7.2 离散型随机变量及其分布列（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.2 离散型随机变量及其分布列 导学案 1、 学习目标 1. 理解随机变量的意义． 2. 掌握离散型随机变量的概念． 3. 理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． 4. 掌握离散型随机变量的分布列的性质． 5. 会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 2、 学习重难点 重点：掌握离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的分布列的性质； 难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布). 3、 学习过程 1． 创设情境，引入新知 在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列． 思考：你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 2． 探究新知 问题提出：求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间 , 并会涉及样本点和随机事件的表示问题 , 类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 探究：有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.比如掷一枚骰子用实数m(m=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为m”，请再一些例子？ 预设：掷两枚骰子，样本空间为，用表示“两枚骰子的点数之和”，样本点就与实数对应． 探究：有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义 那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系． 要求：请再举一些例子 预设：类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示 随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5.4.3.2.1;等等. 总结：由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数； 预设：对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数; 如果用0表示“元件为合格品”, 1表示“元件为次品”, 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点, 则样本空间：Ω1={000 , 001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 , 111}, 各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示： 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数． 预设：对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h, th, tth, tth, ‧‧‧}. Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示： 思考：以上两个随机试验，变量X，Y有哪些共同的特征？ 预设：（1）每个样本点和一个实数一一对应；（2）取值依赖于样本点；（3）所有可能取值是明确的. 定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量（random variable）． 试验1中随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有4个值； 试验2中随机变量的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来． 定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量（discrete random variable）． 通常用大写英文字母表示随机变量，例如； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如． 小知识：随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（也翻译为契贝晓夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的． 思考：不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，总结随机变量与函数的关系 预设：(1)相同点：样本点ω相当于函数定义域中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域。 (2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集 要求：举一些离散型随机变量的例子 预设：某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0，1，2，…，10； 某网页在24 h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0，1，2，……； 练习：判断下列说法是否正确 1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ） 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．（ ） 3．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（ ） 4．新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．（ ） 预设：1.√，2.×，3.√，4.√ 引入：根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 比如：掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则： 事件“掷出点”可以表示为， 事件“掷出的点数不大于2”可以表示为， 事件“掷出偶数点”可以表示为， 由掷出各种点数的等可能性，事件“掷出m点”的概率均为1/6，表示为： 这一规律可以用下表表示： X 1 2 3 4 5 6 P 定义：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 为的概率分布列（list of probabllity distribution），简称分布列． 表示：分布列的表示，与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列可以用表格表示，还可以用图形表示．如下表和下图所示： 表格 表示 离散型随机变量 图形 表示 离散型随机变量 这图称作为的概率分布图. 性质：根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： （1）； （2）． 教师：利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率． 比如：在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为． 要求：按照以上方法，表示事件“掷出偶数点”的概率. 预设： 3． 应用新知 例1 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X ， 追问：本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性？ 预设：根据的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列为 ，． 表格表示的分布列如下表： 0 1 0.95 0.05 定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如表所示． 0 1 我们称X服从两点分布（two-point distribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）． 举例：请同学们具生活中两点分布的例子 预设：像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述． 总结：两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个可能结果，且两个结果是对立的．两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及． 预设：由题意知，是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且 “不及格”，“及格”，“中等”，“良”， “优”．根据古典概型的知识，可得的分布列，如下表所示． 1 2 3 4 5 ． 例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 预设：设挑选的2台电脑中品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为 ，，． 用表格表示X的分布列，如下表所示． 0 1 2 总结：求离散型随机变量分布列时的关注点 (1)关键：搞清随机变量ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求出ξ取每一个值的概率． (2)技巧：①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化过程； ②要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确. 4． 能力提升 类型一：由离散型随机变量分布列求概率 例题1 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 预设：＋＋＋＝，A错误；＋＝，B错误； ，C正确；＋＝，D错误. 故选：C 总结：利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 题型二：利用离散型随机变量分布列的性质解题 例题2 （1）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 预设：，，解得：， . 故答案为： （2）（多选题）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 预设：对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 总结：离散型随机变量分布列性质的应用 (1) 利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．比如利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2) 由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 题型三：两点分布问题 例题3：已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 预设：当时，由，所以. 故选：D 题型四：求简单离散型随机变量的分布列 例题4：一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 预设：（1）部件1，2都不需要调整的概率为，则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ， 0 1 2 3 总结：求离散型随机变量分布列的步骤 第一步：确定随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，…，n)，以及每个值表示的意义． 第二步：求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)． 第三步：按要求表示出分布列（常用表格表示）． 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 1．（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【详解】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（    ） A．25 B．10 C．15 D．9 【详解】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：D 3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则（    ）． A．1 B． C． D． 【详解】设“”表示1次试验失败，“”表示1次试验成功. 则， 又， 所以：， 故选：C. 4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在三张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y，令X＝x•y，求X的分布列． 【详解】；；；． X的分布列为 X 0 1 2 4 P 5．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克），测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x y 如果产品中的微量元素x，y满足且时，该产品为优等品.现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的概率分布. 【详解】 5件抽测品中有2件优等品，则X服从超几何分布 ，，. ∴优等品数X的概率分布为: X 0 1 2 P 7． 课后作业布置 作业1：完成教材：第60页 练习1，2，3，4； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量及其分布列》.  8． 课后作业答案 练习（第60页） 1．举出两个离散型随机变量的例子． 【解析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数； （2）某公共汽车站1分钟内等车的人数． 2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）抛掷2枚骰子，所得点数之和； （2）某足球队在5次点球中射进的球数； （3）任意抽取一瓶标有1500 mL的饮料，其实际含量与规定含量之差． 2．【解析】 （1）抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12． 2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11； 3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21； 4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31； 5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41； 6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33； 7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43； 8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44； 9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54； 10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55； 11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65； 12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66． （2）某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5 0表示5次点球中射进0球；1表示5次点球中射进1球；2表示5次点球中射进2球； 3表示5次点球中射进3球；4表示5次点球中射进4球；5表示5次点球中射进5球． （3）任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示． 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列． 3．【解析】设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为 ξ 0 1 P 0.3 0.7 (注：ξ服从两点分布) 4．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列． 【解析】由已知，抛掷一次一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为， 记正面向上的次数为，则可取0，1，2， ，，， 所以正面向上的次数的分布列为： 0 1 2 习题7.2（第60页） 1．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯． （1）写出随机试验的样本空间； （2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件． 【解析】（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用表示他经过四个路口所遇到红绿灯情况，其中表示第个路口的情况，则随机试验的样本空间 （2）设他可能遇到红灯的次数为X，则X的可能取值为0、1、2、3、4； 表示，表示， 表示， 表示，表示． 2．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.15 0.45 试说明该同学的计算结果是否正确． 2．【解析】根据分布列的性质可知：分布列中所有概率之和等于1，而题目中，所以该同学的计算结果不正确． 3．在某项体能测试中，跑1 km时间不超过4 min为优秀．某位同学跑1 km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？ 3．【解析】若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量，在某项体能检测中，跑1 km时间不超过4 min为优秀，某同学跑1 km所花的时间X是连续的，所以某同学跑1 km所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量； 如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值0，1，其中1表示优秀，0表示不优秀． 4．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为： X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？ 4．【解析】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环， 其概率为，故他射击一次为优秀的概率是0.55． 5．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率． 5．【解析】（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且，，，． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为 ． 6．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；（2）李明在一年内领到资格证书的概率． 6．【解析】（1）的取值分别为1，2，3． ，，， 所以李明参加考试次数的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 离散型随机变量及其分布列 导学案 1、 学习目标 1. 理解随机变量的意义． 2. 掌握离散型随机变量的概念． 3. 理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． 4. 掌握离散型随机变量的分布列的性质． 5. 会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 2、 学习重难点 重点：掌握离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的分布列的性质； 难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布). 3、 学习过程 1． 创设情境，引入新知 在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列． 思考：你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 2． 探究新知 问题提出：求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间 , 并会涉及样本点和随机事件的表示问题 , 类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 探究：有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.比如掷一枚骰子用实数m(m=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为m”，请再一些例子？ 探究：有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义 那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系． 要求：请再举一些例子 总结：由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数； 探究：以下随机试验样本空间是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的? 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数． 思考：以上两个随机试验，变量X，Y有哪些共同的特征？ 定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为 （random variable）． 试验1中随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有 个值； 试验2中随机变量的可能取值为 ，…，有 个取值，但可以 出来． 定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为 （discrete random variable）． 通常用 表示随机变量，例如； 用 表示随机变量的取值，例如． 小知识：随机变量的概念是俄国数学家 （也翻译为契贝晓夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的． 思考：不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，总结随机变量与函数的关系 要求：举一些离散型随机变量的例子 练习：判断下列说法是否正确 1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ） 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．（ ） 3．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（ ） 4．新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．（ ） 引入：根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 比如：掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则： 事件“掷出点”可以表示为， 事件“掷出的点数不大于2”可以表示为 ， 事件“掷出偶数点”可以表示为 ， 由掷出各种点数的等可能性，事件“掷出m点”的概率均为1/6，表示为： 这一规律可以用下表表示： X 1 2 3 4 5 6 P 定义：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 __________________________________ 为的 （list of probabllity distribution），简称 ． 表示：分布列的表示，与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列可以用 表示，还可以用 表示．如下表和下图所示： 表示 离散型随机变量 表示 离散型随机变量 这图称作为的 . 性质：根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： （1） ； （2） ． 教师：利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率． 比如：在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为． 要求：按照以上方法，表示事件“掷出偶数点”的概率. 3． 应用新知 例1 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X ， 追问：本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性？ 定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如表所示． 0 1 我们称X服从 （two-point distribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）． 举例：请同学们具生活中两点分布的例子 总结：两点分布的特点 (1)两点分布中只有 个可能结果，且两个结果是 的．两点分布中的两结果一个对应 ，另一个对应 ； (2)由对立事件的概率求法可知，已知 (或 )，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及． 例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 总结：求离散型随机变量分布列时的关注点 (1)关键：搞清随机变量ξ取每一个值对应的 ，进一步利用所学知识求出ξ取每一个值的 ． (2)技巧：①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化过程； ②要充分利用分布列的 ，这样不但可以减少运算量，还可 分布列是否正确. 4． 能力提升 类型一：由离散型随机变量分布列求概率 例题1 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 总结：利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 ”求某些特定事件的概率. 题型二：利用离散型随机变量分布列的性质解题 例题2 （1）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . （2）（多选题）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 总结：离散型随机变量分布列性质的应用 (1) 利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．比如利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2) 由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 题型三：两点分布问题 例题3：已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 题型四：求简单离散型随机变量的分布列 例题4：一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 总结：求离散型随机变量分布列的步骤 第一步：确定随机变量X的所有可能 (i＝1，2，…，n)，以及每个值表示的 ． 第二步：求出相应的 (i＝1，2，…，n)． 第三步：按要求表示出 （常用表格表示）． 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 1．（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（    ） A．25 B．10 C．15 D．9 3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则（    ）． A．1 B． C． D． 4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在三张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y，令X＝x•y，求X的分布列． 5．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克），测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x y 如果产品中的微量元素x，y满足且时，该产品为优等品.现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的概率分布. 7． 课后作业布置 作业1：完成教材：第60页 练习1，2，3，4； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量及其分布列》.  8． 课后作业答案 练习（第60页） 1．举出两个离散型随机变量的例子． 2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）抛掷2枚骰子，所得点数之和； （2）某足球队在5次点球中射进的球数； （3）任意抽取一瓶标有1500 mL的饮料，其实际含量与规定含量之差． 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列． 4．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列． 习题7.2（第60页） 1．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯． （1）写出随机试验的样本空间； （2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件． 2．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.15 0.45 试说明该同学的计算结果是否正确． 3．在某项体能测试中，跑1 km时间不超过4 min为优秀．某位同学跑1 km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？ 4．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为： X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？ 5．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率． 6．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；（2）李明在一年内领到资格证书的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$