12.4 定理（3）课件2024-2025学年苏科版七年级数学下册

12.4 定理（3）--反证法 执教：张二平 苏科版初中数学七年级下册 1、了解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤， 能够运用反证法证明一些简单的数学命题。 2、通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力 和推理能力，体会数学证明的严谨性。 3、感受数学的严谨性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣。 重点：理解反证法的概念和证明步骤，会用反证法 证明简单的数学命题。 难点：反证法中如何正确地提出反设，对反证法证明思路 的理解和应用。 学习目标 一、情境引入： 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子,小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李,”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。 路边苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法? 要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论，有时候，我们也可以反过来考虑。----反证法。 二、探究新知： 像上面这样，我们通过否定命题的结论， 发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论 成立的证明方法叫作反证法。 问题：如何证明“一个三角形最多有一个钝角”? 可以反过来考虑，如果这个命题不对， 那么一个三角形就有两个或三个钝角。 假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个角 或三个饨角。当有两个角时，不妨设∠A，∠B均为钝角， 即∠A>90°，∠B>90°，则∠A+∠B>180°， 所以∠A+∠B+∠C>180°，这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾， 同理，当有三个钝角时，也与∠A+∠B+∠C>180°矛盾，所以假设不正确，于是△ABC中最多只能有一个钝角。 尝试： 用反证法证明“a<|a|,则a必为负数”。 综上所述,a不可能是0，也不可能正数, 所以a必为负数. 证明:假设a不是负数, 那么a是 或a是 。 如果a是零,那么a=|a|,这与题设矛盾,所以a不可能是零。 如果a是正数,那么a=|a|,这与题如果a是设矛盾, 所以a不可能是正数。 0 正数 先假设命题的结论不成立 经过若干步推理，得出矛盾 肯定原来命题的结论成立。 知识归纳： 用反证法证明一个命题的步骤一般为: 1.先假设命题的结论不成立. 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾。 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 试一试： 1、用反证法证明“若a十b≥0,则a,b至少有一个 不小于0”时,第一步应假设( ) A、a,b都小于0 B、a,b都不大于0 C、a,b都不小于0 D、a,b都大于0 2、用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角 大于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中（ ） A、每一个内角都大于60° B、每一个内角都小于60° C、有一个内角大于60° D、有一个内角小于60° A B 例题讲解： 例1、已知:a，b，c是三条不同的直线，a//b，b//c. 求证：a//c.   这样，我们就证明了平行线的性质定理： 平行于同一条直线的两条直线平行。 例2、判断命题“对于任意的有理数a，b， 如果a>b，那么|a|>|b|”的真假，并说明理由。 在说明一个命题是假命题时， 常用“举反例”的方法， 举反例的关键是找到一个 符合命题条件，但不符合 命题结论的例子。 三、合作交流： 1、小明在解答“已知,在△ABC中,AB=AC， 求证：∠B<90°”这道题时,写出了下面 用反证法证明这个命题 过程中的四个推理步骤： ①所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和 定理相矛盾； ②所以∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么,由AB=AC,得∠C=∠B>90°即∠B+∠C≥180. 请你写出这四个步骤正确的顺序（ ）。 2、下列说法中,正确的是（    ） A、命题都是定理              B、要证明一个命题是假命题,只要举一个反例, 说明它错误即可 C、假命题不是命题            D、要证明一个命题是真命题,只要举一个例子, 说明它正确即可 3、对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”, 能说明它是假命题的反例是（     ） A、∠1=∠2=45°                 B、∠1=40°，∠2=50° C、∠1=50°,∠2=50°           D、∠1=40°，∠2=40° 四、拓展延伸： 用反证法求证：两直线平行,同位角相等.请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知:如图1,直线AB∥CD,直线 EF 分别与AB,CD交于点O,O'.求证:∠1=∠2。 (1)证明:假设如图2,过点O作直线A'B，使∠EOB'=∠2. 所以A'B'//CD，又因为 AB//CD,且直线 AB 经过点0, 所以过点O存在两条直线AB，A'B'与直线 CD平行. 这与基本事实矛盾,假设不成立，所以∠1=∠2. (2)上述证明过程中提到的基本事实是 (填序号)。 ①两点确定一条直线; ②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行; ③平行于同一条直线的两条直线互相平行. 五、总结反思： 1、用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立. （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾。 （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的 结论成立。 2、在说明一个命题是假命题时，常用“举反例” 的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件， 但不符合命题结论的例子。 1、举反例说明下列命题是假命题： （1）如果|a|=|b|，那么a=b； （2）任何数的平方都大于0； （3）两个锐角的和是钝角; （4）如果一点到线段两端的距离相等， 那么这个点是这条线段的中点。   2、已知：m是正整数，且m2是偶数，求证：m是偶数。 六、达标检测： $$