第十八章 平行四边形复习课件2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

第18章　平行四边形 18.2　平行四边形的判定 第1课时　平行四边形的判定1、2 初中数学 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,EC⊥DC,且∠ CDE=∠B,求证:四边形ADEC是平行四边形. 基础过关全练 知识点1　平行四边形的定义判定法 初中数学 证明　∵AB=AC,D是BC的中点, ∴∠DCA=∠B,AD⊥BC, 又∵EC⊥DC,∴AD∥EC. ∵∠CDE=∠B, ∴∠CDE=∠DCA,∴DE∥AC, ∴四边形ADEC是平行四边形. 初中数学 2.(新考向·尺规作图)如图,点A、B在直线l上,D为直线l外一 点,连结AD,分别以点B、D为圆心,以AD、AB的长为半径画 弧,两弧交于点C,连结CD、BC,则四边形ABCD是平行四边 形的理由是     . 知识点2　平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 初中数学 解析　根据尺规作图的画法可得,DC=AB,BC=AD.根据两组 对边分别相等的四边形是平行四边形,可得四边形ABCD是 平行四边形. 初中数学 3.(新独家原创)如图,在▱ABCD中,点N、M分别在边AB、CD上,若∠BCN=∠DAM.求证:四边形ANCM是平行四边形. 知识点3　平行四边形的判定定理2 初中数学 证明　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∠B=∠D,BC=DA, 在△BCN和△DAM中,  ∴△BCN≌△DAM(A.S.A.),∴BN=DM, ∴AB-BN=CD-DM,即AN=CM, 又∵AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形. 初中数学 4.(2024重庆梁平期末,18,★★☆)如图,在等边△ABC中,BC= 6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度 运动,点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.若点E、 F同时出发,设运动时间为t s,则当t=　　　    时, 以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形. 能力提升全练 2或6 初中数学 解析　①当点F在点C的左侧时,根据题意得AE=t cm,BF=2t cm,则CF=BC-BF=(6-2t)cm, ∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=6 -2t,解得t=2; ②当点F在点C的右侧时,根据题意得AE=t cm,BF=2t cm,则此 时CF=BF-BC=(2t-6)cm, ∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t -6,解得t=6. 初中数学 综上所述,当t=2或6时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平 行四边形. 初中数学 5.(2023宁夏中考,21,★★☆)如图,已知EF∥AC,B、D分别是 AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四 边形. 初中数学 证明　∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°, 又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°, ∴EB∥DC,∴四边形BCDE是平行四边形. 初中数学 6.(2024山东济宁兖州期末节选,19,★★☆)如图,在平行四边 形ABCD中,点G,H分别是AB,CD的中点,点E、F在对角线AC 上,且AE=CF.求证:四边形EGFH是平行四边形. 初中数学 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠GAE=∠HCF, ∵点G,H分别是AB,CD的中点,∴AG=CH, 在△AGE和△CHF中,  ∴△AGE≌△CHF(S.A.S.),∴GE=HF,∠AEG=∠CFH, ∴∠GEF=∠HFE,∴GE∥HF, ∴四边形EGFH是平行四边形. 初中数学 第18章　平行四边形 18.2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定3 初中数学 1.(2024河南南阳方城月考)下列条件中,能确定一个四边形 是平行四边形的是 (　　) A.两条对角线相等　　　     B.两条对角线互相平分 C.一组对边平行 D.一组对边相等 基础过关全练 知识点4　平行四边形的判定定理3 B 初中数学 解析　所给的四个选项中,只有B符合平行四边形的判定定 理.故选B. 初中数学 2.(新独家原创)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O,E、F分别是OA、OC的中点,∠BDF=∠DBE,OE=OF,求 证:四边形ABCD是平行四边形. 初中数学 证明　在△ODF和△OBE中,  ∴△ODF≌△OBE(A.A.S.),∴OB=OD. ∵E、F分别是OA、OC的中点, ∴OA=2OE,OC=2OF,∴OA=OC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 初中数学 3.(2024河南驻马店遂平期末)下面是亮亮同学设计的“已知 一组邻边构造平行四边形”的尺规作图过程. 已知:如图,线段AB、BC.求作:平行四边形ABCD.   初中数学 作法: ①连结AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点P;②连结BP并 延长,在延长线上取一点D,使DP=BP;③连结AD和CD,四边形 ABCD即为所求作平行四边形. (1)使用直尺和圆规,根据亮亮同学设计的尺规作图过程补全 图形(保留作图痕迹). (2)完成下面的证明过程,并在括号内填写推理的依据. ∵线段AC的垂直平分线交AC于点P， 初中数学 ∴　　　    =　　　    . ∵DP=BP,∴四边形ABCD是平行四边形(依据:　　　　　     　     ). AP CP 对角线互相平分的四边形是平行四边形 初中数学 解析　(1)如图所示.   (2)∵线段AC的垂直平分线交AC于点P, ∴AP=CP. ∵DP=BP,∴四边形ABCD是平行四边形.(依据:对角线互相 平分的四边形是平行四边形) 初中数学 4.(2022山东临沂中考,16,★★☆)如图,在正六边形ABCDEF 中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM =EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四 边形AMDN是平行四边形的是　　　    (填上所有符合要求 的条件的序号). 能力提升全练 ①②④ 初中数学 解析　如图,连结AD,交BE于点O,   在正六边形ABCDEF中,∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE= 60°,AF∥CD,AB=DE, ∴△AOB和△DOE均是等边三角形,∠DAF=∠CDA, ∴OA=OD,OB=OE, 初中数学 ①∵BM=EN,∴OM=ON, ∴四边形AMDN是平行四边形,故①符合题意; ②∵∠FAN=∠CDM,∠DAF=∠CDA, ∴∠OAN=∠ODM,∴AN∥DM, 又∵∠AON=∠DOM,OA=OD, ∴△AON≌△DOM(A.S.A.),∴AN=DM, ∴四边形AMDN是平行四边形,故②符合题意; ③由AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN无法得出△ABM与△ 初中数学 DEN全等,∴不能得出四边形AMDN是平行四边形,故③不符 合题意; ④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE, ∴△ABM≌△DEN(A.A.S.),∴AM=DN, ∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNM+∠DNE=180°, ∴∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN, ∴四边形AMDN是平行四边形,故④符合题意. 故答案为①②④. 初中数学 5.(2024广东广州白云期中,21,★★☆)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=15 cm,点P自点A向D以1 cm/s的 速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动, 到B点即停止,P,Q同时出发,设运动时间为t s. (1)当t为何值时,四边形APQB为平行四边形? (2)当t为何值时,四边形PDCQ为平行四边形? 初中数学 解析　(1)由题意得,AP=t cm,CQ=2t cm,∴PD=(12-t)cm,BQ= (15-2t)cm, ∵AD∥BC, ∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形, ∴t=15-2t,解得t=5. 故当t的值为5时,四边形APQB是平行四边形. (2)已知AP=t cm,CQ=2t cm,∴PD=(12-t)cm, ∵PD∥QC, 初中数学 ∴当PD=QC时,四边形PDCQ为平行四边形, ∴12-t=2t,解得t=4. 故当t的值为4时,四边形PDCQ是平行四边形. 初中数学 第18章　平行四边形 18.2　平行四边形的判定 第3课时　平行四边形的性质与判定的综合应用 初中数学 1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点K是底边BC上的一动点(不 与点B、C重合),过点K分别作AB、AC的平行线KH、KQ,交 AC、AB于点H、Q,则下列数量关系一定正确的是 (　　) 基础过关全练 知识点5　平行四边形的性质与判定的综合应用 A.AQ+QK=2BQ　　　  B.KH+KQ=BC C.KH+KQ=AC　　　    D.AC-AQ=BK C 初中数学 解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵KQ∥AC,∴∠BKQ=∠C=∠B,∴KQ=BQ, ∵KH∥AB,KQ∥AC,∴四边形AQKH是平行四边形,∴KH= AQ,∴KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC.故选C. 初中数学 2.如图,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且DE ∥AC,DE=AF,延长FD到点G,使DG=DF.求证:AG和DE互相 平分. 初中数学 证明　如图,连结EG、AD, ∵ED∥AF,且ED=AF, ∴四边形AEDF是平行四边形, ∴AE=DF,AE∥DF, 又∵DG=DF,∴AE=DG, ∴四边形AEGD是平行四边形, ∴AG和DE互相平分. 初中数学 3.(2023浙江杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、 DB相交于点O,点E、F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连结 AE,EC,CF,FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. 初中数学 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO, ∵BE=DF,∴EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形. (2)∵BE=EF,∴S△AEF=S△ABE=2, ∵四边形AECF是平行四边形, ∴S△CEF=S△AEF=2,S△CFO=S△CEO, ∴S△CFO= S△CEF=1. 初中数学 4.(2023北京顺义仁和中学期中,15,★★☆)在平面直角坐标 系xOy中,A,B两点的坐标分别为(5,0),(2,3),若以O,A,P,B为顶 点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为　　　　　　    . 能力提升全练 (3,-3)或(-3,3) 或(7,3) 初中数学 解析　设P(x,y),分三种情况: ①当OA为对角线时,由图可得,P3(3,-3); ②当OB为对角线时,由图可得,P2(-3,3); ③当AB为对角线时,由图可得,P1(7,3).   综上,满足条件的点P的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3). 初中数学 5.(新考向·开放性试题)(2024河南信阳期末,19,★★☆)如图, 已知:四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于 点O,E、F分别是射线OB、OD上的动点. 请在①OE=OF;②BF=DE;③AE=CF这三个条件中,选择一个 合适的条件补充在下面的横线上,完成证明过程. 我选　　　    (选一个即可,填写序号). 求证:AE∥CF. 初中数学 解析　如图,连结AF、CE,   若选①,证明如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC, ∵OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AE∥CF. 初中数学 若选②,证明如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵BF=DE,∴BF-OB=DE-OD, 即OF=OE, ∴四边形AECF是平行四边形,∴AE∥CF. 若选③则不能证出AE∥CF.(答案不唯一) 初中数学 6.(2023北京大兴二模,21,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC, AD⊥BC于点D,延长DC到点E,使CE=CD.过点E作EF∥AD交 AC的延长线于点F,连结AE,DF. (1)求证:四边形ADFE是平行四边形. (2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长. 初中数学 解析　(1)证明:∵EF∥AD,∴∠FEC=∠ADC, 又∵CE=CD,∠FCE=∠ACD, ∴△FCE≌△ACD(A.S.A.),∴EF=AD, ∴四边形ADFE是平行四边形. (2)如图, 初中数学 由(1)可知,四边形ADFE是平行四边形, ∴DF=AE=5,CD=CE, ∵AB=AC,AD⊥BC,∴CD=BD=2,∴CE=CD=2, ∴DE=2CD=4,∵EF∥AD,∴EF⊥BE,∴∠DEF=90°, ∴EF= = =3, ∵EG⊥DF,∴S△DEF= DF·EG= DE·EF, ∴EG= = = ,即EG的长为 . 初中数学 7.(推理能力)如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点.某 数学兴趣小组要在AC上找两个点E,F,使四边形BEDF为平行 四边形,现总结出甲、乙两种方案如下表: 素养探究全练 初中数学 甲方案 乙方案 在AO,CO上分别取点E,F,使 得AE=CF 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于 点F 初中数学 请回答问题: (1)选择其中一种方案,并证明四边形BEDF为平行四边形. (2)在(1)的基础上,若EF=3AE,S△AED=5,则▱ABCD的面积为     　　    . 50 初中数学 解析　(1)证明:若选择甲方案: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△ABE和△CDF中,  ∴△ABE≌△CDF(S.A.S.), ∴BE=DF,∠AEB=∠CFD, ∵∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD, 初中数学 ∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 若选择乙方案: ∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, ∴BE∥DF,∠AEB=∠CFD=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF, 初中数学 在△ABE和△CDF中,  ∴△ABE≌△CDF(A.A.S.),∴BE=DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. (2)由(1)得△ABE≌△CDF,∴AE=CF, ∵EF=3AE,∴AC=5AE, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ABC=S△ADC=5S△AED=5×5=25, ∴S▱ABCD=2×25=50.故答案为50. 初中数学 8.(推理能力)在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一 点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交 AC于点F. (1)如图①,点P在BC边上,P点与D点重合,易证PD,PE,PF与 AB满足的数量关系是PD+PE+PF=AB;当点P在△ABC内部 时,先在图②中补全图形,再写出PD,PE,PF与AB满足的数量 关系,然后证明你的结论. 初中数学 (2)当点P在△ABC外部时,先在图③中作出相应的图形,然后 写出PD,PE,PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由) 初中数学 解析　(1)补全图形后如图1所示,结论:PD+PE+PF=AB. 证明:如图1,过点P作MN∥BC,分别交AB,AC于M,N两点,由题 意得PE+PF=AM. ∵BD∥MP,BM∥DP, ∴四边形BDPM是平行四边形, ∴MB=PD. ∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB. 初中数学 (2)补全图形后如图2所示. 结论:PE+PF-PD=AB. 初中数学 $$第18章　平行四边形 18.1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形边、角的性质 1.若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中 平行四边形共有　　　    个. 基础过关全练 知识点1　平行四边形的定义 6 解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AB∥EF ∥GH∥CD,∴四边形ABFE、四边形ABHG、四边形 EFHG、四边形EFCD、四边形GHCD都是平行四边形,∴题 图中平行四边形共有6个. 2.(2023广西桂林雁山中学期中)在平行四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是 (　　) A.1∶2∶3∶4　　　    B.1∶2∶2∶1 C.1∶2∶1∶2　　　    D.1∶1∶2∶2 知识点2　平行四边形边、角的性质 C 解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D, ∴C选项正确.故选C. 3.在▱ABCD中,已知∠A+∠C=100°,则∠B的度数为 (　　) A.130°　　　    B.100°　　　    C.80°　　　    D.50° A 解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∠A= ∠C.∵∠A+∠C=100°,∴∠A=50°,∴∠B=130°.故选A. 4.已知平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则该平行 四边形的各边长分别为 (　　) A.4,8,4,8　　　     B.5,7,5,7 C.5.5,6.5,5.5,6.5　　　    D.13,11,13,11 B 解析　设两邻边长分别为x(较长边长),y(较短边长),由题意 可得 解得  ∴该平行四边形的各边长分别为5,7,5,7.故选B. 5.(角平分线+平行线模型)如图,在平行四边形ABCD中,AE平 分∠BAD且交BC于点E,若∠D=58°,则∠AEC的度数是(    　)   A.61°　　　    B.109°　　　    C.112°　　　    D.119° D 解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠BAD+∠D=180°, ∴∠DAE=∠BEA,∠BAD=180°-58°=122°. ∵AE平分∠BAD且交BC于点E, ∴∠DAE= ∠BAD=61°,∴∠BEA=61°, ∴∠AEC=180°-∠BEA=180°-61°=119°.故选D. 6.(2023湖南株洲中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB= 5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC=　　         .   2 解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,∴ ∠DEA=∠EAB,∵∠DAB的平分线AE交CD于点E,∴∠EAB= ∠DAE,∴∠DEA=∠DAE,∴AD=DE,∵AD=3,AB=5,∴EC= DC-DE=AB-AD=5-3=2. 7.如图,在平行四边形ABCD中,E,F是直线AC上两点,且AE= CF.求证:DF=BE. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB,CD∥AB,∴∠ACD=∠CAB. 在△CFD与△AEB中,  ∴△CFD≌△AEB(S.A.S.), ∴DF=BE. 8.(新独家原创)已知,在▱ABCD中,DM⊥AC于点M,BN⊥AC 于点N.若∠ABC=125°,∠CAB=25°,求∠ADM的度数. 解析　在△ABC中,∠ABC=125°,∠CAB=25°, ∴∠ACB=180°-125°-25°=30°. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB=30°. 又∵DM⊥AC,∴∠ADM=90°-30°=60°. 9.(2024江西赣州八中期中,9,★★☆)如图,将▱ABCD沿对角 线AC折叠,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE =2∠ECD,则∠BAC的度数为 (　　)   A.40°　　　    B.50°　　　    C.60°　　　    D.80° 能力提升全练 C 解析　设∠ECD=x,则∠ACE=2x,∴∠ACD=3x, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=3x, 由折叠可知,∠ACB=∠ACE=2x, 在△ACB中,∠B+∠BAC+∠ACB=180°, 即80°+3x+2x=180°,解得x=20°, ∴∠BAC=3×20°=60°.故选C. 10.(等积变换法)(2023福建泉州泉港期中,8,★★☆)如图,在 平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4, AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则S▱ABCD= (　　)   A.24　　　    B.36　　　    C.40　　　    D.48 D 解析　∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40, ∴BC+CD=20①, ∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=4,AF=6, ∴S▱ABCD=4BC=6CD,∴BC= CD②. 联立①②,解得CD=8, ∴S▱ABCD=6CD=6×8=48.故选D. 11.(2023甘肃兰州中考,14,★★☆)如图,在▱ABCD中,BD= CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE=　　　    °. 50 解析　在△DBC中,∵BD=CD,∠C=70°, ∴∠DBC=∠C=70°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠BAD=∠C=70°, ∴∠ADB=∠DBC=70°, ∵AE⊥BD,∴∠AED=90°, ∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°, ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°. 12.(2023四川凉山州中考,15,★★☆)如图,▱ABCO的顶 点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标 是　　　    . (4,2) 解析　如图,延长BC交y轴于点D,   ∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA, ∵OA⊥y轴,∴BC⊥y轴,∵A(3,0),C(1,2), ∴BC=OA=3,CD=1,OD=2, ∴BD=CD+BC=1+3=4,∴B(4,2). 13.(2023黑龙江哈尔滨一模,24,★★☆)如图,在▱ABCD中,对 角线AC的中点为O,过点O的直线分别交CD、AB于点G、点 H,交CB、AD的延长线于点E、点F. (1)求证:△OGC≌△OHA. (2)指出图中所有的全等三角形(△OGC≌△OHA除外). 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB,∴∠GCO=∠HAO,∠CGO=∠AHO, ∵点O为AC的中点,∴CO=AO, ∴△OGC≌△OHA(A.A.S.). (2)△ACD≌△CAB,△AOF≌△COE,△FDG≌△EBH,△ FAH≌△ECG.理由: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD∥BC, ∴∠DCA=∠BAC,∠DAC=∠BCA, 又∵AC=CA,∴△ACD≌△CAB(A.S.A.), ∵AD∥BC,∴∠F=∠E,∠FAO=∠ECO, 又∵OA=OC,∴△AOF≌△COE(A.A.S.), ∴AF=CE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∠DAB=∠BCD, ∴DF=BE,∠FDG=∠EBH, 又∵∠F=∠E,∴△FDG≌△EBH(A.S.A.), ∵∠F=∠E,AF=CE,∠FAH=∠ECG, ∴△FAH≌△ECG(A.S.A.). 14.(2024吉林长春南关期中,24,★★☆)如图,在▱ABCD中, BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC,交AC于点E、G. (1)求证:BE=DG,BE∥DG. (2)过点E作EF⊥AB于点F,已知EF=3,▱ABCD的周长为28,求 ▱ABCD的面积. 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC, ∴∠BAE=∠DCG, ∠ABC= ∠ADC, ∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC, ∴∠ABE= ∠ABC,∠CDG= ∠ADC,∴∠ABE=∠CDG, 在△ABE和△CDG中,  ∴△ABE≌△CDG(A.S.A.), ∴BE=DG,∠AEB=∠CGD,∴BE∥DG. (2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,   ∵BE平分∠ABC,EH⊥BC于点H,EF⊥AB于点F,∴EH=EF= 3,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB, ∵▱ABCD的周长为28, ∴2AB+2CB=28,∴AB+CB=14, ∴S△ABC=S△ABE+S△CBE= AB·EF+ CB·EH= ×3·(AB+CB)= ×3× 14=21, 易知S△CDA=S△ABC=21, ∴S▱ABCD=S△CDA+S△ABC=21+21=42. 第18章　平行四边形 18.1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形对角线的性质 1.如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,则图中和△ABD面积相等 的三角形(不包括△ABD)有 (　　) A.1个　　　    B.2个　　　     C.3个　　　    D.4个 基础过关全练 知识点3　两条平行线之间的距离 B 解析　∵AB∥DC,∴△ABC与△ABD的面积相等, ∵AE∥BD,∴△BDE与△ABD的面积相等. 综上,和△ABD面积相等的三角形有△ABC、△BDE,共2个. 故选B. 2.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与 b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为 (　　) A.1 cm　　　     B.3 cm C.5 cm或3 cm　　　    D.1 cm或3 cm C 解析　当直线c在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的 直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离= 4-1=3 cm;当直线c不在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平 行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距 离=4+1=5 cm.综上所述,a与c的距离为5 cm或3 cm.故选C. 3.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,若△DCE的面积为6, 则四边形ABCD的面积为　　　    .   20 解析　∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形 是平行四边形),∴BC=AD=5, 又∵BE=8,∴CE=3,设△DCE的高为h, ∵△DCE的面积为6,∴ ×3h=6,解得h=4, ∴四边形ABCD的面积=5×4=20. 4.(2024贵州中考)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,则下列结论一定正确的是 (　　) A.AB=BC　　　    B.AD=BC C.OA=OB　　　    D.AC⊥BD 知识点4　平行四边形对角线的性质 B 解析　平行四边形的对边相等,对角线互相平分,故可以确定 AD=BC一定正确.故选B. 5.(2024吉林长春德惠期中)已知▱ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,若AC=4,BD=8,则AB的长可能是 (　　) A.7　　　    B.6　　　    C.4　　　    D.2 C 解析　∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=4,BD=8, ∴AO= AC=2,BO= BD=4, 在△ABO中,2<AB<6,则只有C选项符合题意.故选C. 6.平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,若AB=11,△ OCD的周长为29,则AC+BD的值为 (　　) A.18　　　    B.36　　　    C.38　　　    D.39 B 解析　∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AB=1 1,∴CD=AB=11,AC=2OC,BD=2OD, ∵△OCD的周长为29,∴OC+OD=29-11=18,∴AC+BD=2(OC +OD)=36.故选B. 7.(2024吉林长春德惠期中)如图,在▱ABCD中,对角线AC、 BD相交于点O,且点M、N分别是OB、OD的中点,连结AN、 CM.求证:AN=CM. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO, ∵M、N分别是OB、OD的中点, ∴MO= BO,NO= DO,∴MO=NO, 在△ANO和△CMO中,  ∴△ANO≌△CMO(S.A.S.),∴AN=CM. 8.(2024四川成都双流期末,7,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角 线AC、BD相交于点O,则下列结论不一定正确的是 (　　) A.△AOB与△AOD的面积相等 B.BD=2AO C.▱ABCD的周长为2(AB+AD) D.AB∥CD 能力提升全练 B 解析　∵在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∴OB= OD,∴△AOB与△AOD的面积相等,BD=2OB,但BD不一定等 于2AO,故A选项结论正确,B选项结论不一定正确; ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC, ∴▱ABCD的周长为2(AB+AD),故C、D选项的结论均正确. 故选B. 9.(2024河南周口沈丘期中,21,★★☆)已知,在▱ABCD中,点 P、Q分别在BC、AD上,且∠APB=∠CQD,对角线AC、BD交 于点O,作OE⊥BD与AD交于点E,连结BE. (1)求证:△APB≌△CQD. (2)若▱ABCD的周长是20,求△ABE的周长. 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠ABP=∠CDQ, 在△APB和△CQD中,  ∴△APB≌△CQD(A.A.S.). (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OB=OD, 又∵▱ABCD的周长是20, ∴2AB+2AD=20,∴AB+AD=10, ∵OB=OD,OE⊥BD,∴OE垂直平分BD, ∴BE=DE,∴AE+BE=AE+DE=AD, ∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=10. 10.(2024湖南师大附中梅溪湖中学月考,21,★★☆)如图,在 ▱ABCD中,点E是BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线 于点F,连结AC、BF. (1)求证:△ABE≌△FCE. (2)若AF=AD,∠AEC=130°,求∠D的度数. 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠ABE=∠FCE, ∵点E是BC的中点,∴BE=CE, 在△ABE和△FCE中,  ∴△ABE≌△FCE(A.S.A.). (2)由(1)得△ABE≌△FCE, ∴AB=FC,AE=FE, ∵AB=DC,∴FC=DC, ∵AF=AD,∴∠D=∠AFD,AC⊥DF, ∴∠ACF=90°,∴CE=AE=FE= AF, ∴∠FAC=∠ECA, ∵∠FAC+∠ECA+∠AEC=180°,且∠AEC=130°, ∴2∠FAC+130°=180°,∴∠FAC=25°, ∴∠D=∠AFD=90°-∠FAC=65°. 11.(2024吉林长春朝阳期中,21,★★☆)如图,▱ABCD的对角 线AC、BD相交于点O,EF过点O且与边AB、CD分别相交于 点E和点F. (1)求证:OE=OF. (2)若∠ADB=90°,AB=5,AD=3,则OE的最小值为　　　    . 解析　(1)证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∴ AB∥DC,OB=OD, ∴∠EBO=∠FDO, 又∵∠BOE=∠DOF, ∴△BEO≌△DFO(A.S.A.),∴OE=OF. (2)∵∠ADB=90°,AB=5,AD=3, ∴BD= =4, 易知当EF⊥AB时,EF的值最小, 此时OE的值最小, 设当EF⊥AB时,EF=x, ∵△ABD的面积= AD·BD= AB·x,∴3×4=5x,解得x=2.4, ∴OE的最小值为1.2.故答案为1.2. 12.(推理能力)如图1,在▱ABCD中,点E是CD的中点,连结AE 并延长与BC的延长线相交于点F,连结BD,DF. (1)求证:BC=CF. 素养探究全练  图1     图2 (2)如图2,若BD⊥DF,在不添加辅助线的情况下,请直接写出 与线段CD相等的线段,并说明理由.(提示:直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半) 解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE, ∵点E是CD的中点,∴DE=CE, ∴△ADE≌△FCE(A.A.S.), ∴AD=CF,∴BC=CF. (2)与线段CD相等的线段有BC、CF、AD、AB. 理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,由(1)知,BC =CF,∵BD⊥DF,∴CD= BF=BC=CF,∴BC=CF=AD=AB= CD,∴与线段CD相等的线段有BC、CF、AD、AB. $$