19.1.1　变量与函数学案 2024-2025学年数学人教版八年级下册

19.1　函数 19.1.1　变量与函数 课时学习目标 素养目标达成 1.识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,找出变量之间的数量关系及变化规律 抽象能力 2.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,会求自变量的取值范围,理解函数值的意义 抽象能力、运算能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.变量与常量(在一个变化过程中) (1)变量:数值 的量.  (2)常量:数值 的量.  1.球的体积是V,半径为R,则V=πR3,其中变量和常量分别是( ) A.变量是V,R;常量是,π　 B.变量是R,π;常量是 C.变量是V,R,π;常量是 D.变量是V,R3;常量是π 2.函数的概念 在一个变化过程中,有两个变量(数值变化的量)x与y,对于x的每一个确定的值,y都有 的值与其对应,则x是自变量,y是x的函数.  2.下列关系式中,y不是x的函数的是( ) A.y=±(x≥0)　 B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1 3.与函数相关的概念 (1)自变量取值:①使函数关系式有意义; ②符合问题的实际意义. (2)函数值:当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. (3)解析式:用来表示 与 之间关系的关于 的数学式子.  3.(1)函数y=中自变量x的取值范围是( ) A.x≥1　　　　 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定条件下,若物体运动路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为 .  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1 变量与常量(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P71练习拓展)小亮爸爸到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化.则下列判断正确的是( ) A.金额是自变量　　　 B.单价是自变量 C.7.76和31是常量 D.金额是数量的函数 【举一反三】 如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动至AC'位置.在转动过程中,下面的量是常量的为( ) A.∠BAC的度数 B.BC的长度 C.△ABC的面积 D.AC的长度 【技法点拨】 确定常量、变量的“一个标准” 在同一个问题中,一个量的取值是否发生变化,是判断常量、变量的唯一标准.如果发生变化,该量为变量,不发生变化的量为常量. 重点2 自变量的取值范围(运算能力) 【典例2】(教材再开发·P74例1 强化) 求下列函数的自变量x的取值范围. (1)y=; (2)y=x-3+; (3)y=+. 【举一反三】 1.下列函数中,自变量x的取值范围是x>1的函数是( ) A.y=2 B.y= C.y=x-1 D.y= 2.若代数式+(x-π)0有意义,则变量x的取值范围是 .  【技法点拨】 确定自变量取值范围的三种常见情况 (1)函数解析式是整式,自变量的取值范围是任意实数. (2)函数解析式中有分式(或负指数幂),满足分母(或底数)不等于0. (3)函数解析式中有二次根式,满足被开方数大于等于0. 特别提醒:实际问题中的函数解析式要使实际问题有意义或符合题目的要求. 重点3 函数与函数值(抽象能力、模型观念) 【典例3】(教材再开发·P74练习T1 拓展) 长方形的一边长是16,其邻边长为x,周长是y,面积为S. (1)写出y和x之间的关系式; (2)写出S和x之间的关系式; (3)当S=160时,x等于多少?y等于多少? (4)当x增加2时,y增加多少?S增加多少? 【举一反三】 如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点A,B,当直线b绕点B旋转时,∠1的大小会发生变化,直线a为保证与b平行,相应的∠2的大小也会发生变化. (1)设∠1=x°,∠2=y°,求y与x之间的关系式. (2)当x=70时,求y的值. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·抽象能力)一个长方形的面积是10 cm2,其长是a cm,宽是b cm,下列判断错误的是( ) A.10是常量 B.10是变量 C.b是变量 D.a是变量 2.(4分·抽象能力)把一个长为5,宽为3的长方形的宽增加x(0≤x<2),长不变,所得长方形的面积y关于x的函数解析式为( ) A.y=5x+15 B.y=x-15 C.y=5x D.y=3x+15 3.(4分·推理能力)(2024·齐齐哈尔中考)在函数y=+中,自变量x的取值范围是 .  4.(8分·抽象能力、模型观念)如图,AB=3,P是线段AB上的一点,分别以AP,BP为边作正方形. (1)设AP=x,求出两个正方形的面积之和S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x=时,求S的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1　函数 19.1.1　变量与函数 课时学习目标 素养目标达成 1.识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,找出变量之间的数量关系及变化规律 抽象能力 2.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,会求自变量的取值范围,理解函数值的意义 抽象能力、运算能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.变量与常量(在一个变化过程中) (1)变量:数值　发生变化　的量.  (2)常量:数值　始终不变　的量.  1.球的体积是V,半径为R,则V=πR3,其中变量和常量分别是(A) A.变量是V,R;常量是,π　 B.变量是R,π;常量是 C.变量是V,R,π;常量是 D.变量是V,R3;常量是π 2.函数的概念 在一个变化过程中,有两个变量(数值变化的量)x与y,对于x的每一个确定的值,y都有　　唯一确定　的值与其对应,则x是自变量,y是x的函数.  2.下列关系式中,y不是x的函数的是(A) A.y=±(x≥0)　 B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1 3.与函数相关的概念 (1)自变量取值:①使函数关系式有意义; ②符合问题的实际意义. (2)函数值:当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. (3)解析式:用来表示　函数　与　自变量　之间关系的关于　自变量　的数学式子.  3.(1)函数y=中自变量x的取值范围是(D) A.x≥1　　　　 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定条件下,若物体运动路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时,该物体所经过的路程为　88米　.  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 重点1 变量与常量(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P71练习拓展)小亮爸爸到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化.则下列判断正确的是(D) A.金额是自变量　　　 B.单价是自变量 C.7.76和31是常量 D.金额是数量的函数 【举一反三】 如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动至AC'位置.在转动过程中,下面的量是常量的为(D) A.∠BAC的度数 B.BC的长度 C.△ABC的面积 D.AC的长度 【技法点拨】 确定常量、变量的“一个标准” 在同一个问题中,一个量的取值是否发生变化,是判断常量、变量的唯一标准.如果发生变化,该量为变量,不发生变化的量为常量. 重点2 自变量的取值范围(运算能力) 【典例2】(教材再开发·P74例1 强化) 求下列函数的自变量x的取值范围. (1)y=; (2)y=x-3+; (3)y=+. 【自主解答】(1)由题意,得3x-1≠0,解得x≠; (2)由题意,得|x|-1≠0,解得x≠±1; (3)由题意,得1-x≥0且x+2>0,解得-2<x≤1. 【举一反三】 1.下列函数中,自变量x的取值范围是x>1的函数是(B) A.y=2 B.y= C.y=x-1 D.y= 2.若代数式+(x-π)0有意义,则变量x的取值范围是　x≥-5且x≠2 023且x≠π　.  【技法点拨】 确定自变量取值范围的三种常见情况 (1)函数解析式是整式,自变量的取值范围是任意实数. (2)函数解析式中有分式(或负指数幂),满足分母(或底数)不等于0. (3)函数解析式中有二次根式,满足被开方数大于等于0. 特别提醒:实际问题中的函数解析式要使实际问题有意义或符合题目的要求. 重点3 函数与函数值(抽象能力、模型观念) 【典例3】(教材再开发·P74练习T1 拓展) 长方形的一边长是16,其邻边长为x,周长是y,面积为S. (1)写出y和x之间的关系式; (2)写出S和x之间的关系式; (3)当S=160时,x等于多少?y等于多少? (4)当x增加2时,y增加多少?S增加多少? 【自主解答】(1)由长方形的周长公式, 得y=2(x+16)=2x+32; (2)由长方形的面积公式,得S=16x; (3)当S=160时,即16x=160,∴x=10, 当x=10时,y=2×10+32=52.∴当S=160时,x=10,y=52; (4)当x1=a时,S1=16a,y1=2a+32, 当x2=a+2时,S2=16a+32,y2=2a+36, ∴y2-y1=4,S2-S1=32, ∴当x增加2时,y增加4,S增加32. 【举一反三】 如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点A,B,当直线b绕点B旋转时,∠1的大小会发生变化,直线a为保证与b平行,相应的∠2的大小也会发生变化. (1)设∠1=x°,∠2=y°,求y与x之间的关系式. (2)当x=70时,求y的值. 【解析】(1)∵直线a∥b,∴∠1+∠BAC+∠2=180°,∵∠BAC=90°, ∴∠1+∠2=180°-90°=90°,即:x+y=90,∴y=90-x. 答:y与x之间的关系式为:y=90-x. (2)当x=70时,y=90-70=20, 答:当x=70时,y的值为20. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·抽象能力)一个长方形的面积是10 cm2,其长是a cm,宽是b cm,下列判断错误的是(B) A.10是常量 B.10是变量 C.b是变量 D.a是变量 2.(4分·抽象能力)把一个长为5,宽为3的长方形的宽增加x(0≤x<2),长不变,所得长方形的面积y关于x的函数解析式为(A) A.y=5x+15 B.y=x-15 C.y=5x D.y=3x+15 3.(4分·推理能力)(2024·齐齐哈尔中考)在函数y=+中,自变量x的取值范围是　x>-3且x≠-2　.  4.(8分·抽象能力、模型观念)如图,AB=3,P是线段AB上的一点,分别以AP,BP为边作正方形. (1)设AP=x,求出两个正方形的面积之和S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x=时,求S的值. 【解析】(1)∵AP=x,AB=3, ∴BP=AB-AP=3-x, ∴S=x2+(3-x)2 =x2+9-6x+x2 =2x2-6x+9, ∴S=2x2-6x+9(0<x<3); (2)当x=时,S=2×()2-6×+9 =2×-9+9 =. 学科网（北京）股份有限公司 $$