专题9.1 用坐标描述平面内点的位置（4大知识点3大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题9.1 用坐标描述平面内点的位置（4大知识点3大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点2】平面直角坐标系内点的特征 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点3】点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点4】点的对称 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 【考点一】平面直角坐标系的概念 【题型1】写出直角坐标系中点的坐标............................................3 【题型2】求点到坐标轴的距离..................................................4 【题型3】判断点所在的象限....................................................6 【题型4】已知点所在的象限求参数..............................................8 【题型5】坐标系中描点.......................................................10 【考点二】用坐标描述简单的几何图形 【题型6】坐标系中的对称.....................................................12 【题型7】坐标系中的旋转.....................................................15 【题型8】中点坐标...........................................................17 【题型9】坐标与图形综合.....................................................19 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接..........................................................22 【题型11】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，写出点A，B，C，D，E，F，O的坐标． 【答案】，，，，，， 【分析】此题考查了点的坐标，根据点在坐标系中的位置写出点的坐标即可． 解：由题意可得，，，，，，，． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质可知，长方形的对边平行且相等，故连接各个顶点，数形结合，可以作出点可能的位置，理解题意是解题的关键． 解：长方形的三个顶点的坐标分别为，，． 第四个顶点的坐标为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【题型2】求点到坐标轴的距离 【例2】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点坐标为，且平行于轴，求点与的距离； （2）若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1）16；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，到x轴、y轴的距离相等的点的坐标特征，是解题的关键； （1）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列式求出m的值，再求出点M的坐标，然后求解即可； （2）根据到x轴、y轴的距离相等的点的横坐标与纵坐标的绝对值相等列方程求出m的值，再求解即可． 解：（1）解：（1）点，点且平行于轴， ， 解得：， 坐标为， ∴； （2）∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ． 解：点到轴距离为3， 点的横坐标是， 第三象限内的点横坐标小于 0 ， 点的横坐标是． 横坐标与纵坐标的差为1， 纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型3】判断点所在的象限 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． （1）点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； （2）若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 【答案】（1）点是“爱心点”，理由见分析；（2）点M在第三象限．理由见分析 【分析】此题考查一元一次方程的应用，点所在的象限的性质， （1）根据“爱心点”定义判断即可； （2）根据“爱心点”定义得到，代入，求出a的值即可判断点M所在象限． 解：（1）解：点是“爱心点”． 理由：当时， 解得，则， ，∴点是“爱心点”； 当时， 解得，显然， ∴点B不是“爱心点”． （2）点M在第三象限．理由： ∵点是“爱心点”， ， ， 代入，得， 解得， ， ． 故点M在第三象限． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 解：①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，则点在第一象限，故正确； ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应，故正确； 故正确的有3个， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·广东揭阳·期中）若，则点在第 象限． 【答案】四/4 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出x，y的值，即可解答． 解：由题意得： ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【点拨】本题考查了点的坐标，算术平方根和偶次方的非负性．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【题型4】已知点所在的象限求参数 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． （1）点在轴上； （2）点的横坐标比纵坐标小4； （3）点在第一、三象限的角平分线上． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 解：（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标小4， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 【变式1】（22-23七年级下·山东德州·期中）已知点在第四象限，化简（    ） A．8 B．2a C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组求出a的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 解：由题意可知： ， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练正确求出a的范围，本题属于基础题型． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知平行于轴，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行于坐标轴上的点的特征，掌握平行于轴的直线上的点的特征：横坐标相同，是解题的关键． 根据平行于轴的直线上的点的特征：横坐标相同得到，即可得出答案． 解：∵平行于轴，且，， ∴ ∴． 故答案为：． 【题型5】坐标系中描点 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． （1）如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； （2）求这个四边形的面积． 【答案】（1）画图见分析；（2） 【分析】（）根据坐标画出图形即可； （）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，利用计算即可； 本题考查了坐标与图形，四边形的面积，正确画出图形是解题的关键． 解：（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 由图可知，， ． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据题意、正确画出图形是解题的关键． 先根据题意正确画出图形，然后直角读出坐标即可． 解：根据作图如下： ∴直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过点C． 故选：C． 【变式2】（19-20八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，A（，2），B．（1，0），    C．（3，5），则由A、B、C三点构成的三角形的面积为 . 【答案】7 【分析】把A、B、C三点用坐标系表示出来，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求出A、B、C三点构成的三角形的面积. 解：把A、B、C三点用坐标系表示出来，如下图所示 则A、B、C三点构成的三角形的面积= 故答案为7. 【点拨】本题主要考查了学生数形结合的思想，用直角坐标系表示出A、B、C三点，构造长方形计算面积是解题的关键. 【考点二】用坐标描述简单的几何图形 【题型6】坐标系中的对称 【例6】．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．   （1）请画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接D，E，F即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，，此时周长最小．根据勾股定理分别求出，，即可求出周长的最小值． 解：（1）解：如图，即为所求；    （2）解：由图可得：，，． ；    （3）解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，， 周长最小． ，，， ， ， 周长最小值为．    【变式1】（21-22八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点、关于点对称，先求出点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点的坐标． 解：∵、关于点对称， ，， ∴点的坐标为． 设点， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了旋转对称，掌握“点关于点的对称点是”是解决本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型7】坐标系中的旋转 【例7】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知射线，当绕端点按逆时针方向旋转到时，如果线段的长是，那么点用记号表示． （1）画出两点，的位置； （2）量出的长（精确到）； （3）求B点的方向角． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）点的方向角为北偏东． 【分析】本题考查了通过坐标确定位置：一对有序实数确定平面内一点的位置．也考查了对题意的理解能力以及方向角的概念． （1）根据的含义，把绕端点按逆时针方向旋转到，且；同样得到点； （2）连，测量即可； （3）根据方位角的定义即可得到答案． 解：（1）解：如图， ； （2）解：量得的长为； （3）解：点的方向角为北偏东． 【变式1】（2024·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形问题，点坐标规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2024次旋转后，点A的坐标即可． 解：正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴，，， ∴， ∴， 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为； ∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过第2024次旋转后，点A的坐标为， 故选：D． 【变式2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化：利用旋转的性质得，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 解：∵， ∴， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【题型8】中点坐标 【例8】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为点关于原点对称的点，求线段的中点坐标． 【答案】的中点坐标． 【分析】本题考查了坐标与图形，线段中点坐标，两点关于原点对称的坐标关系，根据中点坐标公式求出，根据关于原点对称求出，最后利用中点坐标公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵点为线段的中点， ∴，即， ∵点为点关于原点对称的点，， ∴， ∴线段的中点坐标， ∴线段的中点坐标． 【变式1】（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式，列式计算即可． 本题考查了中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 解：设， ∵点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【变式2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知三点，其中一点是以另二点为端点的线段的中点，且，，则点C的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了中点坐标的计算，设，分三种情况：若为的中点；若为的中点；若为的中点；分别求解即可． 解：设， 若为的中点，则，，即； 若为的中点，则，，即； 若为的中点，则，，即； 综上所述，点C的坐标是或或， 故答案为：或或． 【题型9】坐标与图形综合 【例9】（24-25八年级上·浙江台州·期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）直接写出与之间的位置关系． 【答案】（1）图见分析，；（2） 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）延长交于点，由图和网格特点可知：，进而得到，即可得出结论． 解：（1）解：如图，即为所求； 由图可知：； （2）延长交于点， 由图和网格特点可知：， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，根据三角形的面积求出点的坐标是解题的关键．设点P的坐标为，根据三角形的面积为4即可求出x的值． 解：∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ，的面积为4， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 连接，先根据点B的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得，是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 解：如图，连接， 点的坐标为， ， ∵， ∴， ∴点A的坐标为， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， ， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2023·四川巴中·中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ． 【答案】 【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可． 解：∵点在第一象限中， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质． 【例2】（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【答案】点在第一象限或点在第二象限 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 【答案】D 【分析】根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据A、B、P、Q的坐标分别求得、，进而判断C，D选项． 本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 解：A.当时，，，． ∵，， ∴， 又∵A、B、P三点都在x轴上， ∴点B是线段的中点， 故A选项正确； B. 当时，，则点P在点A右侧， 又∵， ∴点P又在点B左侧， ∴点P一定在线段上． 故B选项正确； C. ，，，， ，． 若， 则， ， ， 解得， ∴当时，． 故C选项正确； D.∵，， 若， 则， 则或， 解得或， ∴当或时，． 故D选项错误． 故选：D． 【例2】（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，有一系列正方形，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的坐标规律变化类问题，根据图形可得，，，，即得圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，据此即可求解，根据图形找到变化规律是解题的关键． 解：由图得到，，，，， 即圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.1 用坐标描述平面内点的位置（4大知识点3大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点2】平面直角坐标系内点的特征 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点3】点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点4】点的对称 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 【考点一】平面直角坐标系的概念 【题型1】写出直角坐标系中点的坐标............................................3 【题型2】求点到坐标轴的距离..................................................3 【题型3】判断点所在的象限....................................................4 【题型4】已知点所在的象限求参数..............................................4 【题型5】坐标系中描点........................................................5 【考点二】用坐标描述简单的几何图形 【题型6】坐标系中的对称......................................................5 【题型7】坐标系中的旋转......................................................6 【题型8】中点坐标............................................................7 【题型9】坐标与图形综合......................................................7 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接...........................................................8 【题型11】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，写出点A，B，C，D，E，F，O的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【题型2】求点到坐标轴的距离 【例2】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点坐标为，且平行于轴，求点与的距离； （2）若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【题型3】判断点所在的象限 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． （1）点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； （2）若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（22-23八年级上·广东揭阳·期中）若，则点在第 象限． 【题型4】已知点所在的象限求参数 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，根据下列条件求点的坐标． （1）点在轴上； （2）点的横坐标比纵坐标小4； （3）点在第一、三象限的角平分线上． 【变式1】（22-23七年级下·山东德州·期中）已知点在第四象限，化简（    ） A．8 B．2a C．2 D． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知平行于轴，且，，则 ． 【题型5】坐标系中描点 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． （1）如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； （2）求这个四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D 【变式2】（19-20八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，A（，2），B．（1，0），    C．（3，5），则由A、B、C三点构成的三角形的面积为 . 【考点二】用坐标描述简单的几何图形 【题型6】坐标系中的对称 【例6】．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．   （1）请画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 【变式1】（21-22八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【题型7】坐标系中的旋转 【例7】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知射线，当绕端点按逆时针方向旋转到时，如果线段的长是，那么点用记号表示． （1）画出两点，的位置； （2）量出的长（精确到）； （3）求B点的方向角． 【变式1】（2024·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【题型8】中点坐标 【例8】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为，现有，，三点，点为线段的中点，点为点关于原点对称的点，求线段的中点坐标． 【变式1】（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知三点，其中一点是以另二点为端点的线段的中点，且，，则点C的坐标是 ． 【题型9】坐标与图形综合 【例9】（24-25八年级上·浙江台州·期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）直接写出与之间的位置关系． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2023·四川巴中·中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ． 【例2】（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【题型11】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 【例2】（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，有一系列正方形，则的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$