6.4.3.1余弦定理学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.　余弦定理 目标导学 重点难点关键点 1.了解余弦定理的证明； 2.掌握余弦定理及其变形公式，能运用于解三角形. 1.重点：利用向量的数量积运算证明余弦定理，余弦定理的应用. 2.难点：由勾股定理到余弦定理，余弦定理综合问题. 3.关键点：确定利用余弦定理的条件（如SAS、SSS）. 【思维导图】 ( 求边长 求内角 证明 余弦定理 ) 【知识导学】 1.问题导学 1.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=90°，如何计算c的值？ 2.如果a=3,b=4,C=60°，如何计算c的值？ 3. 如果已知a,b,C，如何计算c的值？ 4. 余弦定理的内容是什么？如何证明余弦定理？ （学生思考回答，教师启发点拨，如向量法、坐标法，学生给出证明方法： 方法一向量法 在△ABC中，=－,所以2=(－)2=2＋2－2=a2＋b2－2abcosC,即c2=a2＋b2－2abcosC.同理证得另两个等式. 方法二 坐标法 建系，设点的坐标，利用两点间的距离公式，让学生课下完成证明. ） 2.知识梳理 （1）余弦定理及其变形公式 适用条件 已知SAS，求第三边 已知SSS，求内角 余弦定理 a2= . b2= . c2= . cosA= . cosB= . cosC= . （2）解三角形： 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 3.知识拓展 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,如果a2+b2>c2,那么如何确定C的取值范围? 提示：由余弦定理的变形公式，容易得到下列常用的结论： ， ， . 【例题导学】 余弦定理的应用类型 类型1. 已知SAS，求第三边 例1.如图，四边形 ABCD 中， ∠ADC =120°，∠ACD =30°，∠BCD =90°，DC =，BC =2，则 AB = （ ） A. B. C. D.2 巩固训练1.已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=B，且AB＝1，BC＝4， 则边BC上的中线AD的长为 ，∠ADB= ． 【方法总结】利用余弦定理计算边长的注意事项 1.如果已知三角形的两边和夹角（即SAS）解三角形，那么通常运用余弦定理计算. 2.注意三角形内角和定理（即A+B+C=π）在解三角形中的应用. 类型2．已知三角形三边关系（SSS），求内角 例2.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2+c2，求角A的取值范围. 巩固训练2. (1)（2024山东青岛一中高一检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为 （ ） A. B. C. D. 点拨】根据，得，由余弦定理可求. （2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，求tan A的值． 【方法总结】由余弦定理求角的注意事项 1.如果已知三角形的三边（即SSS）解三角形，那么通常运用余弦定理的变形公式计算. 2.求三角形的内角，通常求内角的余弦值，注意由三角形内角的取值范围是（0，π）再求角. 3.若C是三角形的最大的角，则C≥60°，若C是三角形的最小的角，则C≤60°. 类型3.余弦定理的综合应用 例3. （2020高考全国卷I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【解析】 巩固训练3. （2019北京高考）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （1）求b，c值； （2）求sin（B–C）的值． 【解析】 【方法总结】余弦定理的综合应用 如果已知三角形的边角关系为SAS或SSS，通常运用余弦定理解三角形，注意与三角形的面积公式以及两角和或差的正弦或余弦公式的综合应用，提高化归转化能力和数学运算素养. 【课堂达标练习】 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a2+b2=c2,则三角形为直角三角形．(　　) (2)若a2+b2<c2,则三角形为钝角三角形． (　　) (3)若a2+b2>c2,则三角形为锐角三角形． (　　) (4)余弦定理适用于任意三角形边角之间的关系． (　　) 2.在△ABC中，若a＝2，b＝，C＝，则c＝（ ） A．1 B．2 C．3 D． 3. (2024山东青岛九中高一下期中) △ABC中，AD为边BC的中线，，，，则中线的长为_________. 【点拨】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求出即可得AD；也可以利用平面向量的运算求解. 4. 在△ABC中，已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A. 【课堂小结】 1.本节课重点学习了余弦定理的证明与运用，难点是余弦定理的综合问题； 2.课下完成运用坐标法证明余弦定理； 3.课下完成限时检测训练（训练案）. 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.余弦定理 训练案 (共16个小题，建议用时40分钟，满分100分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 【A组•基础题】 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共8×5=40分） 1．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，b=2，C=120°，则 c=（ ） A．1 B．2 C． D． 2. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ） A． B． C．或 D． 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则最大角为(　　) A． B． C． D． 5.已知平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝(　　) A．4 B. C. D. 6.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则tan B等于 (　　) A. B. C. D. 【B组•综合题】 7.在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，C= ( ) A．45° B．60° C．75° D．135° 8. 在△ABC中，如果三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上均有可能 二、多项选择题（共2小题，每小题6分，共2×6=12分） 9.（多选）(2024山东枣庄高一期中)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则下列结论中正确的是（ ） A. c＝2 B. c＝3 C. sin A＝ D. sin A＝ 10.（多选）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则整数a的值是(　) A.2 B.3 C.4 D.5 三、填空题（共4小题，每小题5分，共4×5=20分） 11. 在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________. 12．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值为 . 【C组•能力题】 13.(2024四川成都七中高三模拟)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则______． 14.在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．（第1空2分，第2空3分） 15.（本小题满分13分）在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状，说明理由． 16.（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋. (1)求角C的大小； (2)已知b＝4，且△ABC的面积为6，求边长c的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.　余弦定理 目标导学 重点难点关键点 1.了解余弦定理的证明； 2.掌握余弦定理及其变形公式，能运用于解三角形. 1.重点：利用向量的数量积运算证明余弦定理，余弦定理的应用. 2.难点：由勾股定理到余弦定理，余弦定理综合问题. 3.关键点：确定利用余弦定理的条件（如SAS、SSS）. 【思维导图】 ( 求边长 求内角 证明 余弦定理 ) 【知识导学】 1.问题导学 1.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=90°，如何计算c的值？ 2.如果a=3,b=4,C=60°，如何计算c的值？ 3. 如果已知a,b,C，如何计算c的值？ 4. 余弦定理的内容是什么？如何证明余弦定理？ （学生思考回答，教师启发点拨，如向量法、坐标法，学生给出证明方法： 方法一向量法 在△ABC中，=－,所以2=(－)2=2＋2－2=a2＋b2－2abcosC,即c2=a2＋b2－2abcosC.同理证得另两个等式. 方法二 坐标法 建系，设点的坐标，利用两点间的距离公式，让学生课下完成证明. ） 2.知识梳理 （1）余弦定理及其变形公式 已知SAS，求第三边 已知SSS，求内角 余弦定理 ； ； . . （2）解三角形： 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 3.知识拓展 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,如果a2+b2>c2,那么如何确定C的取值范围? 提示：由余弦定理的变形公式，容易得到下列常用的结论： ， ， . 【例题导学】 余弦定理的应用类型 类型1. 已知SAS，求第三边 例1.如图，四边形 ABCD 中， ∠ADC =120°，∠ACD =30°，∠BCD =90°，DC =，BC =2，则 AB = （ ） A. B. C. D.2 【解析】选C.如图，四边形 ABCD 中，∠ADC =120°，∠ACD =30°，∠BCD =90°，得∠DAC =30°，∠ACB =60°，所以AD=DC =,在△ACD中，由余弦定理，得AC2=2AD2－2AD2cos120°=3AD2=9, 在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos60°=9+4－2·3·2·cos60°=7,所以AB=. 巩固训练1.已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=B，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ，∠ADB= ． 【解析】由△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=B，且A+B+C=，可得. AB＝1，BC＝4，则BD=2,由余弦定理定理,得. 在△ABD中，因为AB2+AD2 =BD2,所以∠BAD=，∠ADB=. 答案：； 【方法总结】利用余弦定理计算边长的注意事项 1.如果已知三角形的两边和夹角（即SAS）解三角形，那么通常运用余弦定理计算. 2.注意三角形内角和定理（即A+B+C=π）在解三角形中的应用. 类型2．已知三角形三边关系（SSS），求内角 例2.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2+c2，求角A的取值范围. 【解析】 ∵，∴. 则，由于cosA在（0，π）上为减函数,且,∴A＜90°. ∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°. 又a为三角形的最大边，∴A＞60°，所以角A的取值范围是（，）. 巩固训练2. (1)（2024山东青岛一中高一检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为 （ ） A. B. C. D. 点拨】根据，得，由余弦定理可求. 【解析】因为向量，，，所以， de，由余弦定理可得，因为，所以. 故选B. （2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，求tan A的值． 【解析】由a＝2b以及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2， 所以c＝b，cos A＝＝＝， 所以sin A＝＝＝，所以tan A＝＝. 【方法总结】由余弦定理求角的注意事项 1.如果已知三角形的三边（即SSS）解三角形，那么通常运用余弦定理的变形公式计算. 2.求三角形的内角，通常求内角的余弦值，注意由三角形内角的取值范围是（0，π）再求角. 3.若C是三角形的最大的角，则C≥60°，若C是三角形的最小的角，则C≤60°. 类型3.余弦定理的综合应用 例3. （2020高考全国卷I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【解析】（1）由题设及余弦定理得， 解得，（舍去），从而. 的面积为S==． （2）在中，，所以 ， 故. 而，所以，故. 巩固训练3. （2019北京高考）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （1）求b，c值； （2）求sin（B–C）的值． 【解析】(1)由题意得，解得. (2)由cosB=与同角三角函数基本关系得， 由余弦定理，得，， 故. 【方法总结】余弦定理的综合应用 如果已知三角形的边角关系为SAS或SSS，通常运用余弦定理解三角形，注意与三角形的面积公式以及两角和或差的正弦或余弦公式的综合应用，提高化归转化能力和数学运算素养. 【课堂达标练习】 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a2+b2=c2,则三角形为直角三角形．(　　) (2)若a2+b2<c2,则三角形为钝角三角形． (　　) (3)若a2+b2>c2,则三角形为锐角三角形． (　　) (4)余弦定理适用于任意三角形边角之间的关系． (　　) 答案：(1)√ (2)√(3)×(4)√ 2.在△ABC中，若a＝2，b＝，C＝，则c＝（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【解析】选D.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋3－2×2×cos=13， 所以c=. 3. (2024山东青岛九中高一下期中) △ABC中，AD为边BC的中线，，，，则中线的长为_________. 【点拨】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求出即可得AD；也可以利用平面向量的运算求解. 【解析】方法一 余弦定理法 如图，以△ABC的边AB, AC为邻边作平行四边形ABEC， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形ABEC中，，， 在中，由余弦定理得， 所以，. 方法二 平面向量法 依题意，得,所以，得. 答案: 4. 在△ABC中，已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A. 【解析】在△ABC中，由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，所以b＝2. 由cos A＝，得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 【课堂小结】 1.本节课重点学习了余弦定理的证明与运用，难点是余弦定理的综合问题； 2.课下完成运用坐标法证明余弦定理； 3.课下完成限时检测训练（训练案）. 6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.余弦定理 训练案 (共16个小题，建议用时40分钟，满分100分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 【A组•基础题】 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共8×5=40分） 1．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，b=2，C=120°，则 c=（ ） A．1 B．2 C． D． 【解析】选D.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2cos120°=7， 所以c=. 2. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ） A． B． C．或 D． 【解析】选B.，， 由余弦定理得， ，因此，. 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,依题意，得a+2b=5a， 所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为. 4. 已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则最大角为(　　) A． B． C． D． 【解析】选B．由三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)， 由余弦定理得cos C＝＝＝－， 又0<C<π，所以C＝. 5.已知平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝(　　) A．4 B. C. D. 【解析】选B.方法一 如图所示, 在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4， 由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝－，所以cos∠DAB＝－cos∠ABC＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝32＋22－2×3×2×＝10，所以BD＝. 方法二 由平行四边形ABCD的边长与对角线长度的关系式，得AC2+BD2=2(AB2+AD2), 所以BD2=2(AB2+AD2)－AC2=2(22+32)－42=10，所以BD＝． 6.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则tan B等于 (　　) A. B. C. D. 6.【解析】选D.由b2＝ac且c＝2a得cos B＝＝＝， sinB==，tan B==.故选 D. 【B组•综合题】 7.在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，C= ( ) A．45° B．60° C．75° D．135° 【解析】选C. 在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2. 又∵cos A＝＝＝，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 8. 在△ABC中，如果三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上均有可能 8．解析：选A.由a3＋b3＝c3知，c边最大，∴＋＝1，∴0＜＜1，0＜＜1， ∴＜，＜，∴＋＞1，即a2＋b2－c2＞0，得cos C＝>0，∴0＜C＜，△ABC的形状为锐角三角形． 二、多项选择题（共2小题，每小题6分，共2×6=12分） 9.（多选）(2024山东枣庄高一期中)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则下列结论中正确的是（ ） A. c＝2 B. c＝3 C. sin A＝ D. sin A＝ 【解析】根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2, A正确. 由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝，C正确. 答案：AC 10.（多选）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则整数a的值是(　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:BC 解析:∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0，且cos C＝>0，∴7<a2<25，∴<a<5.故选BC. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共4×5=20分） 11. 在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________. 【解析】由余弦定理：()2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. 答案：4或5 12．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值为 . 【解析】由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9， 所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值为 cos A＝＝＝－. 答案：－ 【C组•能力题】 13.(2024四川成都七中高三模拟)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则______． 13．【解析】在△ABC中，由，利用正弦定理，得, 因为,所以,得,因为,所以,得,则 . 答案: 14.在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．（第1空2分，第2空3分） 【解析】设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝. 记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2， ∴S△ABC＝acsin∠ABC＝. 【答案】； 15.（本小题满分13分）在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状，说明理由． 【解析】由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝， 代入已知条件acos A＋bcos B＝ccos C得 a·＋b·＋c·＝0， 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． 16.（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋. (1)求角C的大小； (2)已知b＝4，且△ABC的面积为6，求边长c的值． 【解析】(1)由已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋，得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋， 化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝，故cos(A＋B)＝－，所以A＋B＝， 从而C＝π－(A＋B)=. (2)因为S△ABC＝absin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C=10，解得c＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$