微专题4 题型应用 平行四边形中的折叠问题2024-2025学年人教版数学八年级下册

微专题4　题型应用　平行四边形中的折叠问题 与折叠有关的计算常用性质 模型归类 1.折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形; 2.折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分); 3.折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 计算角度大小 计算线段长度 计算最值 计算面积 针对训练 一、求角的度数 1.如图,将▱ABCD沿AC所在直线折叠,点D恰好落在DA延长线上的点D'处,CD'交AB于点E,若∠BAD=130°,则∠BCD'的度数为(A) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.50° B.45° C.40° D.35° 2.如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为　60°　.  二、求线段的长度 3.如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=2,则△ADE的周长为(C) A.6　　 B.9 C.12 D.15 4.(2023·宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为　16　.  5.如图,在▱ABCD中,AB=5,∠B=60°,E,F分别是边AD,BC上一点,且AE=AB,将▱ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求BF的长. 【解析】设点D的对应点为点G, ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=5,∠B=60°, ∴AD∥BC,AB∥DC,∠D=∠B=60°,CD=AB=5, ∴∠BAD=∠C=180°-∠B=120°, 由折叠得AG=CD,∠G=∠D=60°,∠FAG=∠C=120°, ∴AG=AB, ∵AE=AB, ∴AG=AE, ∴△AEG是等边三角形, ∴∠GAE=60°, ∵∠BAF=∠GAE=120°-∠FAE, ∴∠BAF=60°, ∴∠AFB=∠BAF=∠B=60°, ∴△ABF是等边三角形, ∴BF=AB=5. 三、计算最值 6.如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸片折叠,使得点B落在边AD上,点B的对应点为点B',折痕为EF,若点E在边AB上,则DB'长的最小值等于　2　.  7.已知四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=60°,AB=4,BC=6,点E是AD边上一个动点,连接BE,沿BE将△ABE翻折至△BEF(如图1),EF所在的直线与BC交于点H. (1)当点E与点D重合时(如图2),CH的长为　　　　;  (2)当CH取最大值时,求EH的长. 【解析】(1)如图所示,过D作DG⊥BC的延长线于G, 设CH=x,则BH=6-x, 由折叠可得∠ADB=∠FDB,∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD=∠FDB, ∴DH=BH=6-x, ∵∠ABC=60°,CD∥AB, ∴∠DCG=60°,∠CDG=30°, ∴CG=CD=2,DG==2, ∴HG=2+x,由勾股定理得DG2+HG2=DH2,即+(x+2)2=(6-x)2, 解得x=. 答案: (2)由折叠可得∠AEB=∠FEB, ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠CBE=∠FEB, ∴EH=BH, ∴CH=CB-BH=CB-EH=6-EH, ∴当EH最短时,CH最大, 如图所示,当EH⊥BC时,CH有最大值, 由(1)可得AD,BC之间的距离为2, ∴当EH⊥BC时,EH=2. 四、计算面积 8.如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.已知BC=4,BE=2,∠B=60°,那么△FCG的面积为　2　.  9.在探究折叠问题时,小华进行了如下操作:如图,F为直角梯形ABCD边AB的中点.将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF,DE所在的直线对折,点B,C恰好与点G重合,点D,G,F在同一直线上.若四边形BCDF为平行四边形,且AD=6,求四边形BEGF的面积. 【解析】由折叠性质得BE=GE=CE,BF=GF,CD=DG, ∵四边形BCDF为平行四边形, ∴CD=BF,DF=BC, ∵AF=BF, ∴AF=BF=FG=DG, ∴2AF=DF, ∵DF2-AF2=AD2, 即4AF2-AF2=62, ∴AF=2, ∴BF=2,∵AD=6, ∴S▱BCDF=BF·AD=12, ∵DG=FG,∴S△EDG=S△EFG, 由折叠性质知S△CDE=S△EDG,S△EFG=S△BEF, ∴S四边形BEGF=S▱BCDF=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$微专题4 题型应用 平行四边形中的折叠问题 与折叠有关的计算常用性质 模型归类 1.折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形; 2.折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分); 3.折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 计算角度大小 计算线段长度 计算最值 计算面积 针对训练 一、求角的度数 1.如图,将 ABCD沿AC所在直线折叠,点D恰好落在DA延长线上的点D'处,CD'交AB于点E,若∠BAD=130 ,则∠BCD'的度数为( ) A.50 B.45 C.40 D.35 2.如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80 ,∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为 . 二、求线段的长度 3.如图,在 ABCD中,将 ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60 ,AB=2,则 ADE的周长为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 4.(2023 宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 . 5.如图,在 ABCD中,AB=5,∠B=60 ,E,F分别是边AD,BC上一点,且AE=AB,将 ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求BF的长. 三、计算最值 6.如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸片折叠,使得点B落在边AD上,点B的对应点为点B',折痕为EF,若点E在边AB上,则DB'长的最小值等于 . 7.已知四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=60 ,AB=4,BC=6,点E是AD边上一个动点,连接BE,沿BE将 ABE翻折至 BEF(如图1),EF所在的直线与BC交于点H. (1)当点E与点D重合时(如图2),CH的长为 ; (2)当CH取最大值时,求EH的长. 四、计算面积 8.如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.已知BC=4,BE=2,∠B=60 ,那么 FCG的面积为 . 9.在探究折叠问题时,小华进行了如下操作:如图,F为直角梯形ABCD边AB的中点.将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF,DE所在的直线对折,点B,C恰好与点G重合,点D,G,F在同一直线上.若四边形BCDF为平行四边形,且AD=6,求四边形BEGF的面积. 学科网(北京)股份有限公司 $$