4.5垂线（2）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

4.5 垂线（2） 主讲： 湘教版(2024)数学七年级下册 第4章 平面内的两条直线 学习目标 目标 1 目标 2 1．掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直；(重点) 2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．(重点、难点) 自学指导 阅读教材P115-P118，用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P115的做一做，通过画过一点已知直线的垂线和证明，得到垂线的基本事实。 2、看P116的说一说上面部分与说一说，掌握什么叫作垂线段、斜线段，怎样得到垂线段最短，什么叫作点到直线的距离。 3、看P117的做一做，知道怎样画点到直线的距离，思考怎样求点到直线的距离？ 4、看P117的例3，掌握点到直线的距离的概念，会用等面积法求点到直线的距离。并掌握做题的格式与步骤。 探究新知 做一做 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？ 一“靠” 二“过” 三“画” 可以画一条 探究新知 做一做 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？ b 可以画一条 根据以上操作，你能得出什么结论? 探究新知 总结归纳 垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足， 线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段． 经过点P 的其他直线分别交直线 l 于A，B，C，D ···，线段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段． 垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足. 探究新知 探究新知 说一说 比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？ 通过比较，我发现垂线段 PO 最短. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短. 垂线段最短. 探究新知 如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 探究新知 做一做 (1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离. (2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处， 如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ (3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. 例题讲解 例3 如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：(1) 点 A 到直线 BC 的距离； (2) 点 B 到直线 AC 的距离. 解：（1） 因为∠ABC = 90°， 所以 AB⊥BC， 点B为垂足， 所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段. 因为AB = 5， 所以点 A 到直线 BC 的距离为 5. 解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D， 所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离. 因为S△ABC = ·BC·AB = ·AC·BD , 所以BD = . 所以点B到直线AC的距离为 . 如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：(2) 点 B 到直线 AC 的距离. 例题讲解 例3 等面积法 基础检测 1．如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是(　　) A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短 C 基础检测 2、如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有(　　)    A．0条     B．1条     C．2条     D．无数条 D 3.如图,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是 ( ) A A　　　　　B　 　　　 C　　　　　 D 基础检测 4、如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是　　　　cm. 5 5．在数学课上，同学们过点B作线段AC所在直线的垂线段时，下列画法正确的是(　　) C 基础检测 6.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6 cm，BC＝4 cm，则BD的长度的取值范围是(　　) A．大于4 cm 　 B．小于6 cm C．大于4 cm或小于 6 cm 　 D．大于 4 cm且小于 6 cm D 基础检测 7、如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则点A到线段BC所在直线的距离为________． 4.8 一展身手 1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离. 解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D . D 所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离. 因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD , 所以AD = . 因为∠BAC = 90°， 所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足， 所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4. 一展身手 提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离. 2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离． 一展身手 3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？ 解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩. 挑战自我 如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据. 挑战自我 解：（1）连接AD，BC 交于 H ，则 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小. （两点之间线段最短) H （2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . “过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. G H 课堂小结 垂线段最短． 垂线 垂线的画法 点到直线的距离 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 主讲： 感谢聆听 湘教版七年级下册 设点A到线段BC所在直线的距离为x， 则S三角形ABC＝BC·x＝AC·AB， 因为AB＝8，AC＝6，BC＝10，所以x＝＝4.8. $$