6.2.2 排列数（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.2 排列数 教学设计 1、 教学目标 1. 能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 2. 掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 2、 教学重难点 重点：能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 难点：掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 学生在进入《排列数》的学习之前，已经完成了《排列》的学习，对排列的基本概念、性质以及排列与组合的区别有了初步的认识.这为排列数的学习提供了必要的基础. 然而，排列数的计算公式相对复杂，需要学生具备较强的数学逻辑思维能力和运算能力.学生在学习过程中可能会遇到理解公式推导、灵活运用公式解决实际问题等困难. 此外，学生对排列数的应用意识也有待提高.虽然排列数在现实生活中有着广泛的应用，但学生可能还未能充分意识到这一点，缺乏将数学知识与现实生活联系起来的意识. 因此，在教学设计中，教师需要注重公式推导过程的教学，通过实例讲解和练习巩固，帮助学生理解排列数公式的来源和意义.同时，教师还可以引入生活中的排列数问题，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学应用意识和问题解决能力. 综上所述，学情分析是制定《排列数》教学设计的重要基础，教师需要深入了解学生的学习情况和需求，才能制定出符合学生实际的教学方案. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第一章《计数原理》，本节课主要学习《排列数》. 这一节内容在高中数学选择性必修第三册中占据重要地位，它是在排列的基础上进一步深入，旨在帮助学生理解和掌握排列数的定义、计算公式及其应用. 本节内容主要分为排列数的定义、排列数公式的推导、排列数的计算以及排列数的应用等部分.教材首先通过实例引出排列数的概念，使学生明确排列数与排列的区别.接着，利用分步乘法计数原理推导排列数公式，这一过程既是数学原理的应用，也是学生逻辑思维能力的锻炼. 在排列数的计算部分，教材通过具体例题，展示了排列数公式的灵活运用，帮助学生巩固所学知识.此外，教材还注重排列数的实际应用，通过引入生活中的排列数问题，培养学生的数学应用意识和问题解决能力. 整体而言，本节内容逻辑严谨，结构清晰，既注重理论知识的讲解，又强调实际应用的训练.学生在学习过程中，不仅能掌握排列数的基本概念和计算方法，还能通过解决实际问题，提升数学素养和综合能力. 4、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 问题：上述情景中的问题能否用一个公式来表示？ 设计意图：结合生活，提出问题，问题引导激发学生的学习兴趣 教师：前面给出了排列的定义，研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？下面探究计算排列个数的公式. 2． 探究新知 排列数定义：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 教师：辨析排列数符号：，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 预设： 思考：m，n所满足的条件是什么？ 预设：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n . 要求：请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示. 学生：学生用排列数符号表示. 预设：前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数3×2＝6， 排列数表示为．即． 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数4×3×2＝24 ，排列数表示为． 即． 设计意图：给出排列数的定义及符号表示，结合上一 节课的问题，让学生把排列数的符号与排列数联系起来， 为下面推导排列数公式奠定基础. 探究：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 提示：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数． 学生：自主阅读教材，小组讨论分析，得出求出排列数的过程，并做好分享的准备. 预设： 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法． 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 要求：用以上相同的方法求排列数 学生：根据以上问题的解答方法，得出结果. 预设：同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑， 有 ． 追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？ 学生：利用由特殊到一般的数学思想，得出结果. 预设：一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 填空可以分为个步骤完成： 第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法． 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为 ． 这样，我们就得到公式 排列数公式：以上公式中，，并且．这个公式叫做排列数公式． 设计意图：通过具体情境，引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式，采用从特殊到一般的思想方法，让学生体会归纳法在推导公式中的应用.通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式. 思考：你能说一下排列数公式的特点吗？ 学生：根据排数公式的结构进行特点分析. 预设：1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 两个重要概念： 全排列：特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 要求：根据排列数公式，求出全排列数是多少？ 学生：结合公式发现排列数公式中时，就是全排列数公式： 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示． 学生：结合全排列和阶乘的定义，得出： 规定： 思考：排列和排列数的区别？ 学生：根据排列和排列数的定义进行辨析. 预设：“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号表示排列数，而不表示具体的排列． 【小试牛刀】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．(　　) (3)若＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6. (　　) (4)＝1×2×3×…×(n－1)×n. (　　) 学生：思考并完成. 预设：（1）× （2）× （3）× （4）√ 3． 应用新知 例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 学生：回顾排列数公式并计算，得出答案，做好分享准备. 预设：可根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 总结：排列数的计算方法： (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 跟踪练习：计算下列各式． (1)； (2) 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：（1）； （2）. 4． 探究新知 思考:由例3可以看到，；，即．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗? 追问：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它进行推广？ 师生：推广得到公式…并加以证明. 设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.并通过对所求结果共性的归纳总结，得到公式的另一种形式. 预设： 事实上， 因此，排列数公式还可以写成 排列数公式：以上公式为排列数公式的阶乘形式. 总结：排列数公式的两种形式： （1）连乘形式： （2）阶乘形式： 排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明. 5． 应用新知 例4：用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 师生：（1）这是不是一个排列问题？ （2）引导学生分别按“百位数字不能是0”“0是否出现及出现的位置”“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法. （3）利用排列数公式计算出结果. （4）归纳求排列问题的方法：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果. 设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法. 分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 预设：解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法． 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 ． 解法2：如图6.2-6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法． 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 ． 解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 ． 思考：从例题4的解答过程中，总结引入排列的概念、归纳出排列数公式的作用是什么？ 学生：根据例题4的解题过程，分析和总结 预设：从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题． 总结：对于例4这类计数问题，总结从不同的角度有不同的解题方法: 解法1：根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事； 解法2：是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事； 解法3：是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数． 跟踪练习 用0～5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 要求：用例4中的三种方法（三种不同的角度）去解题 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设： 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~5这5个数字中取出1个, 有种取法; 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的5个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~5这5个数字中取出3个, 有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的5个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为 解法3: 从0~5这6个数字中选取3个的排列数为, 其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这6个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为 6． 能力提升 类型一：解含有排列数的方程或不等式 例1 解方程： （2）解不等式： 预设：(1) 由，得＝， 所以＝，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为0<x≤8且0<x－1≤9，所以原方程的解得x＝6. (2) 原不等式即>，其中2<x≤9，x∈N*， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*.故x＝3，4，5，6，7. 总结：解含有排列数的方程或不等式的技巧： ① 先要注意先提取公因式化简，然后计算，这样做可以减少运算量． ② 注意A中隐含了3个条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数． ③ 在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． 题型二：证明排列数恒等式 例题2 证明：. 预设：证明： , . 总结：解含有排列数恒等式的证明，将较复杂的一边用排列数阶乘形式展开，通过提取公因式等等价变形，然后等于另一边，即可得证. 题型三：特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生不排两端，有多少种不同排法？ 预设：(1) 解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从五个男生中选两人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有 AA＝14 400(种) 不同排法． 解法二(元素分析法)：从中间六个位置选三个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有 AA＝14 400(种) 不同排法． 解法三(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次．由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有 A－2AA＋AA＝14 400(种) 不同排法． （2）如果甲、乙两人必须排两端，有多少种不同排法？ 预设：(2) 甲、乙为特殊元素，先将它们排在两端位置，有A种排法，其余6人全排列，有A种排法，所以共有 AA＝1 440(种) 不同排法． （3）如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 预设：(3) 甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置． 解法一(元素分析法)：甲在最右边时，其他的可全排列，有A种排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种排法，而乙可排在除去最右边位置和甲的位置后剩余的6个位置中的任意一个上，有A种排法，其余人全排列，共有AAA种排法，由分类加法计数原理得，共有 A＋AAA＝30 960(种) 排法． 解法二(位置分析法)：先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排列，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，所以共有 AA－AA＝30 960(种) 排法． 解法三(间接法)：8个人全排列，共A种．其中，不符合条件的有甲在最左边时的A种排法，乙在最右边时的A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，共A种，所以共有 A－2A＋A＝30 960(种) 排法． 总结：特殊优先型的排列问题的解题策略 策略1：以元素为主优先考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素; 策略2：以位置为主优先考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置; 策略3：用间接法解题，先不考虑限制条件，计算总排列数，再减去不符合要求的排列数. 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 8． 随堂限时小练 1．计算：(1)； (2)； 【详解】（1） （2） 2．解方程：.（为自然数） 【详解】由可得，由于为大于不小于3的自然数，所以，化简得，解得 3．求满足的整数的值. 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 4．证明下列等式． (1)； (2)． 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 5．3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 9． 课后作业布置 作业1：完成教材：第20页 练习1，2，3； 作业2：配套辅导资料对应的《排列数》.  10． 课后作业答案 练习（第20页） 1．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 2．求证：（1）；（2）． 2．【解析】（1），故等式成立； （2），故等式成立． 3．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? 3．【解析】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$