7.2 离散型随机变量及其分布列（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.2 离散型随机变量及其分布列 分层作业 题型研究 题组一　由离散型随机变量分布列求概率 【例题1】（多选题）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题组二　利用离散型随机变量分布列的性质解题 【例题2】（1）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（   ） ξ 1 2 3 P A．－ B． C． D． （2）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 题组三　两点分布问题 【例题3】若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 题组四　求简单离散型随机变量的分布列 【例题4】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 1、 基础达标 1．下列随机变量不是离散型随机变量的是 A．某景点一天的游客数ξ B．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξ C．水文站观测到江水的水位数ξ D．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ 2．若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 3．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标 C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标 4．若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（    ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A． B． C． D． 5．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（    ） A． B． C． D． 6．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B． X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C． X 1 2 3 P － D． X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 7．甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为 ． 8．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 9．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 10．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下: 0 1 2 则的值分别为 、 、 . 11．为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数（）的相关数据如下表所示： 大于300 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，请写出该企业一天的经济损失的分布列． 2、 能力提升 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（   ） 0 1 A． B． C． D． 2．已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是 . 4．设是不等式的解集，整数. (1)设“使得成立的有序数组”为事件，试列举事件包含的基本事件； (2)设，求的分布列. 5．装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢． （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即时）的概率． 3、 直击高考 1．（2004·辽宁·高考真题）已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则（    ） A． B． C． D． 2．（2013·天津·高考真题）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 3．（2023·四川成都·模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 4．（2024·河南·二模）盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 5．（2024·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 离散型随机变量及其分布列 分层作业 题型研究 题组一　由离散型随机变量分布列求概率 【例题1】（多选题）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中的概率逐一判断即可. 【详解】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误． 故选：AC 题组二　利用离散型随机变量分布列的性质解题 【例题2】（1）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（   ） ξ 1 2 3 P A．－ B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题可知，即得. 【详解】由题可得， ∴或，经检验适合题意. 故选：BC. （2）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 题组三　两点分布问题 【例题3】若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 题组四　求简单离散型随机变量的分布列 【例题4】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”， 所以； （2）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下所示： 1、 基础达标 1．下列随机变量不是离散型随机变量的是 A．某景点一天的游客数ξ B．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξ C．水文站观测到江水的水位数ξ D．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念，将不是离散的随机变量选出来，即是正确选项. 【详解】随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．对于C选项来说，由于水位数是属于实数，是一个连续的变量，不属于离散型随机变量. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量的概念，考查离散和随机这两个关键词的理解，属于基础题. 2．若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于1，得解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知，，所以. 故选：A. 3．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标 C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标 【答案】C 【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，即可得到答案. 【详解】由题知：表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标. 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件问题，关键是理解击中目标或子弹打完就停止射击，属于简单题. 4．若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（    ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，即得解. 【详解】解：由题表得， 则． 故选：D 5．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照取出3号球的个数可分成两类：第一类，1个3号球；第二类，2个3号球. 【详解】按球编号将球分三组，8球中有4球编号小于3，2球编号等于3，2球编号大于3. 现从袋中任取3球共有种方法， X＝3表示： 3球中最大编号为3，分两类情况： 第一类1个3号球，另两球编号小于3，由古典概型概率公式得； 第二类2个3号球，另一球编号小于3，由古典概型概率公式得， 由互斥事件和事件概率加法公式得. 故选：D. 【点睛】随机变量分布列的求解首先要明确随机变量每一个取值表示的意义，即确定所求事件；其次是分析转化所求事件为简单事件表示，如互斥事件的和事件、相互独立事件的积事件、“正难则反”对立事件等等；最后根据事件性质正确应用公式求出对应的概率. 6．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B． X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C． X 1 2 3 P － D． X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 【答案】C 【分析】利用及概率和为1，检验各个选项即可得到结果. 【详解】对于ABD，满足，且概率和为0，符合； 对于C，不符合，也不符合，所以C项不是随机变量的分布列． 故选：C 7．甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为 ． 【答案】0，1，2，3 【分析】根据甲射击的总次数即可得结果． 【详解】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 故ξ的可能取值为0，1，2，3 故答案为：0，1，2，3 8．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 9．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得， 则. 故选：ABC. 10．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下: 0 1 2 则的值分别为 、 、 . 【答案】 / / / 【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解. 【详解】依题意，得 ，，， 所以，，. 故答案为：；；. 11．为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数（）的相关数据如下表所示： 大于300 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，请写出该企业一天的经济损失的分布列． 【答案】（1） ；（2） 答案见解析． 【分析】（1）设为选取的3天中空气质量等级为优的天数，然后由，利用古典概型求解；. （2）根据，得到的取值范围为，然后求得其相应概率，列出分布列. 【详解】（1）设为选取的3天中空气质量等级为优的天数， 则， . （2）由题意可知的取值范围为． ， ， ， 因此的分布列为 0 220 1480 2、 能力提升 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分布列中诸概率和为1，结合等差中项可求，故可得正确选项. 【详解】由题意，得成等差数列，∴. 由分布列的性质，得，∴. ∴，故B、D正确； ∵题目中未给出与的关系，本题我们只知道，故无法求出与的值， 故A、C错误. 故选：BD. 2．已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质可得，利用结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】根据分布列的性质知，．且， 所以， 当且仅当时等号成立, 故选:B． 3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是 . 【答案】 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，即可求出X取奇数值时的概率. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15， 故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 故答案为：. 4．设是不等式的解集，整数. (1)设“使得成立的有序数组”为事件，试列举事件包含的基本事件； (2)设，求的分布列. 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析 【分析】（1）解不等式求出，即得解； （2）的所有不同取值为，求出对应的概率即得解. 【详解】（1）由，得，即 由于且， 所以事件包含的基本事件为：. （2）由于的所有不同取值为. 所以的所有不同取值为，且有，. 故的分布列为： 0 1 4 9 16 5．装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢． （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即时）的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）从箱中取两个球的情形有6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．即可求得随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列． （2），由此能求出赢钱（即时）的概率． 【详解】解：（1）从箱中取两个球的情形有以下6种： {2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量； 当取到2个黄球时，随机变量； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黑球时，随机变量； 所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4 ，， ，， ， ∴X的概率分布列如下： X -2 -1 0 1 2 4 P （2）． 3、 直击高考 1．（2004·辽宁·高考真题）已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出其它的概率之和，再由离散型随机变量分布列的性质即可求解，表格中9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是 的等比数列，利用等比数列前项和公式求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以. 故选：C. 2．（2013·天津·高考真题）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率，再用得到答案. （2）随机变量X的可能取值为：，计算概率得到分布列. 【详解】（1）不含编号为3的卡片的概率，故. （2）随机变量X的可能取值为：. ；； ；. 分布列为： 3．（2023·四川成都·模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案. （2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列. 【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以，则． （2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 4．（2024·河南·二模）盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得,即可利用超几何分布的概率公式求解； （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列. 【详解】（1）共有种不同的取法，事件表示取出3个小球中至少有2个红球，包含两种； （2）随机变量的可能取值为， ， ， ， ， . 则随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 5．（2024·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得； （2）可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列． 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 所以 ； （2）可能的取值为400，500，800，并且，， ，故的分布列如下： 400 500 800 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$