第十九章　19.2.1　正比例函数学案 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

19.2.1　正比例函数 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.会用描点法画正比例函数的图象 几何直观、推理能力 2.掌握正比例函数的图象和性质 抽象能力、推理能力 3.能够利用正比例函数的图象和性质解决简单问题 应用能力 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 1.正比例函数的图象 (1)形状:经过 的直线.  (2)位置: ①k>0,经过第 象限;  ②k<0,经过第 象限;  (3)作法(两点法):过原点和点(1,k)(k是常数,且k≠0)的直线,即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 1.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=-x的图象大致是( ) 2.正比例函数y=2x的图象经过的象限是( ) A.一、三　　 B.二、四　　 C.一、三、四　　 D.二、三、四 2.正比例函数的性质 k>0,y的值随x值的增大而 ;  k<0,y的值随x值的增大而 .  3.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),y随x的增大而增大,写出一个符合条件的k的值 .  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1 正比例函数的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P87例1拓展)已知函数y=x,y=-2x,y=x,y=3x. (1)在同一坐标系内画出函数的图象. (2)探索发现:观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的位置关系有何变化? (3)灵活运用:已知正比例函数y1=k1x,y2=k2x在同一坐标系中的图象如图所示,则k1与k2的大小关系为 .  【举一反三】 1.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则下列结论正确的是( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c<0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c>0 2.当m 时,正比例函数y=(1-m)x的图象经过第二、四象限.  3.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象. (1)y=x;　　　　　(2)y=-3x. 重点2 正比例函数的性质(抽象能力) 【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数. (1)若函数解析式中y随x的增大而减小,求m的值; (2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值. 【举一反三】 正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k= .  【技法点拨】 利用正比例函数的性质 比较函数值的大小的三种方法 1.利用求值比较法:直接带入求值后比较大小; 2.利用数形结合的思想; 3.利用函数的增减性来比较大小. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条( ) A.射线 B.双曲线 C.线段 D.直线 2.(3分·几何直观)下列图象是正比例函数图象的是( ) 3.(3分·推理能力)正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限,则直线y=(-a-1)x经过( ) A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 4.(5分·推理能力、抽象能力)对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于 .  5.(6分·几何能力、抽象能力、推理能力)已知正比例函数y=kx. (1)若函数图象经过第二、四象限,则k的范围是什么? (2)点(1,-2)在它的图象上,求它的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2　一次函数 19.2.1　正比例函数 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.能够判断两个变量是否构成正比例函数关系,理解正比例函数的概念 推理能力 2.根据已知条件写出正比例函数的解析式 抽象能力、模型观念 3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题 应用能力 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.正比例函数的定义 一般地,形如　y=kx(k是常数,k≠0)　的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.  1.在下列函数中,正比例函数是(C) A.y=2x-1　　 B.y=-2x+1　　 C.y=2x D.y=2x2+1 2.求正比例函数的解析式 ①设②代③求④写 2.y与x成正比例,当x=3时,y=6.则y与x的函数解析式是　y=2x　.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1 正比例函数的概念(模型观念、应用能力) 【典例1】(教材再开发·P87 练习T2 拓展) 写出下列各题中y关于x的函数关系式,并判断y是否为x的正比例函数.若是,写出比例系数. (1)长方形的面积为3,长方形的长y与宽x之间的关系; (2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系; (3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系; (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10 000元,以后每个月存入500元,存入总数y元与月数x之间的关系. 【自主解答】(1)y=,y是x反比例函数,不是正比例函数; (2)y=3.6x,y是x的正比例函数;比例系数为3.6; (3)y=400-36x,y不是x的正比例函数; (4)y=10 000+500x,y不是x的正比例函数. 【举一反三】 1.下列函数是正比例函数的是(A) A.y= B.y= C.y=x2+1 D.y=3x+1 2.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3),则这个正比例函数的表达式是(B) A.y=x+5 B.y=-x C.y=-x D.y=-2x+3 【技法点拨】 确定正比例函数解析式或正比例关系的步骤 1.分析题中的常量与变量; 2.根据具体情境,找出各个量之间的关系,并写出解析式,注明自变量的取值范围; 3.辨别函数解析式是否是常数与自变量的积的形式. 重点2 根据正比例函数定义确定未知字母的值 【典例2】(教材再开发·P87练习T1拓展) 已知y=y1-2y2,y1与x成正比例,y2与(x+1)成正比例,且当x=1时,y=3;当x=2时,y=5. (1)求y与x的函数关系式; (2)若点(a,9)在这个函数图象上,求a的值. 【自主解答】(1)设y1=k1x,y2=k2(x+1), 则y=k1x-2k2(x+1), 根据题意得, 解得:. ∴y=x-2×(-)(x+1)=2x+1; (2)把x=a,y=9代入解析式y=2x+1, 可得:2a+1=9, 解得:a=4. 【举一反三】 1.(2024·崇左期末)若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,则k的值是(C) A.k≠-2 B.k=±2 C.k=2 D.k= 2.(2024·泰州期末)若y=(m-1)x|m|是正比例函数,则m的值为　-1　.  【技法点拨】 正比例函数解析式的结构特点 正比例函数的解析式是常数与自变量的积,其中: (1)系数不为0. (2)自变量的指数为1. 易错提醒:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)下列函数中是正比例函数的是(A) A.y=-7x B.y= C.y=2x2+1 D.y=0.6x-5 2.(3分·抽象能力)y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为　y=-2x　.  3.(4分·抽象能力)若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数,则a2 023的值为　-1　.  4.(4分·推理能力)现定义[p,q]为函数y=px+q的特征数,若特征数为[a-1,a+2]的函数是正比例函数,这个正比例函数的解析式是　y=-3x　.  5.(6分·抽象能力、推理能力、模型观念)已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例.当x=1时,y=0,当x=-3时,y=4,求y与x之间的函数关系式. 【解析】∵y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例, ∴可设y1=kx2,y2=d(x-2),则y=y1+y2=kx2+d(x-2)=kx2+dx-2d, 当x=1时,y=0;当x=-3时,y=4, 所以,整理得,解得. 故函数解析式为y=x2+x-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2　一次函数 19.2.1　正比例函数 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.能够判断两个变量是否构成正比例函数关系,理解正比例函数的概念 推理能力 2.根据已知条件写出正比例函数的解析式 抽象能力、模型观念 3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题 应用能力 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.正比例函数的定义 一般地,形如 的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.  1.在下列函数中,正比例函数是( ) A.y=2x-1　　 B.y=-2x+1　　 C.y=2x D.y=2x2+1 2.求正比例函数的解析式 ①设②代③求④写 2.y与x成正比例,当x=3时,y=6.则y与x的函数解析式是 .  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1 正比例函数的概念(模型观念、应用能力) 【典例1】(教材再开发·P87 练习T2 拓展) 写出下列各题中y关于x的函数关系式,并判断y是否为x的正比例函数.若是,写出比例系数. (1)长方形的面积为3,长方形的长y与宽x之间的关系; (2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系; (3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系; (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10 000元,以后每个月存入500元,存入总数y元与月数x之间的关系. 【举一反三】 1.下列函数是正比例函数的是( ) A.y= B.y= C.y=x2+1 D.y=3x+1 2.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3),则这个正比例函数的表达式是( ) A.y=x+5 B.y=-x C.y=-x D.y=-2x+3 【技法点拨】 确定正比例函数解析式或正比例关系的步骤 1.分析题中的常量与变量; 2.根据具体情境,找出各个量之间的关系,并写出解析式,注明自变量的取值范围; 3.辨别函数解析式是否是常数与自变量的积的形式. 重点2 根据正比例函数定义确定未知字母的值 【典例2】(教材再开发·P87练习T1拓展) 已知y=y1-2y2,y1与x成正比例,y2与(x+1)成正比例,且当x=1时,y=3;当x=2时,y=5. (1)求y与x的函数关系式; (2)若点(a,9)在这个函数图象上,求a的值. 【举一反三】 1.(2024·崇左期末)若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,则k的值是( ) A.k≠-2 B.k=±2 C.k=2 D.k= 2.(2024·泰州期末)若y=(m-1)x|m|是正比例函数,则m的值为 .  【技法点拨】 正比例函数解析式的结构特点 正比例函数的解析式是常数与自变量的积,其中: (1)系数不为0. (2)自变量的指数为1. 易错提醒:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)下列函数中是正比例函数的是( ) A.y=-7x B.y= C.y=2x2+1 D.y=0.6x-5 2.(3分·抽象能力)y-2与x+1成正比例,比例系数为-2,将y表示成x的函数为 .  3.(4分·抽象能力)若y=(a-1)x+a2-1是关于x的正比例函数,则a2 023的值为 .  4.(4分·推理能力)现定义[p,q]为函数y=px+q的特征数,若特征数为[a-1,a+2]的函数是正比例函数,这个正比例函数的解析式是 .  5.(6分·抽象能力、推理能力、模型观念)已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例.当x=1时,y=0,当x=-3时,y=4,求y与x之间的函数关系式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.1　正比例函数 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.会用描点法画正比例函数的图象 几何直观、推理能力 2.掌握正比例函数的图象和性质 抽象能力、推理能力 3.能够利用正比例函数的图象和性质解决简单问题 应用能力 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 1.正比例函数的图象 (1)形状:经过　原点　的直线.  (2)位置: ①k>0,经过第　一、三　象限;  ②k<0,经过第　二、四　象限;  (3)作法(两点法):过原点和点(1,k)(k是常数,且k≠0)的直线,即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 1.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=-x的图象大致是(B) 2.正比例函数y=2x的图象经过的象限是(A) A.一、三　　 B.二、四　　 C.一、三、四　　 D.二、三、四 2.正比例函数的性质 k>0,y的值随x值的增大而　增大　;  k<0,y的值随x值的增大而　减小　.  3.已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),y随x的增大而增大,写出一个符合条件的k的值　1(答案不唯一)　.  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1 正比例函数的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P87例1拓展)已知函数y=x,y=-2x,y=x,y=3x. (1)在同一坐标系内画出函数的图象. (2)探索发现:观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的位置关系有何变化? (3)灵活运用:已知正比例函数y1=k1x,y2=k2x在同一坐标系中的图象如图所示,则k1与k2的大小关系为　　　　　　.  【自主解答】(1)如图: (2)观察这些函数的图象可以发现,随|k|的增大,直线与y轴的夹角越小. (3)由(2)规律可知,k1>k2. 答案:k1>k2 【举一反三】 1.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则下列结论正确的是(C) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c<0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c>0 2.当m　>1　时,正比例函数y=(1-m)x的图象经过第二、四象限.  3.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象. (1)y=x;　　　　　(2)y=-3x. 【解析】采用两点法,并且取各点的坐标值为整数最简单. (1)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线. 当x=0时,y=0;当x=2时,y=3,则该直线经过点(0,0),(2,3). 其图象如图所示. (2)该函数是正比例函数,函数图象是过原点的一条直线. 当x=0时,y=0;当x=1时,y=-3,则该直线经过点(0,0),(1,-3). 其图象如图所示. 重点2 正比例函数的性质(抽象能力) 【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数. (1)若函数解析式中y随x的增大而减小,求m的值; (2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值. 【自主解答】∵函数y=(m-1)是正比例函数, ∴,解得m1=-2,m2=2. (1)∵函数解析式中y随x的增大而减小, ∴m-1<0,∴m<1,∴m=-2; (2)∵函数的图象过第一、三象限,∴m-1>0,∴m>1,∴m=2. 【举一反三】 正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k=　-2　.  【技法点拨】 利用正比例函数的性质 比较函数值的大小的三种方法 1.利用求值比较法:直接带入求值后比较大小; 2.利用数形结合的思想; 3.利用函数的增减性来比较大小. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条(D) A.射线 B.双曲线 C.线段 D.直线 2.(3分·几何直观)下列图象是正比例函数图象的是(A) 3.(3分·推理能力)正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限,则直线y=(-a-1)x经过(C) A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 4.(5分·推理能力、抽象能力)对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值等于　12　.  5.(6分·几何能力、抽象能力、推理能力)已知正比例函数y=kx. (1)若函数图象经过第二、四象限,则k的范围是什么? (2)点(1,-2)在它的图象上,求它的表达式. 【解析】(1)∵函数图象经过第二、四象限,∴k<0; (2)当x=1,y=-2时,得k=-2,即y=-2x. 学科网（北京）股份有限公司 $$