17.1　勾股定理 同步练习 2024—2025学年人教版数学八年级下册

　勾股定理(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理 1.如图,已知线段AB,点O是AB的中点,观察图中尺规作图的痕迹,若P是直线CD上一点,且PA=5,PO=3,则△PAB的周长为(B) A.20 B.18 C.16 D.12 2.如图,AB=BC=CD=DE=2,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为(B) A.2.5 B.4 C.3.5 D.6 3.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为　10或2　.  4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,3).以点A为圆心,以AB为半径画弧交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为　(-2,0)　.  5.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长. 【解析】∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90°, 在Rt△ACD中,AC=15,AD=12, ∴CD===9, 在Rt△ABD中,AB=13,AD=12, ∴BD===5, ∴BC=CD+BD=9+5=14. 知识点2　利用勾股定理求面积 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S1,S2,S3分别表示这三个正方形的面积,若S1=5,S2=15,则S3的值是(C) A.5 B.8 C.10 D.16 7.公元3世纪初,中国古代数学家赵爽对《周髀算经》作注释时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是　4　.  8.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面积为　8　.  9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=5,以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE,求图中阴影部分的面积. 【解析】如题图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AC=2, 由勾股定理可知,AB2=22+52=29, ∴S正方形ABDE=29,故S阴影=S正方形ABDE-S△ABC=29-×2×5=24. 【B层 能力进阶】 10.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是(D) A. B.1+ C.2 D.2+ 11.已知,在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为　2或14　.  12.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,∠ADB=90°,则以AD为直径的半圆的面积是　8π　.  13.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长. 【解析】延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°,在Rt△CDE中,CD=4, ∴CE=2CD=8,BE=BC+CE=6+8=14, 设AB=x,则有AE=2x, 根据勾股定理得:x2+142=(2x)2, 解得x=,即AB=. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(模型观念、运算能力、推理能力) 问题再现: 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. (1)如图①,是一个重要公式的几何解释.请你写出这个公式:　 (a+b)2=a2+2ab+b2 　;  (2)如图②,是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形,点B,E,C在同一条直线上,请根据图②证明勾股定理. (3)如图③,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,半圆的面积分别为S2,S1,S3,试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系　S1+S2=S3　;并说明理由.  (4)如图④,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边分别为5,12,13,分别以它的三边为直径向上作半圆,求图④中阴影部分的面积. 【解析】(1)由题图可得:(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)∵Rt△ABE≌Rt△ECD, ∴∠1=∠3,∠3+∠2=90° ∴∠1+∠2=90°, ∴∠AED=180°-(∠1+∠2)=90°, ∴(a+b)(a+b)=2×ab+c2, ∴a2+b2=c2. (3)S1+S2=S3. 理由如下:∵∠ACB=90°, ∴c2=a2+b2, ∵S1=b2,S2=a2,S3=c2, ∴S2+S1=(a2+b2)=c2=S3, 故S1+S2=S3. (4)∵∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2, S阴影=AC2+BC2+AC·BC-AB2 =(AC2+BC2-AB2)+AC·BC =AC·BC =×5×12 =30. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　勾股定理(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理在实际问题中的应用 1.如图,一架2.5 m长的梯子,斜立在竖直的墙上,这时梯子的底部距墙底端0.7 m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m,那么梯子的底部将滑动(B) A.0.9 m B.0.8 m C.0.5 m D.0.4 m 2.如图,一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树,两棵树水平距离为6 m,树的高度都是4 m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 　　　　m(D)  A.6 B.8 C.11 D.12 3.山西地形较为复杂,境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型,整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原.如图,在A村与B村之间有一座大山,原来从A村到B村,需沿道路A→C→B(∠C=90°)绕过村庄间的大山,打通A,B间的隧道后,就可直接从A村到B村.已知AC=9 km,BC=12 km,那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为　6 km　.  4.松松同学学习了“勾股定理”之后,为了测量如图所示的风筝的高度CE,测得如下数据: ①测得BD的长度为8米(注:BD⊥CE); ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米; ③牵线放风筝的松松身高1.6米. (1)求风筝的高度CE; 【解析】(1)在Rt△CDB中, 由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=172-82=225, 所以,CD=15(负值舍去), 所以,CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米), 答:风筝的高度CE为16.6米; (2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米? 【解析】(2)如图, 由题意得,CM=9,∴DM=6, ∴BM===10, ∴BC-BM=17-10=7(米),∴他应该往回收线7米. 知识点2　利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题 5.(2024·遂宁期末)如图将一根长为22 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为 12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是(B) A.9<h<10 B.9≤h≤10 C.5≤h≤13 D.5<h<13 6.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为　30　cm.  7.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　4　m.  【B层 能力进阶】 8.活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为(C) A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3 9.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到点D处,发现此时点D到旗杆AB的水平距离为8 m,点D到地面的距离CD为2 m,则旗杆AB的高度为(B) A.23 m B.17 m C.15 m D.10 m 10.(2024·威海期末)如图,是一个滑梯示意图,若将滑道BD水平放置,则刚好与DE一样长,已知滑梯的高度CE为3米,BC为1米.则滑道BD的长度为　5米　.  11.如图,实心圆柱的底面周长为30 cm,高16 cm,CD的中点B处有一块面包.一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食,要爬行的最短路程为　17　cm.  12.高铁修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°, AB=8 km,∠ABD=105°,求BD长.(结果精确到0.1 km,≈1.732,≈1.414) 【解析】如图,过点B作BE⊥AD于点E, ∵∠CAB=30°,AB=8 km, ∴BE=AB=4 km,∠ABE=60°, ∵∠ABD=105°, ∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=45°, ∴Rt△BDE是等腰直角三角形, ∴BD==BE=4≈5.7(km), 答:BD的长约为5.7 km. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、运算能力、推理能力)超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在到街道(直线AO)的距离(线段PO)为120米的点P处.这时,一辆小轿车由点A向点O匀速行驶,测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒,且∠APO=60°,∠BPO=45°.(参考数据:≈1.414,≈1.732) (1)求点A,B之间的距离;(精确到0.1米) 【解析】(1)在Rt△APO中,∠APO=60°,∴∠PAO=30°, ∵PO=120米,∴AP=2PO=240米,根据勾股定理得:AO==120(米) , 在Rt△BPO中,∠BPO=45°,∴∠PBO=45°,∴BO=PO=120米, ∴AB=AO-BO=120-120≈87.8(米); (2)请判断此车是否超过了该街道每小时60千米的限制速度,并说明理由. 【解析】(2)超过了. 理由:车速为=17.56(米/秒), 限速为≈16.67(米/秒). ∵17.56>16.67, ∴此车超过该街道每小时60千米的限制速度. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　勾股定理(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理在实际问题中的应用 1.如图,一架2.5 m长的梯子,斜立在竖直的墙上,这时梯子的底部距墙底端0.7 m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m,那么梯子的底部将滑动( ) A.0.9 m B.0.8 m C.0.5 m D.0.4 m 2.如图,一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树,两棵树水平距离为6 m,树的高度都是4 m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 m( )  A.6 B.8 C.11 D.12 3.山西地形较为复杂,境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型,整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原.如图,在A村与B村之间有一座大山,原来从A村到B村,需沿道路A→C→B(∠C=90°)绕过村庄间的大山,打通A,B间的隧道后,就可直接从A村到B村.已知AC=9 km,BC=12 km,那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 .  4.松松同学学习了“勾股定理”之后,为了测量如图所示的风筝的高度CE,测得如下数据: ①测得BD的长度为8米(注:BD⊥CE); ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米; ③牵线放风筝的松松身高1.6米. (1)求风筝的高度CE; (2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米? 知识点2　利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题 5.(2024·遂宁期末)如图将一根长为22 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为 12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是( ) A.9<h<10 B.9≤h≤10 C.5≤h≤13 D.5<h<13 6.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm.  7.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m.  【B层 能力进阶】 8.活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为( ) A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3 9.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到点D处,发现此时点D到旗杆AB的水平距离为8 m,点D到地面的距离CD为2 m,则旗杆AB的高度为( ) A.23 m B.17 m C.15 m D.10 m 10.(2024·威海期末)如图,是一个滑梯示意图,若将滑道BD水平放置,则刚好与DE一样长,已知滑梯的高度CE为3米,BC为1米.则滑道BD的长度为 .  11.如图,实心圆柱的底面周长为30 cm,高16 cm,CD的中点B处有一块面包.一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食,要爬行的最短路程为 cm.  12.高铁修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°, AB=8 km,∠ABD=105°,求BD长.(结果精确到0.1 km,≈1.732,≈1.414) 【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、运算能力、推理能力)超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在到街道(直线AO)的距离(线段PO)为120米的点P处.这时,一辆小轿车由点A向点O匀速行驶,测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒,且∠APO=60°,∠BPO=45°.(参考数据:≈1.414,≈1.732) (1)求点A,B之间的距离;(精确到0.1米) (2)请判断此车是否超过了该街道每小时60千米的限制速度,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　勾股定理(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　在数轴上表示无理数 1.利用如图所示4×4的方格,每个小正方形的边长均为1,作出面积为8平方单位的正方形,以原点为圆心,以正方形的边长为半径画弧,和数轴的正负半轴各交于一点,则数轴上左边A点表示的实数为 .  2.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为 .  3.在数轴上作出与-所对应的点. 知识点2　网格中的勾股定理 4.如图,在4×3的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长都是1,则线段AC与线段BC的大小关系为( ) A.AC<BC B.AC>BC C.AC=BC D.无法确定 5.(2024·滨州期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 6.如图,在4×3网格中,每个小正方形的边长均为1,A,B,M三点均在格点上,以A为圆心,AB长为半径画弧,交最上方的网格线于点N,则MN的长是 .  7.如图1,在6×6网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形ABCD是格点正方形(顶点是网格线的交点). (1)求正方形ABCD的面积; (2)求正方形ABCD的边长; (3)在数轴上,以原点为圆心,以AB的长为半径画弧,交负半轴于点P,如图2,则点P表示的实数是 .  【B层 能力进阶】 8.如图,在边长为1的小正方形网格中,P为CD上任意一点,PB2-PA2的值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 9.如图,在边长为1的正方形网格中,线段AB的长度在数轴上对应的点应落在( ) A.①段 B.②段 C.③段 D.④段 10.如图,长方形OABC的长为2,宽为1,OA在数轴上,以对角线OB的长为半径画弧,交数轴于点A,若这个点表示的实数为x,则13-x2的立方根是 .  11.如图,数轴上点A,B分别对应1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴于点M,则点M对应的数是 .  12.(2023·吉林中考)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形,使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,且所画三角形的顶点均在格点上. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、运算能力、推理能力)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷. 应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点. 如图1,①在数轴上找出表示2的点G,过点G作直线l垂直于数轴,在l上取点F,使FG=1,以原点O为圆心,OF为半径作弧,则弧与数轴的交点E表示的数是 .  ②在数轴上找出表示4的点A,过点A作直线m垂直于数轴,在m上取点B,使AB=2,以表示数1的点D为圆心,DB长为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数是 .  应用场景2——解决实际问题. 如图2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=0.5 m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离CD=2 m,踏板离地的垂直高度CF=1.5 m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　勾股定理(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　在数轴上表示无理数 1.利用如图所示4×4的方格,每个小正方形的边长均为1,作出面积为8平方单位的正方形,以原点为圆心,以正方形的边长为半径画弧,和数轴的正负半轴各交于一点,则数轴上左边A点表示的实数为　-2　.  2.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为　-4　.  3.在数轴上作出与-所对应的点. 【解析】如图所示, 在数轴上找到数字3所对应的点C,过点C作BC⊥数轴,截取BC=2,连接OB.根据勾股定理,得OB===, 以点O为圆心,OB长为半径画弧,交数轴的正半轴于点A,则对应的点是点A.同理,-对应的点是点A'. 知识点2　网格中的勾股定理 4.如图,在4×3的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长都是1,则线段AC与线段BC的大小关系为(A) A.AC<BC B.AC>BC C.AC=BC D.无法确定 5.(2024·滨州期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 6.如图,在4×3网格中,每个小正方形的边长均为1,A,B,M三点均在格点上,以A为圆心,AB长为半径画弧,交最上方的网格线于点N,则MN的长是　4-　.  7.如图1,在6×6网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形ABCD是格点正方形(顶点是网格线的交点). (1)求正方形ABCD的面积; (2)求正方形ABCD的边长; (3)在数轴上,以原点为圆心,以AB的长为半径画弧,交负半轴于点P,如图2,则点P表示的实数是　-　.  【解析】(1)S正方形ABCD=4×4-1×3××4=10; (2)=; (3)由作图可知:OP=AB=, ∵P点在原点的左边, ∴点P表示的实数为-. 【B层 能力进阶】 8.如图,在边长为1的小正方形网格中,P为CD上任意一点,PB2-PA2的值为(D) A.6 B.8 C.10 D.12 9.如图,在边长为1的正方形网格中,线段AB的长度在数轴上对应的点应落在(C) A.①段 B.②段 C.③段 D.④段 10.如图,长方形OABC的长为2,宽为1,OA在数轴上,以对角线OB的长为半径画弧,交数轴于点A,若这个点表示的实数为x,则13-x2的立方根是　2　.  11.如图,数轴上点A,B分别对应1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴于点M,则点M对应的数是 +1　.  12.(2023·吉林中考)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形,使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,且所画三角形的顶点均在格点上. 【解析】设每个小正方形的边长均为1, 如图①,AC=AB==,则△ABC是等腰三角形,且△ABC是锐角三角形, 如图②,AD=AB==,BD==,则AD2+AB2=BD2,则△ABD是等腰直角三角形, 如图③,AE=AB==,则△ABE是等腰三角形,且△ABE是钝角三角形.(答案不唯一) 【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、运算能力、推理能力)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷. 应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点. 如图1,①在数轴上找出表示2的点G,过点G作直线l垂直于数轴,在l上取点F,使FG=1,以原点O为圆心,OF为半径作弧,则弧与数轴的交点E表示的数是 　　.  ②在数轴上找出表示4的点A,过点A作直线m垂直于数轴,在m上取点B,使AB=2,以表示数1的点D为圆心,DB长为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数是 　+1　.  应用场景2——解决实际问题. 如图2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=0.5 m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离CD=2 m,踏板离地的垂直高度CF=1.5 m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长. 【解析】应用场景1: ①在Rt△OGF中, ∵OF===, ∴OE=OF=,∴点E表示的数是; ②在Rt△DBA中, ∵DB===, ∴DC=DB=, ∴点C表示的数是+1; 应用场景2: ∵CF=1.5 m,BE=0.5 m,∴DB=1 m. 设秋千的绳索长为x m,根据题意可得AD=(x-1) m, 利用勾股定理可得22+(x-1)2=x2. 解得x=2.5. 答:绳索AC的长为2.5 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　勾股定理(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理 1.如图,已知线段AB,点O是AB的中点,观察图中尺规作图的痕迹,若P是直线CD上一点,且PA=5,PO=3,则△PAB的周长为( ) A.20 B.18 C.16 D.12 2.如图,AB=BC=CD=DE=2,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为( ) A.2.5 B.4 C.3.5 D.6 3.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为 .  4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,3).以点A为圆心,以AB为半径画弧交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .  5.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长. 知识点2　利用勾股定理求面积 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S1,S2,S3分别表示这三个正方形的面积,若S1=5,S2=15,则S3的值是( ) A.5 B.8 C.10 D.16 7.公元3世纪初,中国古代数学家赵爽对《周髀算经》作注释时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是 .  8.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面积为 .  9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=5,以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE,求图中阴影部分的面积. 【B层 能力进阶】 10.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是( ) A. B.1+ C.2 D.2+ 11.已知,在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 .  12.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,∠ADB=90°,则以AD为直径的半圆的面积是 .  13.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(模型观念、运算能力、推理能力) 问题再现: 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. (1)如图①,是一个重要公式的几何解释.请你写出这个公式: ;  (2)如图②,是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形,点B,E,C在同一条直线上,请根据图②证明勾股定理. (3)如图③,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,半圆的面积分别为S2,S1,S3,试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系 ;并说明理由.  (4)如图④,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边分别为5,12,13,分别以它的三边为直径向上作半圆,求图④中阴影部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$