9.1.1简单随机抽样课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　统计 9.1.1　简单随机抽样 统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学.现在统计学已深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面,尤其是当我们进入大数据时代和互联网+时代,作为研究数据分析的重要数学技术,统计学方法在相关领域的应用已成为数学应用的主要方法. 相比初中统计以描述统计为主,高中统计以推断统计为主,要求能用样本的统计特征推断总体的统计特征,更加强调数据的随机性. 统计的研究对象是数据,如何收集数据获得研究对象是统计研究的重要内容,也是统计学习最先需要学习的内容.本学习单元主要在初中统计基础上进一步学习数据收集的方法和途径,如简单随机抽样和分层随机抽样,获取数据的一些基本途径,这即是本学习单元的知识明线.内容结构图如下. 在学习如何收集数据的过程中,理解收集数据的一般方式方法,结合数据分析过程体会抽样方法的合理性,如通过抽取的数据对总体估计的效果评价一种抽样方法的好坏.因此,本单元内容的学习,都尽可能通过具体案例,由具体问题驱动学习.在学习过程中,体会统计性思维与确定性思维的差异,建立正确的随机观念,提升数据分析、逻辑推理、数学运算等核心素养. 学习目标 1.了解全面调查与抽样调查的异同,理解抽样调查的目的和基本要求.(逻辑推理) 2.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.(逻辑推理) 3.了解总体均值、样本均值的定义和求解公式.(数学运算) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:全面调查、抽样调查及抽样方法 1.全面调查和抽样调查: 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 相关概念 总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体(也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体) 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体(也可以把每一个调查对象的相应指标作为个体) 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本 样本容量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量 2.两种基本的抽样方法: 思考辨析 若想调查我市冷饮市场雪糕质量情况,适宜采用何种调查方式?为什么? 提示 适宜采用抽样调查方式.一是普查不现实;二是普查也不适合调查产品质量,否则雪糕都被破坏了. 知识点二:简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中　　　　抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.  说明:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 逐个 思考辨析 下列何种抽样方式属于简单随机抽样?若不属于,请说明理由. (1)将500个个体编号,把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个作为样本; (2)某班有55个同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛; (3)福利彩票用摇奖机摇奖. 提示 (1)(3)是简单随机抽样,(2)不是简单随机抽样,因为被抽取的样本不是等可能的. 知识点三:抽签法和随机数法 1.抽签法:先给个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的人数. 抽签法简单易行,但当总体较大时,操作起来比较麻烦.因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. 2.随机数法:先给个体编号,用随机数工具产生编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,直到抽足样本所需要的人数. 如果生成的随机数有重复,即同一编号被多次抽到,可以剔除重复的编号并重新产生随机数,直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数. 名师点睛 抽签法与随机数法的异同 共同点:(1)抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法,并且要求被抽取样本的总体的个体数有限;(2)抽签法和随机数法都是不放回抽样. 不同点:(1)抽签法相对于随机数法简单;(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候,而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况. 思考辨析 1.采用抽签法抽取样本时,为什么要将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀? 2.抽签法抽签时,是否先抽签的人占优势? 提示 为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性. 提示 不会.先抽后抽的可能性都是一样的. 知识点四:总体均值、样本均值 1.一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称 =　　　　　　为总体均值,又称总体平均数,如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式 =　　　　　　　　.  样本不同,样本平均数一般会有所变化 思考辨析 在某一次关于学生身高的调查中,小明和小华分别进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本均值为166.4,样本量为100;小华调查的样本均值为164.7,样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体均值的估计?为什么? 提示 更愿意把小华调查的样本均值164.7作为总体均值.因为小华调查的样本量更大,相对来讲更能反映总体水平. 重难探究·能力素养速提升 问题1 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题,首先要根据需求,通过适当的方法获取数据,并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述,在此基础上用各种统计方法对数据进行分析,从样本数据中提取需要的信息,推断总体的情况,进而解决相应的问题.那么,对于具体的统计问题,应如何收集数据?如何从所收集的数据中提取信息来认识未知现象?这种认识一定正确吗?应如何正确解释统计的结果? 问题2 获取数据为何需要抽样调查?抽样调查相对于全面调查有什么异同? 探究点一 简单随机抽样的选择与判断 【例1】 在下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽取样本的是(　　) A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C.某学校有在编人员160人.其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了了解他们对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本 D.某镇农田有山地8 000公顷,丘陵12 000公顷,平地24 000公顷,洼地4 000公顷,现抽取农田480公顷,估计全镇农田每公顷的平均产量 B 解析 根据简单随机抽样的特点进行判断,A选项中的总体容量较大,用简单随机抽样法比较麻烦;B选项中的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C选项中,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,不宜采用简单随机抽样法;D选项中,总体容量较大,且各类农田的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样法. 规律方法　简单随机抽样的注意事项 (1)总体中的个体性质相似,无明显层次; (2)总体容量较小,尤其样本容量较小; (3)抽出的个体带有随机性,个体间一般无固定间距. 探究点二 简单随机抽样等可能性应用 问题4 简单随机抽样体现出的公平客观,有何实际价值?能否用数学概念来描述这种“公平客观”? 【例2】 利用简单随机抽样的方法抽取某校200名学生,其中戴眼镜的学生有123人,若在这个学校随机调查一名学生,则他戴眼镜的概率约是 　　　　　.  0.615 解析 样本中的学生戴眼镜的频率为 =0.615, 所以随机调查该校的一名学生,他戴眼镜的概率约为0.615. 规律方法　简单随机抽样,每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同,在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等. 探究点三 简单随机抽样的方法 问题5 简单随机抽样一般可以通过什么方法来实施? 角度1.抽签法的应用 【例3】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,并写出抽样过程. 解 应使用抽签法. 第一步,将30辆汽车编号,号码是01,02,03,…,30; 第二步,将01~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上; 第三步,将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀; 第四步,从容器中不放回地每次抽取一个号签,连续抽取3次,并记录上面的编号; 第五步,所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象. 规律方法　1.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: (1)制签方便; (2)个体之间差异不明显. 2.当应用抽签法时应注意以下几点: (1)当编号时,如果已有编号可不必重新编号; (2)号签要求大小、形状完全相同; (3)号签要搅拌均匀; (4)要逐一不放回的抽取. 问题6 随机数可以由信息技术生成,如计算器、电子表格、R软件等都能生成随机数.通过随机数法实现简单随机抽样,若抽到相同的号码,则该如何操作?为什么? 解析 随机模拟产生了10组随机数,在这10组随机数中, 表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932,共3组. 角度2.随机数法的应用 【例4】 已知某运动员每次投篮投中的概率是40%,现采用随机数法估计该运动员三次投篮中,恰有两次投中的概率:先由计算器随机产生0~9中的整数,指定1,2,3,4表示投中,5,6,7,8,9,0表示未投中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.现产生了如下10组随机数:907,966,191,925,271, 431,932,458,569,683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为(　　) C 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(例1对点题)下列抽取样本的方式属于不放回简单随机抽样的是(　　) ①从无限多个个体中抽取100个个体作样本;②盒子里有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号,对编号逐个随机抽取). A.① B.② C.③ D.以上都不对 C 解析 ①不是简单随机抽样,由于被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的.②是放回简单随机抽样.③是不放回简单随机抽样. 1 2 3 4 5 2.(例2对点题)从总体容量为N的一批零件中,抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽到的可能性为0.25,则N的值为(　　) A.120 B.200 C.150 D.100 A 1 2 3 4 5 3.(例2对点题)某地有200人参加自学考试,为了了解他们的成绩,用简单随机抽样方法从中抽取一个样本,若每个考生被抽到的概率都是0.4,则这个样本的容量是　　　　　.  80 1 2 3 4 5 4.(例3对点题)某城市共有36个大型居民小区,要从中抽取7个调查了解居民小区的物业管理状况.请写出用抽签法抽取样本的过程. 解 第一步,将36个居民小区进行编号,分别为01,02,03,…,36. 第二步,将36个号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签. 第三步,将号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀,依次抽取7个号签,并记录上面的号码. 第四步,与这7个号码对应的居民小区就是要抽取的样本. 1 2 3 4 5 5.(例4对点题)采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率,先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中,以三个随机数为一组,代表三次射击击中的结果,经随机数模拟产生了20组随机数: 107　956　181　935　271　832　612　458　329　683 331　257　393　027　556　498　730　113　537　989 根据以上数据估计,该学员三次射击恰好击中1次的概率为(　　) D 1 2 3 4 5 解析 依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107,935,458,683,257,027,498,730,537,共9组, fiYi Yi 2.如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称=　　　　　　　为样本均值,又称样本平均数,在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数.  yi 故所求概率为. A. B. C. D. 解析 因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时, 在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为, 在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为, 所以=0.25,从而有N=120.故选A. 解析 设样本容量为n,根据简单随机抽样,得=0.4,解得n=80. A. B. C. D. 所以所求概率P=. $$