6.3.2 第1课时二项式系数的性质-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测选择性必修第三册（人教A版）

高中同步讲练测·一线调研「数学·选择性必修第三册 6.3.2二项式系数的性质 第1课时二项式系数的性质 课标要求 情境导入 1.理解二项式系数的性质并 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其 灵活运用. 宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹 2.掌握“赋值法”并会灵活 服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a十b)”的展开 应用 式在n=1,2,…时的二项式系数垒成的“金字塔”，称为杨 辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕古代数学家 杨辉 斯卡早发现了500年左右. 夯实·必备知识 知识梳理 私自主小测 二项式系数的性质 1.判断正误.（正确的画“/”，错误的画“×”） 1.对称性 (1)令f(r)=C(0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由① 得到.直线 图象关于直线r=对称。 () ② 将函数f(r)=C%的图象分成对称的 (2)二项展开式中各项系数和等于二项式系 两部分，它是图象的对称轴。 数和. () 2.增减性与最大值 1当太<"士时，C随长的增加面® (3)二项展开式的二项式系数和为C:+ Ca+…+Cg+…+Cm(n∈N"). () 由对称性知，当>”十时，C随k的增加而 2 (4)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大 ④ 项相同， () (2)当n是偶数时，中间的一项⑤ 取 2.(1一2x)16的展开式中的各项系数和是() 得最大值；当n是奇数时，中间的两项⑥ A.1 B.-1 相等，且同时取得最大值. C.216 D.36 3.各二项式系数的和 (1)C9+Ca+C+…+C”=⑦ 3若+) 展开式中只有第6项的二项式系 (2)C%+C+C4+…=C+C+C%+…= ⑧ 数最大，则n= () [思考]二项展开式中系数最大项就是二项式系数 A.9 B.10 的最大项，对吗？ C.11 D.12 4.(3一2√五)”的展开式的二项式系数的和为 ,(用数字作答) ·18· 第六章计数原理《 精研·核心题型 题型一 各二项式系数的和 题型三 二项展开式的各项系数的和 例1(1)(3z- 的展开式中所有二项式系数 例3若(3x-1)7=a,x7十a6x5十…十a1x十 ao,求： 的和是 ;展开式中所有偶数项的二项式 (1)a1+a2+…+a,i 系数和是 (用数字作答) (2)a1十aa+as十a7； (2)已知(x一my)”的展开式中二项式系数之和为 (3)lao|+|a1|+…+la,l 64,x3y3的系数为一160，则实数m= 汇解题技法](a十b)"的展开式的各二项式系数的和 为2” [跟踪训练] 1.已知(1十2x)"的展开式中第4项与第8项的二项 式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( A.512 B.210 C.211 D.212 [解题技法]求展开式的各项系数之和常用赋值法 题型二 二项展开式中系数最大问题 (1)对形如(ax+b)",(ax2十bx+c)m(a,b,c∈R)的 例2 在-) 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 的展开式中，x3的系数等于一5， x=1即可；对形如(ax十by)"(a,b∈R)的式子求其展 则该展开式的各项的系数中最大值为 开式各项系数之和，只需令x=y=1即可. A.5 B.10 (2)若f(x)=a。十a1x十a2x2+…十awx",则f(x)的 C.15 D.20 展开式中各项系数之和为∫(1)，奇数项系数之和为 [解题技法](1)二项式系数最大的项的求法 a+a+a4+…=f1)+f(-1) ,偶数项系数之和为 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对 a1十ag十a5+…= f(1)-f(-1) (a十b)中的n进行讨论. 2 ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大： [跟踪训练] ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大， 3.设(1-2x)20s=a0+a1x十a2x2+…十 (2)展开式中系数最大的项的求法 a22sx202s(x∈R). 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是 (1)求a。的值； 不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分 (2)求a1十a2十a3十…十a226的值； 析.如求(a十bx)”(a,b∈R)的展开式中系数最大的 项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为 (3)求a1十a,十a5十…十a225的值. A。,A1,A2,…,A.,且第r十1项的系数最大，应用 A,≥A-”解出r,即得出系数最大的项 A,≥A,t1 [跟踪训练] 2.已知(2+2x)广 的展开式中前三项的二项式系 数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的 项的系数为 ·19 高中同步讲练测·一线调研「数学·选择性必修第三册 巩固·课堂自测 1.在(a一b)0的二项展开式中，二项式系数与第6 3.(2x一1)的展开式中各项系数的和为 项的二项式系数相同的项是 ,各项的二项式系数的和为 A.第15项 B.第16项 4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…十 C.第17项 D.第18项 ax7.求： 2.(1十x)2"(n∈N·)的展开式中，系数最大的项是 (1)a1十ag十…十ai (2)a1十ag+as十a: A第号+1项 B.第n项 C.第n十1项 D.第n项与第n十1项 第2课时 二项式定理的综合应用（习题课） 精研·核心题型 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 [跟踪训练] 1-2）x-y)的展开式中xy的系数 2.在(x2+x+y)5的展开式中，xy2的系数为 例1 题型三整除和余数问题 为 ( 例3(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第8 A.55 B.-70 C.30 D.-25 天是星期 () [解题技法了求两个多项式乘积的特定项的步骤 A.一 B.二 C.三 D.四 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项 (2)求证：32m+-8n一9(n∈N)能被64整除. 的特点；(2)找到构成展开式中特定项的组成部分： (3)分别求解再相乘，求和即得. [跟踪训练] 1.(-）+y的展开式中xy的系数为 题型二求三项展开式中的特定项问题 汇解题技法丁()利用二项式定理处理整除问题，通常 例2(1+x一y)展开式中含x2y项的系数为( 把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和 A.30 B.-30C.10 D.-10 或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面（或 前面)一、二项就可以了.(2)解决求余数问题，必须构 [解题技法]求三项展开式中特定项（系数）的方法 造一个与题目条件有关的二项式。 (方法一)同式分解法：通过变形先把三项式化为二项 式，再用二项式定理求解.（方法二）逐渐展开法：两次 [跟踪训练] 利用二项展开式的通项求解.（方法三）组合原理法：把 3.1.02的近似值（精确到0.01）为 三项式看成几个项的积，利用组合知识分析项的构成， 4.设a∈Z,且0≤a<13,若51224十a能被13整 注意最后应把各个同类项合并： 除，则a= 巩固·课堂自测 1.在x(1十x)的展开式中，含x项的系数为( 3.在(x+y+3)°的展开式中，不含y的各项系数 A.30 B.20 C.15 D.10 之和为 () 2.912被100除所得的余数为 A.2 B.3 C.45 D.(x+3)5 A.1 B.81 C.-81 D.92 4.在(2x+1)(1一x)°的展开式中，x的系数为 ·20·