对角线的交点O.准备一根平放在平行四边形ABCD上的直细木条EF,用大头针把木条EF的中点固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动. (1)如图2,拨动细木条EF到对角线AC的位置,连接BE,ED,DF,FB.请你证明此时四边形BEDF是平行四边形; (2)如图3,把上述平行四边形换成矩形ABCD,拨动EF,使得点E,F分别落在边AD,BC上,连接BE,DF.若EF⊥BD,AD=4,AB=2,求此时△ABE的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　菱形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若∠1=20°,则∠DCB= 度.  4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若OA=8,OH=6,则菱形ABCD的面积为 .  5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为 .  6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE ≌△CDF. (2)ME=NF. 知识点2　菱形性质的实际应用 7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.  8.中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图,晓进家有一个菱形中国结装饰,对角线AC,BD相交于点O,测得AB= 10 cm,BD=16 cm,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,求OH的长. 【B层 能力进阶】 9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为( ) A.80° B.75° C.70° D.60° 10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是( ) A.2 B. C.1.5 D. 11.(2023·甘孜中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 .  12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中, ∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 .  13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线. (1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数. 【C层 创新挑战(选做)】 14. (几何直观、推理能力、模型观念)如图,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点, AE⊥BC,AF⊥CD,CG∥AE,CG交AF于点H,交AD于点G. (1)求证:四边形AECG是矩形. (2)求∠CHA的度数. (3)求菱形ABCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$