18.1.2　平行四边形的判定 同步练习 2024—-2025学年人教版数学八年级下册

　平行四边形的判定(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　三角形的中位线定理 1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为(C) A.40° B.50° C.140° D.150° 2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE, 则∠CED的度数是(B) A.70° B.60° C.30°　 D.20° 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则DE的长是 　6　.  4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为　3　.  5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,连接CD, ∠ADC+∠DCB=90°,AE平分∠CAB交CD于点E. (1)求证:AE垂直平分CD; 【解析】(1)因为∠ACB=90°, 所以∠ACD+∠DCB=90°, 因为∠ADC+∠DCB=90°, 所以∠ACD=∠ADC, 所以AC=AD,即△ACD为等腰三角形, 因为AE平分∠CAB, 所以AE⊥CD,CE=DE, 所以AE垂直平分CD; (2)若AC=6,BC=8,点F为BC的中点,连接EF,求EF的长. 【解析】(2)在Rt△ABC中,AC=6,BC=8, 所以AB===10, AD=AC=6,所以BD=AB-AD=4, 因为点E为CD的中点,点F为BC的中点, 所以EF为△CBD的中位线, 所以EF=BD=2. 知识点2　三角形的中位线与平行四边形 6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=6,E为AD上一动点,M,N分别为BE,CE的中点,则MN的长为(B) A.4 B.3 C.2 D.不确定 7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OA,OB的中点,若AC+BD=32 cm,△OEF的周长为13 cm,则CD的长为(B) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm 8.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE. 若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1=　50°　.  9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,使AB=2AD, 连接DE,DF,AE,EF,DE与AC交于点O. (1)试说明AF与DE互相平分; 【解析】(1)∵E,F分别是BC,AC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF∥AB且EF=AB. 又AB=2AD,即AD=AB, ∴AD∥EF,AD=EF, ∴四边形AEFD是平行四边形, ∴AF与DE互相平分; (2)若AB=8,BC=12,求DO的长. 【解析】(2)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,BC=12, ∴由勾股定理得 AC===4. 又由(1)知,OA=OF,且AF=CF, ∴OA=AF=AC=, ∴在△AOD中,∠DAO=90°,AD=AB=4,OA=, ∴由勾股定理得DO===. 【B层 能力进阶】 10.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是(C) A.68° B.34° C.22° D.44° 11.(2023·泸州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为(A) A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(D) A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1 13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC的中点,若∠B=35°,则∠AED=　70°　.  14.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在AB,BC上,且ED∥BC,EF∥AC. (1)求证:BE=CF; 【解析】(1)∵ED∥BC,EF∥AC, ∴四边形EFCD是平行四边形, ∴DE=CF, ∵BD平分∠ABC, ∴∠EBD=∠DBC, ∵ED∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∴∠EBD=∠EDB, ∴EB=ED, ∴BE=CF; (2)若∠A=∠C,△AED的周长为3,求△ABC的周长. 【解析】 (2)∵ED∥BC,∴∠ADE=∠C, ∵∠A=∠C, ∴∠ADE=∠A,∴AE=ED, ∵EB=ED,∴AE=EB, 即AE=AB,又∵BD平分∠ABC, ∴AD=CD=AC,∴ED是△ABC的中位线, ∴ED=BC,∵△AED的周长为3, ∴△ABC的周长为6. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. (1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB); 【解析】(1)在△AEB和△AED中,, ∴△AEB≌△AED(ASA), ∴BE=ED,AD=AB,∵BE=ED,BF=FC, ∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB); (2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长. 【解析】(2)分别延长BE,AC交于点H,如图所示, 在△AEB和△AEH中,, ∴△AEB≌△AEH(ASA), ∴BE=EH,AH=AB=9,∵BE=EH,BF=FC, ∴EF=CH=(AH-AC)=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形的判定(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的判定 1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(D) 2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是(C) A.BD∥CF B.DF=BC C.BD=CF D.∠B=∠F 3.下列命题: ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相平分的四边形是平行四边形; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是　②③④　(将命题的序号填上即可).  4.已知:如图,AB∥CD,线段AC和BD交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形,还需要增加的一个条件是:　AD∥CB(答案不唯一)　(填一个即可).  5. (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点, ∠EDC=∠CBE. 求证:四边形BCDE是平行四边形. 【证明】∵EF∥AC, ∴∠EDC+∠BCD=180°, 又∵∠EDC=∠CBE, ∴∠CBE+∠BCD=180°, ∴BE∥CD, ∵ED∥BC, ∴四边形BCDE是平行四边形. 知识点2　平行四边形的判定和性质的综合应用 6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=90°,AB=4,AO=OC=3,BD=10,则四边形ABCD的面积为(D) A.6 B.12 C.20 D.24 7.如图,E,F是▱ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:　BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF(答案不唯一)　,使四边形AECF是平行四边形.  8.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,AB=4,BC=6,EF是AC的垂直平分线,分别交AD,AC于E,F,连接CE,则△CDE的周长是　10　.  【B层 能力进阶】 9.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程. (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; (2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO; (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求. 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 10. (易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且 AD=9 cm,BC=7 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,Q运动到B处停止运动, 或3　s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.  11.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的个数是　3　.  12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,　　　　　.  请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题: (1)求证:四边形BCDE为平行四边形; 【解析】(1)选择①,∵∠B=∠AED, ∴BC∥DE. ∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形; 选择②,∵AE=BE,AE=CD, ∴BE=CD. ∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形; (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长. 【解析】(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形, ∴DE=BC=10. ∵AD⊥AB, ∴∠A=90°, ∴AE===6, 即线段AE的长为6. 【C层 创新挑战(选做)】 13. (几何直观、推理能力、模型观念)如图所示,四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E. (1)求证:BE=CD; 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=CD, ∴∠DAE=∠AEB, ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴BE=AB, ∴BE=CD; (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形; 【解析】(2)由(1)知BE=AB, ∵BF平分∠ABE, ∴AF=EF, 在△ADF和△ECF中,, ∴△ADF≌△ECF(ASA), ∴DF=CF, 又∵AF=EF, ∴四边形ACED是平行四边形; (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积. 【解析】(3)由(1)知BE=AB, 又∵∠BEA=60°, ∴△ABE是等边三角形,∴AB=AE=4, ∵BF⊥AE,∴AF=EF=AE=2, 在Rt△ABF中,由勾股定理得, BF===2, ∵∠DAE=∠AEB,AF=EF, ∠AFD=∠CFE, ∴△ADF≌△ECF(ASA), ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=·AE·BF=×4×2=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形的判定(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的判定 1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( ) 2.在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判断四边形BCFD是平行四边形的是( ) A.BD∥CF B.DF=BC C.BD=CF D.∠B=∠F 3.下列命题: ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相平分的四边形是平行四边形; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).  4.已知:如图,AB∥CD,线段AC和BD交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形,还需要增加的一个条件是: (填一个即可).  5. (2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点, ∠EDC=∠CBE. 求证:四边形BCDE是平行四边形. 知识点2　平行四边形的判定和性质的综合应用 6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=90°,AB=4,AO=OC=3,BD=10,则四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.12 C.20 D.24 7.如图,E,F是▱ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件: ,使四边形AECF是平行四边形.  8.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,AB=4,BC=6,EF是AC的垂直平分线,分别交AD,AC于E,F,连接CE,则△CDE的周长是 .  【B层 能力进阶】 9.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程. (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; (2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO; (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求. 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 10. (易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且 AD=9 cm,BC=7 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,Q运动到B处停止运动, s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.  11.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的个数是 .  12. (2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .  请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题: (1)求证:四边形BCDE为平行四边形; (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长. 【C层 创新挑战(选做)】 13. (几何直观、推理能力、模型观念)如图所示,四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E. (1)求证:BE=CD; (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形; (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形的判定(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　三角形的中位线定理 1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为( ) A.40° B.50° C.140° D.150° 2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE, 则∠CED的度数是( ) A.70° B.60° C.30°　 D.20° 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则DE的长是 .  4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为 .  5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,连接CD, ∠ADC+∠DCB=90°,AE平分∠CAB交CD于点E. (1)求证:AE垂直平分CD; (2)若AC=6,BC=8,点F为BC的中点,连接EF,求EF的长. 知识点2　三角形的中位线与平行四边形 6.如图,在平行四边形ABCD中,AD=6,E为AD上一动点,M,N分别为BE,CE的中点,则MN的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.不确定 7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OA,OB的中点,若AC+BD=32 cm,△OEF的周长为13 cm,则CD的长为( ) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm 8.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE. 若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1= .  9.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,使AB=2AD, 连接DE,DF,AE,EF,DE与AC交于点O. (1)试说明AF与DE互相平分; (2)若AB=8,BC=12,求DO的长. 【B层 能力进阶】 10.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( ) A.68° B.34° C.22° D.44° 11.(2023·泸州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1 13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC的中点,若∠B=35°,则∠AED= .  14.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在AB,BC上,且ED∥BC,EF∥AC. (1)求证:BE=CF; (2)若∠A=∠C,△AED的周长为3,求△ABC的周长. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. (1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB); (2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$