6.2.3&6.2.4 组合与组合数（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.3&6.2.4 组合与组合数 导学案 1、 学习目标 1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 2、 学习重难点 重点： ① 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； ② 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 难点：能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 3、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 某校开展春季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种? 问题：上述情景中的问题能否用一个公式来表示？ 在学习排列时，有如下问题： 问题１ 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中１名同学参加上午的活动，另１名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 变式 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 教师：这是我们本节课要学习的组合与组合数问题？ 2． 探究新知 探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 提示：请用列举法得出结果 思考：两个问题有什么区别？ 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这 两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础. 组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 思考：相同组合的条件是什么？ 思考：排列与组合之间的联系与区别是什么？ 3． 应用新知 思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆． 下面的问题是排列问题，还是组合问题? （1）从中选3辆，有多少种不同的方法? （2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 总结：区分排列与组合的方法 跟踪练习：判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3)某铁路线上有5个车站，则有多少种不同的火车票价？ (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? (5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 例1.平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？并列举所有有向线段. （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？并列举所有线段. 4． 探究新知 思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数? 组合数定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ，用符号 表示. 要求：辨析组合数符号，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 思考：m，n所满足的条件是什么？ 要求：用排列数符号表示以下两个组合问题. 问题1：从3个不同元素中取出2个元素的组合数； 问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数. 探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢? 要求：利用以上相同的方法，分析 ②求从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的所有组合数 类比：由特殊到一般的数学思想，将求的方法推广为一般形式，如何求组合数？ 组合数公式： _______________________________________ 这里，并且，这个公式叫做 ． 要求：用阶乘的形式表示以上公式 另外，我们规定： ． 5． 应用新知 例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 思考：观察例6的(1)与(2) ， (3)与(4)的结果，你有什么发现？ (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 要求：请利用排列数公式的阶乘形式证明以上猜想. 跟踪练习：计算下列各式． (1) ； (2) 例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件． （1） 有多少种不同的抽法? （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? （3） 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 思考：从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗? 答案： 当和取较小数值时，可以通过手算得出和．当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数和组合数的内部构造函数，输入和的值后，便可以直接得到结果 总结：有限制条件的抽(选)取问题的处理方法 跟踪练习 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 6． 能力提升 类型一：插空法解决“不相邻问题” 例1 小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）个． A．240 B．360 C．600 D．720 总结：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可. 题型二：捆绑法解决“相邻问题” 例题2 某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 总结：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序. 题型三：不同元素的分组问题 类型一：除法策略解决不同元素的完全平均分组问题 例题3 (1)已知有9本不同的书.分成三堆，每堆3本，有________种不同的分堆方法？ 类型二：除法策略解决不同元素的部分平均分组问题 （2）已知有9本不同的书.分成三堆，两堆2本，另一堆5本，有________种不同的分堆方法？ 总结：解决部分平均分组问题的方法是:只需要对其中数量相等的组进行去重(复)，也即分步后再除以 类型三：不除策略解决不同元素的完全不平均分组问题 （3）已知有9本不同的书.分成三堆，一堆2本，一对3本，另一堆4本，有________种不同的分堆方法？ 总结：完全不平均分组不会出现重复情况，故按照顺序分步完成即可，不需要除法. 题型4 隔板法解决“相同元素的分组问题” 类型一：每组至少一个元素的情况 例题4 （1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ） A．10种 B．24种 C．36种 D．60种 总结：个相同的元素，分成组，每组至少一个元素，共有种分法 类型二：允许有的组没有元素的情况 （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，共有多少种放法（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．84种 总结：个相同的元素，分成组，共有种分法 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 8． 随堂限时小练 1．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．已知，则 （为自然数） 3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 B．120 C．72 D．24 5．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 6．6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分配方式. 7.某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 9． 课后作业布置 作业1：作业1：完成教材：第22-23页 练习1，2，3 ，第25页 练习1，2，3. 作业2：配套辅导资料对应的《组合即组合数》.  10． 课后作业答案 练习（第22页） 1．甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠、亚军的可能情况． 2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形． 3．现有1，3，7，13这4个数． （1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? （2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 练习（第25页） 1．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．求证：． 3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩． （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法． 习题6.2（第26页） 1．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）． 2．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 4．填空题 （1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是________； （3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是________； （4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是________． 5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上． （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 6．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？ （2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？ 7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法． 8．求证：（1）；（2）． 9．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？ 10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛． （1）每个小组的代表队有多少种选法？ （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？ （3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？ 12．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数． 13．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛． （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 14．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会． （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验． （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 16．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取7个数．如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖． （1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？ （2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？ 17．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 19．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3&6.2.4 组合与组合数 导学案 1、 学习目标 1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 2、 学习重难点 重点： ① 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； ② 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 难点：能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 3、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 某校开展春季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种? 问题：上述情景中的问题能否用一个公式来表示？ 在学习排列时，有如下问题： 问题１ 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中１名同学参加上午的活动，另１名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 变式 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 教师：这是我们本节课要学习的组合与组合数问题？ 2． 探究新知 探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 提示：请用列举法得出结果 预设：甲、乙、丙３名同学中选２名去参加一项活动，就只需考虑将选出的２名同学作为一组， 不需要考虑他们的顺序．因此：甲乙；甲丙；乙丙，共3中选法 思考：两个问题有什么区别？ 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 预设：问题1：从已知的3 个不同元素中取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列. →排列（有顺序） 问题2：从已知的3个不同元素中取:出2个元素 ,并成一组.→组合（无顺序） 设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这 两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础. 组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 思考：相同组合的条件是什么？ 预设：只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 思考：排列与组合之间的联系与区别是什么？ 预设：联系：都要“从n个不同元素中任取m个元素” 区别：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 举例：在上述探究问题中，“甲乙”与 “乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同， 因此它们是相同的组合，不同的排列． 3． 应用新知 思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆． 下面的问题是排列问题，还是组合问题? （1）从中选3辆，有多少种不同的方法? （2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 预设：第（1）题组合问题，第（2）题排列问题 总结：区分排列与组合的方法 首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序， 而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 跟踪练习：判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3)某铁路线上有5个车站，则有多少种不同的火车票价？ (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? (5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 预设：（1）（3）（4）（5）（6）是组合问题，（2）（7）是排列问题 例1.平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？并列举所有有向线段. （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？并列举所有线段. 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题； （2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题． 预设：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为． 这12条有向线段分别为． （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：． 4． 探究新知 思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数? 预设：能，具体对应关系如下： 结合上图可知：12(排列数)÷2=6(组合的个数) → 组合数 组合数定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 要求：辨析组合数符号，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 预设： 思考：m，n所满足的条件是什么？ 预设：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n . 要求：用排列数符号表示以下两个组合问题. 问题1：从3个不同元素中取出2个元素的组合数； 问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数. 探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢? 预设：求“从3个元素中取出2个元素的排列数”： 第1步，从3个元素中取出2个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的2个元素作全排列，共有种不同的排法． 于是，根据分步乘法计数原理，有 ． 即 ． 要求：利用以上相同的方法，分析 ②求从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的所有组合数 预设：求“从4个元素中取出3个元素的排列数”： 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法． 于是，根据分步乘法计数原理，有 ． 即 ． 类比：由特殊到一般的数学思想，将求的方法推广为一般形式，如何求组合数？ 预设：求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法． 根据分步乘法计数原理，有 ． 因此， . 组合数公式： 这里，并且，这个公式叫做组合数公式． 要求：用阶乘的形式表示以上公式 预设：因为，所以 另外，我们规定． 5． 应用新知 例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 预设：根据组合数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 思考：观察例6的(1)与(2) ， (3)与(4)的结果，你有什么发现？ (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 不易发现，.猜想： 要求：请利用排列数公式的阶乘形式证明以上猜想. 预设： 跟踪练习：计算下列各式． (1) ； (2) 预设：(1) 3C－2C＝3×－2×＝148. （2）∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件． （1） 有多少种不同的抽法? （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? （3） 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题； （2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题； （3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题． 预设：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 ； （2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 ． （3）方法1：（直接法） 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 ． 方法2：（间接法）抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 ． 思考：从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗? 答案：可以 当和取较小数值时，可以通过手算得出和．当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数和组合数的内部构造函数，输入和的值后，便可以直接得到结果． 总结：有限制条件的抽(选)取问题的处理方法 预设：有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 跟踪练习 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 预设：（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数． （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 6． 能力提升 类型一：插空法解决“不相邻问题” 例1 小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）个． A．240 B．360 C．600 D．720 预设：第一步先排3，4，5，9四个数字，共有种排法； 第二步这四个数字形成5个空，选两个空，放两个1，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有共有种. 故选：A 总结：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可. 题型二：捆绑法解决“相邻问题” 例题2 某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 预设：先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为. 故选：C 总结：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序. 题型三：不同元素的分组问题 类型一：除法策略解决不同元素的完全平均分组问题 例题3 (1)已知有9本不同的书.分成三堆，每堆3本，有________种不同的分堆方法？ 预设：(1) 9本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为. 故答案为：140. 总结：一般的，个不同的元素平均分成组，各组内的元素数目都是个，那么分组的方法数为： . 类型二：除法策略解决不同元素的部分平均分组问题 （2）已知有9本不同的书.分成三堆，两堆2本，另一堆5本，有________种不同的分堆方法？ 预设：(2) 不同的分堆方法的种数为. 故答案为：756. 总结：解决部分平均分组问题的方法是:只需要对其中数量相等的组进行去重(复)，也即分步后再除以 类型三：不除策略解决不同元素的完全不平均分组问题 （3）已知有9本不同的书.分成三堆，一堆2本，一对3本，另一堆4本，有________种不同的分堆方法？ 预设：不同的分堆方法的种数为. 故答案为：1260. 总结：完全不平均分组不会出现重复情况，故按照顺序分步完成即可，不需要除法. 题型4 隔板法解决“相同元素的分组问题” 类型一：每组至少一个元素的情况 例题4 （1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ） A．10种 B．24种 C．36种 D．60种 预设：依题意，采用隔板法，在个空中插入块板，则不同的放法共有种。 总结：个相同的元素，分成组，每组至少一个元素，共有种分法 类型二：允许有的组没有元素的情况 （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，共有多少种放法（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．84种 预设：可以再借4个小球，加起来共10个小球，放到4个不同的箱子里，每个箱子至少有一个小球. 这个问题就转化为类型一：不允许有空箱子的问题. 10个小球产生9个空（不含两头的空），插入块挡板即可，共有种方法. 总结：个相同的元素，分成组，共有种分法 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 8． 随堂限时小练 1．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【详解】 A. 从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．已知，则 （为自然数） 【详解】，解得或，因为，所以. 故答案为：. 3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【详解】先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有种，然后再从剩余的名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有种，所以一共有种. 故选：B． 4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 B．120 C．72 D．24 【详解】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种 5．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【详解】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种. 故答案为：36 6．6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分配方式. 【详解】部分平均分组问题，种. 7.某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【详解】将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额，共有种. 故选：B. 9． 课后作业布置 作业1：作业1：完成教材：第22-23页 练习1，2，3 ，第25页 练习1，2，3. 作业2：配套辅导资料对应的《组合即组合数》.  10． 课后作业答案 练习（第22页） 1．甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛． （1）列出所有各场比赛的双方； 解析：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁． （2）列出所有冠、亚军的可能情况． 解析： 冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙 2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形． 2．【解析】因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，所以其中任意3个点为顶点构成的三角形有，，，共4个． 3．现有1，3，7，13这4个数． （1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? （2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 3．【解析】（1）从这4个数中任取2个相加有：，，，，， ，共有6个不相等的和； （2）从这4个数中任取2个相减有：，，，，，， ，，，，，，可以得到有10个不相等的差． 练习（第25页） 1．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）15；（2）36；（3）20；（4）148． 【解析】（1）；（2）； （3）； （4）． 2．求证：． 【解析】证明：因为，， 所以， 所以得证． 3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩． （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法． 【答案】（1）20；（2）12；（3）16 【解析】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法； （2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法； （3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法． 习题6.2（第26页） 1．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）． 1．【答案】（1）348（2）64 【解析】（1）； （2）． 2．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．【答案】（1）455；（2）1313400；（3）；（4）； 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 3．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 【答案】15种 【解析】因为四张人民币的面值不同，且组成的面值与顺序无关，所以可分为以下四类面值： 由一张人民币组成：币值种数，由两张人民币组成：币值种数， 由三张人民币组成：币值种数，由四张人民币组成：币值种数， 所以可组成种币值． 4．填空题 （1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是________； （3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是________； （4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是________． 【答案】10 60 【解析】（1）5人中确定3人去参观，由组合的定义知，共有种． （2）从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，由排列定义知，共有种． （3） 每一个工人都有3种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种． （4）从集合A的m个元素取1个元素，有m种，从集合B的n个元素取1个元素，有n种，根据分步计数原理，可知两个集合中各取1个元素，一共有种． 故答案为：10；60；； 5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上． （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 5．【答案】（1）665280（2）103680 【解析】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上， 共有种选法； （2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开， 则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法， 3种书共有种排法， 共有种放法． 6．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？ （2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？ 6．【答案】（1）56；（2）210． 【解析】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面个数是个； （2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，且所确定的四面体与点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是：个． 7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法． 【答案】24种． 【解析】第一步选做第1题：选法有种，第二步选做第2题：选法有种， 第三步选做第3题：选法有种，所以一共有：种选法． 8．求证：（1）；（2）． 8．【解析】（1），即． （2）当时，， ∴结论成立，即． 9．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？ 【答案】288． 【解析】第一步排音乐节目：有种排法；第二步排舞蹈节目：有种排法； 第三步排曲艺节目：有种排法；所以共有种排法． 10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛． （1）每个小组的代表队有多少种选法？ （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？ （3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】（1）495；（2）1980；（3）11880． 【解析】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有种选法． （2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有种选法；再选出3名队员，有种选法，故共有种选法． （3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有种不同选法． 11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？ 11．【答案】最大可取． 【解析】n个互不相同的数的全排列有个，所以由n个不同的数值能以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同；为使每一行都不重复，可取的最大值为． 12．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数． 12．【答案】（1）1224；（2）1440． 【解析】（1）从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种， 五个数全排列有种，其中首位是零的有种， 所以一共可组成个没有重复数字的五位数； （2）若比500 0000大，则有七位数，且首位是5或6，所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成 个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数． 13．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛． （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 13．【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120 【解析】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法． 14．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会． （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 14．【答案】（1）63；（2）31 【解析】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会， 去1人时，有种去法；去2人时，有种去法； 去3人时，有种去法；去4人时，有种去法； 去5人时，有种去法；去6人时，有种去法； 根据分类计数原理得：共有种去法； （2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有种去法； 当甲和乙两位同学都不去，则有种去法； 根据分类计数原理得：共有种去法． 15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验． （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 15．【答案】（1）64 446 024；（2）442 320；（3）446 976；（4）75 282 864 【解析】（1）100件产品中有97件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有种； （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有种； （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有种； （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有种． 16．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取7个数．如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖． （1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？ （2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？ 16．【答案】（1）1029 5472；（2）6 【解析】（1）根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样（不管排列顺序）即得一等奖，注彩票可有一个一等奖． （2），，则在37个数中取6个数，中一等奖的概率为， 在37个数中取5个数，中一等奖的概率为， ∴如果要将一等奖的机会提高到以上且不超过，可在37个数中取6个数． 17．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 【答案】 【解析】先排I，II，III共有种，IV有种，不同的着色方法数有种． 18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 【答案】84 【解析】群里有3人看到了，说明发信息这人在群里的“好友”有3～9人， 共有种可能的情况． 19．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 【答案】54 【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况，故5人的名次排列可能有54种不同情况． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$