6.2.3&6.2.4 组合与组合数（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.3&6.2.4 组合与组合数 分层作业 题型研究 题组一　组合数的计算 【例题1】计算的值为 ． 题组二　解含有组合数的方程或不等式 【例题2】（1）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 （2）不等式的解集为 ． 题组三　有限制条件的抽(选)取问题 【例题3】（多选题）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 题组四　插空法解决“不相邻问题” 【例题4】某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 题组五　捆绑法解决“相邻问题” 【例题5】北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 题组六　不同元素的分组问题 【例题6】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 题组七　隔板法解决“相同元素的分组问题” 【例题7】将10个优秀指标分配给3个班级： (1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？ (2)任意分配共有多少种分配方法？ (3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？ 1、 基础达标 1．（多选）下列问题是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合含有三个元素的子集有多少个 D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 2．下列计算结果是的是. A． B． C． D． 3． 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．126种 B．84种 C．35种 D．21种 4．《医院分级管理办法》将医院按其功能､任务不同划分为三个等级：一级医院､二级医院､三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（    ） A．81种 B．80种 C．51种 D．41种 5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 A．224 B．112 C．56 D．28 6．关于n的不等式的解集为 ． 7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 9．6名同学到某博物馆里面的书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，则每个场馆恰好有2名志愿者的不同安排方法有（    ） A．270种 B．90种 C．45种 D．15种 10．现有9名学生，其中女生4名，男生5名. （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 2、 能力提升 1．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（    ） A． B． C． D． 2．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条． 3．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 .（用数字作答） 4．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工.现要从这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有 种选派方法. 5．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加； (6)甲、乙、丙三人至多2人参加． 6．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 3、 直击高考 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2001·上海·高考真题）杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜 4．（24-25高三·上海·课堂例题）三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 5．（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3&6.2.4 组合与组合数 分层作业 题型研究 题组一　组合数的计算 【例题1】计算的值为 ． 【答案】 【分析】根据组合数和排列数计算公式，计算出的值. 【详解】依题意，. 故答案为：. 题组二　解含有组合数的方程或不等式 【例题2】（1）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【分析】根据组合数的性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案. 【详解】由，则或，解得或， 所以. 故选：B. （2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，整理得，解得，而， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 题组三　有限制条件的抽(选)取问题 【例题3】（多选题）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 【答案】ABD 【分析】根据题意，由排列组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和间接法，依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品， 则合格品的取法有种，不合格品的取法有种， 则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确， 若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况， ①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法， ②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确； 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析： 在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确； 若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法， 其中有2件为不合格品的抽法有种， 则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误； 故选：． 题组四　插空法解决“不相邻问题” 【例题4】某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 【答案】A 【分析】先将保留的盏灯排成一排，进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），不需考虑灯的差异，故利用组合数计算可得. 【详解】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的盏灯排成一排， 进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯）， 所以共有（种）不同的关灯方式． 故选：A． 题组五　捆绑法解决“相邻问题” 【例题5】北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【答案】A 【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 题组六　不同元素的分组问题 【例题6】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 【答案】(1)15 (2)60 (3)15 【分析】（1）6本不同的书分成3组，书本数为2本，2本，2本等量分组； （2）将6本不同的书分成3组，书本数为1本，2本，3本不等量分组； （3）分成3组，只需从6本中选4本一组，其余2本组为2，部分等量分组； 【详解】（1）每组2本，均分为3组的分组种数为． （2）一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为． （3）一组4本，另外两组各1本的分组种数为． 题组七　隔板法解决“相同元素的分组问题” 【例题7】将10个优秀指标分配给3个班级： (1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？ (2)任意分配共有多少种分配方法？ (3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？ 【答案】(1)36 (2)66 (3)15 【详解】由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子的模型，可采用“隔板法”． （1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法． （2）排隔板，即10个指标和2个隔板．从12个位置中选2个放隔板，共有种分配方法． （3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的7个优秀名额用插隔板法，共有种分配方法． 总之，凡是处理“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”．若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目可为0个时，可用排“隔板”． 1、 基础达标 1．（多选题）下列问题是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合含有三个元素的子集有多少个 D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】ABC 【分析】利用组合和排列的定义判断. 【详解】A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题； B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题； C. 集合含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题； D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题． 故选：ABC 2．下列计算结果是的是. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数公式计算出各选项中代数式的值，可得出正确选项. 【详解】，，，. 故选：D. 3． 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．126种 B．84种 C．35种 D．21种 【答案】C 【分析】根据给定信息，利用组合的意义直接列式作答. 【详解】依题意，参加比赛的剩余3名队员需从剩下的7名队员中选出，有种方法， 所以不同的选法共有35种. 故选：C 4．《医院分级管理办法》将医院按其功能､任务不同划分为三个等级：一级医院､二级医院､三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（    ） A．81种 B．80种 C．51种 D．41种 【答案】C 【分析】分恰有2个一级医院与恰有3个一级医院两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得； 【详解】解：恰有2个一级医院，有种抽法；恰有3个一级医院，有种抽法.所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（种）. 故选:C. 5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 A．224 B．112 C．56 D．28 【答案】B 【详解】试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：. 故选B. 6．关于n的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据组合数的运算公式计算即可得出答案. 【详解】不等式，即不等式， 解得， 又因且为正整数， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 【答案】D 【详解】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答． 解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种， 两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种 间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种， 都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种． 故选D 8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 9．6名同学到某博物馆里面的书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，则每个场馆恰好有2名志愿者的不同安排方法有（    ） A．270种 B．90种 C．45种 D．15种 【答案】B 【分析】根据题意，先把6名同学平均分为3组，再把分成的3组分配到书画、青铜、瓷器三个场馆，即可求解. 【详解】由题意，6名同学分为3组，恰好每组2人，共有种不同的分法， 再把分成的3组分配到书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，共有种不同的安排方法. 故选: B. 10．现有9名学生，其中女生4名，男生5名. （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1）26；（2）60；（3）2184 【分析】（1）采用间接法； （2）采用直接法； （3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可. 【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种， 所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种. （2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.   （3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种， 将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法， 故共有种安排方法. 2、 能力提升 1．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先选出值班的总人数，再分成三组，分别负责早、中、晚的接待工作即可. 【详解】由题意当天需要12名志愿者，先从14名志愿者里选出12名，有种选法； 再把这12名志愿者平均分为三组，负责接待工作，共有种安排方法， 所以开幕式当天不同的排班种数为. 故选：A. 2．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条． 【答案】126 【详解】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个 行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条 3．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】对每个台阶上所站的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】当每个台阶上各站人时有种， 当两个人站在同一个台阶上时，有种， 综上所述，共有种不同的站法. 故答案为：. 4．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工.现要从这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有 种选派方法. 【答案】185 【分析】分三种情况：(1)两名老师傅都不选；(2)两名老师傅选一人；(3)两名老师傅都选，分别求出对应的选法，再求和即可. 【详解】分三种情况讨论如下： (1)两名老师傅都不选，则有种选法； (2)两名老师傅选一人，则有种选法； (3)两名老师傅都选，则有种选法； 因此共有种选法. 5．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加； (6)甲、乙、丙三人至多2人参加． 【答案】(1)792 (2)36 (3)126 (4)378 (5)666 (6)756 【分析】根据题意，结合组合数公式，即可求解. 【详解】（1）有种不同的选法； （2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有种不同的选法； （3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有种不同的选法； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外的9人中选4人，有种选法．共有种不同的选法； （5）解法一（直接法） 可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有种； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有种； 第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有种． 共有种不同的选法． 解法二（间接法） 12人中任意选5人，共有种，甲、乙、丙三人都不能参加的有种， 所以，共有种不同的选法． （6）解法一（直接法） 甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类： 第一类：甲、乙、丙都不参加，共有种； 第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有种； 第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有种． 共有种不同的选法． 解法二（间接法） 12人中任意选5人，共有种，甲、乙、丙三人全参加的有种，所以，共有种不同的选法． 6．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 【答案】（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个． 【分析】（1）分情况讨论：α内1点，β内2点确定的平面；α内2点，β内1点确定的平面；α，β本身，有2个，利用组合数即可求解. （2）分情况讨论：α内1点，β内3点确定的三棱锥；α内2点，β内2点确定的三棱锥；α内3点，β内1点确定的三棱锥， （3）根据当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等即可求出结果. 【详解】解：（1）所作出的平面有三类． ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个． ②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个． ③α，β本身，有2个． 故所作的平面最多有＋＋2＝98(个)． （2）所作的三棱锥有三类． ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个． ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个． ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个． 故最多可作出的三棱锥有＋＋＝194(个)． （3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等． 所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋＝114(个)． 故最多有114个体积不同的三棱锥． 3、 直击高考 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3．（2001·上海·高考真题）杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜 【答案】7 【分析】根据保证每位顾客有200种以上不同选择，可得，由此可得结论． 【详解】设还需准备种不同的素菜， 由题意得，解得或， 又因，所以的最小值为， 所以餐厅至少还需要准备种不同的素菜. 故答案为：. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 【答案】C 【分析】先让男生排好，再让女上插空去排，同时左右两端只能选择一段，计算即可得. 【详解】先让男生排好有种排法，在让女生插空必须选择中间的2个空和左、右2端中的一个， 所以排法分别是，再根据分步计算原理的总的排法. 故选：C 5．（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$