6.2.2 排列数-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测选择性必修第三册（人教A版）

高中同步讲练测·一线调研「数学·选择性必修第三册 巩固·课堂自测 1.(多选)下列问题中，是排列问题的有 A.9个 B.12个 A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数 C.15个 D.18个 学和物理学习小组 3.李老师要给4名同学轮流进行心理辅导，每个同 B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项 学1次，则轮流次序共有 ( 活动 A.6种 B.12种 C.从a,b,c,d这4个字母中取出2个 C.24种 D.48种 D.从1,2,3,5这4个数字中取出3个组成一个 4.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常 三位数 州、镇江、南京，则铁路部门应为沪宁线上的六个 2.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且 大站（这六个大站之间）准备的不同的火车票的 恰有三个相同数字的四位数有 ( 种数为 6.2.2 排列数 课标要求 情境导入 1.能利用计数原理推导排列 在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要 数公式 在庆祝会上逐一介绍… 2.能运用排列数公式解决简 单的实际问题，特别是概 率中的某些问题. 问题这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一 个公式来表示呢？ 夯实·必备知识 知识梳理 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 ③ 表示.于是，n个元素的全排列 排列数及排列数公式 阶乘 数公式可以写成A:=④ .规定 从n个不同元素中取出m(m≤n)个 0！=⑤ 排列数 元素的所有① 的个数，叫做 乘积式：A=⑥ (m, 定义 从n个不同元素中取出m个元素的 n∈N',且m≤n) 排列数 排列数 公式 阶乘式：A”=⑦ (m,n∈N',且 符号表示 ③ msn) 把n个不同的元素全部取出的一个排 全排列 私自主小测 列，叫做n个元素的一个全排列 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） [提醒]“排列”和“排列数”的区别：“排列”和“排列数” (1)在式子A:中，m,n的值都可以为0.() 是两个不同的概念，排列不是一个数，而是具体的一个 (2)甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方 排列（也就是具体的一件事）：排列数是一个数。 法有4种. () ·8· 第六章计数原理 (3)若A=9×10×11×12,则m=4. ( 3.在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去 (4)排列数公式的特征：第一个因数是n,后面每 黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、 一个因数比它前面一个因数小1，最后一个因数 江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有() 是n一m+1,共有m个因数 ( A.4种 B.12种C.24种D.36种 2.5A+4A等于 ( 4.从6个不同元素中取出2个元素的排列数为 A.107 B.323 C.320 D.348 (用数字作答) 精研·核心题型 题型一 排列数公式的应用 忙解题技法了无限制条件的排列问通 例1(1)已知A4=14×13×12×…×5,那么m= 无限制条件的摔列问题，即对所排列的元素或所排列 的位置没有特别限制的问题，这一类型题目相对简单， A.5 B.9 分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序舞列到 C.10 D.11 n(n≥m)个位置上，排列数为A,从n个元素中选m (2)不等式A:>6A:2的解集为 个(m≤n),排列到m个位置上，排列数也是A. [解题技法]排列数公式的选择 [跟踪训练] (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. 3.从6人中选取4人分别去A,B,C,D四个城市游 (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的 览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一 证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的 个城市.问：不同的选择方案共有多少种？ 性质，提取公因式，可以简化计算。 [跟踪训练] 1.若A2=12,则n= A.2 B.3 C.4 D.5 2.不等式A:<6A2的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8) 题型二无限制条件的排列问题 例2将4名医生与4名护士分配到四个不同单 位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多 少种不同的分配方案？ 4444444444444444444444444444444+4444444444444 9 高中同步讲练测·一线调研「数学·选择性必修第三册 题型三有限制条件的排列问题 考向2“在”与“不在”问题 考向1“相邻”与“不相邻”问题 例4甲、乙等6人按下列要求站一横排，分别有多 例33名男生，4名女生，这7个人站成一排.在下 少种不同的站法？ 列情况下，求各有多少种不同的站法 (1)甲不站两端； (1)男、女各站在一起： (2)甲、乙站在两端： (2)男生必须排在一起； (3)甲不站左端，乙不站右端。 (3)男生不能排在一起： (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 汇解题技法丁“特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典 型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊” 谁优先.一般从以下三种思路考虑：(1)以元素为主考 虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素：(2)以位置为 主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置：(3)用间 接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减 去不符合要求的排列数，以上三种思路可以筒化为图 表如下： 解题技法了处理元素“相邻不相邻问题的策略” 元素分析法 以元素为主，优 先考虑特殊元素 处理元素“相邻”“不相邻”何题应遵循“先整体，后局 直接法 部”的原则.对象相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻 位置分析法 以位置为主，优 的若干个对象“捆绑”为一个整体与其余对象全排列， 先考虑特殊位置 然后“松绑”，将这若干个对象内部全排列.对象不相邻 间接法 若解避时分类太多，用直接法求解 问题，一般用“插空法”，先将不相邻对象以外的“普通” 较为麻烦，往往采用间接法 对象全排列，然后在“普通”对象之间及两端插入不相 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接 邻对象 按分步解决：若相互影响，则先分类，然后在每一类中 [跟踪训练] 再分步解决， 4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类 [跟踪训练] 节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目 5.若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，组 不相邻的排法种数是 ( 成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一 A.72 B.120 共有 () C.144 D.168 A.20个B.48个C.52个D.120个 ·10· 第六章计数原理《 巩固·课堂自测 A-A- 3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都 ( A 不相邻，则不同的排法种数为 () A.12 B.24 C.30 D.36 A.144 B.72 2.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学 C.36 D.12 甲只能在周一值日，那么这5名同学值日顺序的 4.高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节 编排方案共有 目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序， A.12种 B.24种 要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不 C.48种 D.120种 同的排法. 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 课标要求 情境导入 1.通过实例，理解组合的概 小明五一到石城旅游，要从A,B,C,D4处景点中选择2处游玩，上午选1 念，能利用计数原理推导 处，下午选1处 组合数公式. 2.理解组合数的两个性质，并 会求值、化简和证明。 3.会应用组合数公式求值，掌 握解决组合问题的常见 A.通天塞 B.赣江源 C.八卦脑 D.旺龙湖 方法 问题(1)有多少种不同的旅游方案？ (2)如果仅从A,B,C,D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 夯实·必备知识 私知识梳理 续表 一、组合 性质 C=C",C+1=⑥ 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个 备注 n,m∈N'且m≤n:规定C9=1 元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合. 汇提醒了排列与组合的区别与联系：共同点，两者都是 二、组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；不同点，排 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关， 定义 所有① 的个数，叫做从n个不同 区自主小测 元素中取出m个元素的组合数 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“X”) 符号表示 ② (1)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素 乘积式：C=③ =④ 作为一组是组合问题： () 公式 阶乘式：C”=⑤ (2)“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.() ·11