6.2.2 排列数（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.2 排列数 分层作业 题型研究 题组一　排列数的计算 【例题1】（    ） A． B．3 C． D． 题组二　解含有排列数的方程或不等式 【例题2】（1）若，则 . （2）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题组三　证明排列数恒等式 【例题3】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 题组四　排列与排列数的简单应用 【例题4】（1）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. （2）6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 1、 基础达标 1．可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A．50 B．35 C．25 D．40 3．用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 5．若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（   ）种. A．120 B．240 C．360 D．480 6．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 8．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 9．计算： (1)； (2)； (3)若，求x. 2、 能力提升 1．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有(　　) A．480种 B．240  种 C．960种 D．720 种 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 3．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 4．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 5．三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 3、 直击高考 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（1991·全国·高考真题）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（    ） A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 3．（2008·宁夏·高考真题）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 4．（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.2 排列数 分层作业 题型研究 题组一　排列数的计算 【例题1】（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 题组二　解含有排列数的方程或不等式 【例题2】（1）若，则 . 【答案】6 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 （2）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 题组三　证明排列数恒等式 【例题3】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 题组四　排列与排列数的简单应用 【例题4】（1）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 【答案】（1）288；（2）504；（3）110. 【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理； （2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0； （3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得． 【详解】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有； （2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有； （3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有. （2）6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 【答案】(1)480； (2)48； (3)504. 【分析】（1）先排甲的位置，再排余下人的位置即可列式作答. （2）先安排甲乙站位，再排余下人的位置即可列式作答. （3）由6个人的全排列，去掉不符合要求的排法作答. 【详解】（1）先安排甲的位置，有种方法，再安排其他5人的位置有种方法， 所以甲不站右端，也不站左端共有（种）. （2）先安排甲乙有种方法，再安排其他4人的位置有种方法， 所以甲、乙站在两端共有（种）. （3）6人的全排列有种方法，甲站左端有种方法，乙站右端有种方法，甲站左端且乙站右端有种方法， 所以甲不站左端，乙不站右端共有（种）. 1、 基础达标 1．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 2．（    ） A．50 B．35 C．25 D．40 【答案】A 【分析】利用排列数公式计算即得. 【详解】. 故选：A 3．用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】用四个数字组成没有重复数字的两位数， 共有：个. 故选：D 4．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义即可求解. 【详解】根据排列数的定义， 可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是. 故选：B 5．若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（   ）种. A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】D 【分析】利用插空法解决不相邻问题. 【详解】将4名男生排成一排，有种排法， 由2名女生不相邻，在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法种数是． 故选：D. 6．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据排列数公式计算即可. 【详解】 由， 得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D. 7．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】C 【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解. 【详解】由题意可得， 故选:C 8．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 【答案】84 【分析】由捆绑法、间接法即可求解. 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 9．计算： (1)； (2)； (3)若，求x. 【答案】(1)720 (2)1 (3)x＝5 【分析】（1）（2）（3）利用排列数公式化简求值或列方程求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）由题设，则， 所以，则， 又，故. 2、 能力提升 1．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有(　　) A．480种 B．240  种 C．960种 D．720 种 【答案】A 【分析】分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论． 【详解】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有种； 第二类，字母C排在左边第二个位置，有种； 第三类，字母C排在左边第三个位置，有种， 由对称性可知共有2（）＝480种． 故选A． 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确． 故选：ACD． 3．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 【答案】210 【分析】根据1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，结合排列数公式，即可求解. 【详解】若1，3，5，7的顺序不定，有(种)排法， 所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的， 所以共有(个)七位数符合条件. 故答案为： 4．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 【答案】(1)14400 (2)37440 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排好有条件限制的首尾两个位置，再全排，再利用分步计数原理即可得出结果. （2）利用“正难则反”，先全排，再去掉不符合条件的排法数即可求出结果. 【详解】（1）先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法(种). （2）先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(种). 5．三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 【答案】(1)4320 (2)14400 (3)14400 (4)36000 (5)1440 【分析】（1）利用捆绑法进行求解； （2）插空法进行求解； （3）方法一，先安排两端的位置，剩余位置进行全排列，得到答案； 方法二，间接法进行求解，先安排三个女生和五个男生排成一排的总数，再减去不合要求的方法数； 方法三，先从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，再考虑其他位置，从而得到答案； （4）分首位排了男生和首位排了女生两种情况，分别求出方法数，相加后得到答案‘ （5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之间的两个女生，再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队，利用全排列知识求出答案. 【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法， 对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有（种）不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻， 由于五个男生排成一排有种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法， 因此共有（种）不同的排法． （3）方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个， 有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法， 但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次， 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次， 由于两端都是女生有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法三（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． （4）方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法； 如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法， 因此共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有（种）不同的排法． （5）男生甲、乙排好有种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之间有种排法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队有种排法， 所以共有（种）不同的排法． 3、 直击高考 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 2．（1991·全国·高考真题）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（    ） A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 【答案】B 【分析】由题意可得个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型，分别求出每种类型的数量再加起来即可. 【详解】由题意得，个位数字小于十位数字， 所以个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型， 每种类型分别有个， 共有 故选：B 3．（2008·宁夏·高考真题）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 【答案】A 【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案． 解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三； 分3种情况讨论可得， 甲在星期一有A42=12种安排方法， 甲在星期二有A32=6种安排方法， 甲在星期三有A22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A． 4．（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 5．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【分析】分甲和乙站前排，丙站后排和甲和乙站后排，丙站后排两类情况,根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解. 【详解】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有（种）． 故答案为:20. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$