6.2.2 排列数（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排列数 教学设计 1、 课时教学内容 本节的主要内容是排列数的定义、表示及公式. 2、 课时教学目标 1 .能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数. 2 .通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体 问题的排列数. 3、 教学重点、难点 重点：排列数公式. 难点：排列数公式的应用. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？ 师生活动： 教师让学生阅读教材，获得排列数的概念与排列数的 表示. 教师带领学生回忆上一节中的问题1与问题2. 师:你能用排列数符号表示上一节问题1、问题2的排 列数吗？ 生：问题1可表示为N，问题2可表示为A：. 师：你能说明排列数与排列有何区别吗？ 教师指定学生回答,并评价指导. 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式． 我们把从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示． 符号中的A是英文arrangement（排列）的第一个字母． 师:请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示. 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数， 表示为．已经算得 ． 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为．已经算得 ． 师:请你思考一下，排列数的符号与计算结果之间有什么联系？ 设计意图：给出排列数的定义及符号表示，结合上一 节课的问题，让学生把排列数的符号与排列数联系起来， 为下面推导排列数公式奠定基础. 师生活动：（1）为了便于表达和计算排列个数，教师可以先给出排列数的定义和表示：把从〃个不同元素中取出加（机个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的排列数，并用符号表示. （2）用排列数符号表示6.2.1节问题1、问题2的排列数，并说明排列数与排列有何区别. （3）分别算出6.2.1节问题1、问题2的排列数，它们有什么共同之处？ 设计意图：结合6.2.1节已解决的具体问题1、问题2,在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫. 环节二 观察分析，感知概念 问题2：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 追问（1）：我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数,问题2的排列数,那么如何 求排列数? 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数．根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法． 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 ． 追问（2）：如何求排列数? 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有 ． 追问(3)：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？ 一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 填空可以分为个步骤完成： 第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法． 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为 ． 这样，我们就得到公式 这里，，并且．这个公式叫做排列数公式． 设计意图：通过具体情境，引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式，采用从特殊到一般的思想方法，让学生体会归纳法在推导公式中的应用.通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式. 环节三 抽象概括，形成概念 你能说一下排列数公式的特点吗？ 问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？ 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数．例如， ， ． 特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中，即有 ． 也就是说，将个不同的元素全部取出的