18.1.1　平行四边形的性质 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.1　平行四边形 18.1.1　平行四边形的性质 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解平行四边形的概念. 几何直观、模型观念 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念 3.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 抽象能力、几何直观 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 1.定义: 两组对边分别　平行　的四边形.  1.如图,▱ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,则图中的平行四边形共有(C) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 2.性质: (1)两组对边分别　平行　、　相等　.  (2)两组对角分别　相等　.  (3)邻角　互补　.  2.(1)如图,在▱ABCD中,若∠B=55°,点E在CD的延长线上,则∠ADE=　125　°.  (2)如图,在▱ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,则AC=　4　.  3.两条平行线之间的距离: (1)定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的　距离　.  (2)性质: ①两条平行线之间的距离　相等　.  ②两条平行线间的任何两条平行线段都　相等　.  3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC间的距离为　1　.  重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P43T1拓展)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积. 【自主解答】在▱ABCD中,AB∥CD, ∴∠CDE=∠F, ∵DF平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE, ∴∠F=∠ADF, ∴AD=AF=6, ∵AB=3, ∴BF=AF-AB=3; 过D作DH⊥AF交FA的延长线于H, ∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°, ∴∠ADH=30°,∴AH=AD=3, ∴DH==3, ∴S△ADF=AF·DH=×6×3=9. 【举一反三】 1.在▱ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A的度数为(A) A.130° B.50° C.100° D.65° 2.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为(D) A.24 B.36 C.40 D.48 3.(2023·株洲中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分线BE交AD于点E,则DE的长为　2　.  【技法点拨】 利用平行四边形的边角性质解决计算问题 (1)利用平行四边形对边相等,求边长及周长等. (2)利用平行四边形对角相等,求角. 【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材溯源·P42例1) (2023·菏泽中考)如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E;CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF. 【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D,AB=CD,∠BAD=∠DCB,AD∥BC, ∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD, ∴∠BAE=∠DAE=∠BCF=∠DCF, 在△BAE和△DCF中, ∴△BAE≌△DCF(ASA),∴AE=CF. 【举一反三】 1.(2024·泸州中考)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证: ∠1=∠2. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中, , ∴△ADE≌△CBF(SAS), ∴∠1=∠2. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,点F在线段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求证:DE=BC. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,AB∥CD, ∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°, ∵∠AFD+∠B=180°, ∴∠AFD=∠C, ∵DF=CE, ∴△ADF≌△DEC(ASA), ∴AD=DE, ∴BC=DE. 【技法点拨】 应用平行四边形的边角性质的两“注意” (1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件. (2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(A) A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3 2.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,若BC=4,EF=1,则AB为(B) A.3 B.2.5 C.3.5 D.4 3.(3分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若∠C=140°,则∠BAE= 　50　°.  4.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系xOy中,▱ABCD的顶点A(-1,0),点A,B关于y轴对称,点D在y轴的正半轴上.若∠C=45°,则点C的坐标为　(2,1)　.  5.(8分·几何直观、推理能力)(2023·自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∠A=∠C,AD=BC, ∵AM=CN, ∴△AMD≌△CNB(SAS), ∴DM=BN. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 十一” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.1　平行四边形的性质 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并掌握平行四边形对角线相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念 2.利用平行四边形的性质进行有关的计算和证明. 模型观念、应用意识、运算能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 平行四边形对角线的性质: 1.平行四边形的对角线 .  2.两条对角线分平行四边形为面积 的四个三角形.  3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分. 1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( ) A.OA=OB　 B.OA⊥OB　 C.OA=OC　 D.∠OBA=∠OBC 2.如图,在▱ABCD中,全等三角形共有 对.  重点典例研析　　循道而行 方能致远 【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P44T2拓展)如图,已知在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,E,F分别在线段OD,OB上,且OE=OF,连接CE,AF. (1)求证:CE=AF; (2)若∠DBA=45°,AB=1, ①求BC的长; ②求直线AD与BC之间的距离. 【举一反三】 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=16,△AOB的周长为10,则AB的长为( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.8 B.6 C.4 D.2 2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,则AC的长为 .  【技法点拨】 平行四边形性质的应用 【重点2】平行四边形的面积问题(推理能力、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P44例2强化) 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求图中阴影部分的面积. 【举一反三】 1.如图,点E在▱ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是( ) A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3 D.以上结论都不对 2.如图,在▱ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点F,交CB的延长线于点E. (1)求证:CE=AB; (2)连接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求▱ABCD的面积. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,则△OCD的周长为( ) A.25 B.30 C.17 D.15 2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面积为4,则▱ABCD和△ABE的面积分别为( ) A.4,12 B.4,8 C.2,8 D.8,12 3.(4分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长的取值范围为 .  4.(4分·几何直观)如图,在▱ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,则平行四边形ABCD的面积为 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1　平行四边形 18.1.1　平行四边形的性质 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解平行四边形的概念. 几何直观、模型观念 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念 3.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 抽象能力、几何直观 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 1.定义: 两组对边分别 的四边形.  1.如图,▱ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,则图中的平行四边形共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 2.性质: (1)两组对边分别 、 .  (2)两组对角分别 .  (3)邻角 .  2.(1)如图,在▱ABCD中,若∠B=55°,点E在CD的延长线上,则∠ADE= °.  (2)如图,在▱ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,则AC= .  3.两条平行线之间的距离: (1)定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 .  (2)性质: ①两条平行线之间的距离 .  ②两条平行线间的任何两条平行线段都 .  3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC间的距离为 .  重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P43T1拓展)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积. 【举一反三】 1.在▱ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A的度数为( ) A.130° B.50° C.100° D.65° 2.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为( ) A.24 B.36 C.40 D.48 3.(2023·株洲中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分线BE交AD于点E,则DE的长为 .  【技法点拨】 利用平行四边形的边角性质解决计算问题 (1)利用平行四边形对边相等,求边长及周长等. (2)利用平行四边形对角相等,求角. 【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材溯源·P42例1) (2023·菏泽中考)如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E;CF平分∠BCD,交AD于点F.求证:AE=CF. 【举一反三】 1.(2024·泸州中考)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证: ∠1=∠2. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,点F在线段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求证:DE=BC. 【技法点拨】 应用平行四边形的边角性质的两“注意” (1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件. (2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)在▱ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( ) A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3 2.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,若BC=4,EF=1,则AB为( ) A.3 B.2.5 C.3.5 D.4 3.(3分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若∠C=140°,则∠BAE= °.  4.(3分·推理能力、几何直观)如图,在平面直角坐标系xOy中,▱ABCD的顶点A(-1,0),点A,B关于y轴对称,点D在y轴的正半轴上.若∠C=45°,则点C的坐标为 .  5.(8分·几何直观、推理能力)(2023·自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.1　平行四边形的性质 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并掌握平行四边形对角线相等的性质. 推理能力、几何直观、模型观念 2.利用平行四边形的性质进行有关的计算和证明. 模型观念、应用意识、运算能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 平行四边形对角线的性质: 1.平行四边形的对角线　互相平分　.  2.两条对角线分平行四边形为面积　相等　的四个三角形.  3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分. 1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C) A.OA=OB　 B.OA⊥OB　 C.OA=OC　 D.∠OBA=∠OBC 2.如图,在▱ABCD中,全等三角形共有　4　对.  重点典例研析　　循道而行 方能致远 【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P44T2拓展)如图,已知在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,E,F分别在线段OD,OB上,且OE=OF,连接CE,AF. (1)求证:CE=AF; (2)若∠DBA=45°,AB=1, ①求BC的长; ②求直线AD与BC之间的距离. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO, ∵∠COE=∠AOF,OE=OF, ∴△CEO≌△AFO(SAS), ∴CE=AF; (2)①∵AC⊥AB, ∴∠CAB=90°, ∵∠DBA=45°, ∴OC=OA=AB=1, ∴AC=2, ∴BC==; ②如图,过A作AG⊥BC于点G, ∵S△ABC=AB·AC=BC·AG, ∴1×2=AG, ∴AG=, ∴直线AD与BC之间的距离为. 【举一反三】 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=16,△AOB的周长为10,则AB的长为(D) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.8 B.6 C.4 D.2 2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,则AC的长为　3　.  【技法点拨】 平行四边形性质的应用 【重点2】平行四边形的面积问题(推理能力、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P44例2强化) 如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求图中阴影部分的面积. 【自主解答】作AM⊥BC于点M,如图所示: 则∠AMB=90°,∵∠ABC=60°, ∴∠BAM=30°,∴BM=AB=×2=1, 在Rt△ABM中,AB2=AM2+BM2, ∴AM===, ∴S▱ABCD=BC·AM=3, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,BO=DO,∴∠OBE=∠ODF, 在△BOE和△DOF中,, ∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF, ∴S阴影部分=S▱ABCD=. 【举一反三】 1.如图,点E在▱ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是(A) A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3 D.以上结论都不对 2.如图,在▱ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点F,交CB的延长线于点E. (1)求证:CE=AB; (2)连接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求▱ABCD的面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD∥CB, ∴∠E=∠2, ∵∠ADC的平分线交AB于点F, ∴∠1=∠2,∴∠E=∠1, ∴CD=CE,∴CE=AB. (2)过点D作DH⊥AB于点H, ∵∠E=60°,CD=CE, ∴△CDE是等边三角形,∠CDE=∠ADF=60°,DF=FE, ∵CD∥AB, ∴∠DFA=60°, ∴∠A=60°,△ADF是等边三角形, ∴∠ADH=30°,DF=4,∵AD=4,∴AH=2, ∴DH==2, ∵CF⊥DE, ∴CD=DE=2×4=8, ∴S▱ABCD=8×2=16. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,则△OCD的周长为(D) A.25 B.30 C.17 D.15 2.(4分·推理能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面积为4,则▱ABCD和△ABE的面积分别为(D) A.4,12 B.4,8 C.2,8 D.8,12 3.(4分·推理能力)如图,在▱ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长的取值范围为　1 cm<OA<6 cm　.  4.(4分·几何直观)如图,在▱ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,则平行四边形ABCD的面积为　12　.  训练升级,请使用　“课时过程性评价 十二” 学科网（北京）股份有限公司 $$