数学（天津卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12． ____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 四、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 17. （15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（天津卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4．在下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．抛物线的焦点F恰好是圆的圆心，过点F且倾斜角为的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ． 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 14．如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 . 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）1．在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)设，求证：． 20．（本小题满分16分）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（天津卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4．在下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．抛物线的焦点F恰好是圆的圆心，过点F且倾斜角为的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ． 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 14．如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 . 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）1．在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)设，求证：． 20．（本小题满分16分）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（天津卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，故B正确.故选：B 2．已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】取,满足,但，必要性不成立， 由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立， 则是的充分不必要条件，故选：A 3．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由题意，做出散点图如下图所示，    由图可知，日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系， ①正确，②错误，故选：B. 4．在下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数； 对于B，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数； 对于C，函数的定义域为，且，所以，故函数为偶函数； 对于D，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，故选C. 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为单增，所以，即. 因为单增，所以，即. 因为单减，所以，即. 综上所述：，故选C 6．已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，的位置关系有平行、异面或相交，故A错； 对于B，与平面的关系是平行或，故B错； 对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确； 对于D，与平面的关系是平行或，故Ｄ错；故选Ｃ. 7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象向右平移个长度单位可得 ， 因为是此函数的对称中心点， 则，解得，， 又因为，所以当时，，所以， 因为，则，所以， 所以在上的最小值为.故选：C 8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，腰长为的等腰三角形（为原点），，可得，即 解得 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：． 故选C． 9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示： 由可得， 所以四边形与四边形的面积之比为， 即可知容器中水的体积占整个容器体积的； 当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的, 即可得液面高为，故选C 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 【答案】6 【解析】，故，，得，，所以. 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 【答案】28 【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 12．抛物线的焦点F恰好是圆的圆心，过点F且倾斜角为的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ． 【答案】8 【解析】由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去y并整理得．则， 所以． 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【答案】 【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 14．如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 . 【答案】 【解析】，∴，∴， 则， 又，∴， 所以； ∵与共线，∴可设，， ∵，∴， ∴=， =， ∴=，① ∵， ∴，，，② 把②代入①并整理得：∴， ∵，∴，∴， 解得：，∴或， 故的值为或． 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，令，则， 因为为增函数，所以当该方程在时无实数根时， ，所以， ①时，时有一个解，所以时，有一个解， 当时，是递减的， 则， 所以时有一个解， 即当时，恰有两个互异的实数解； ②时，在时无解， 此时，即，解得或（舍去）， 所以方程在时有1个解， 即当时，方程只有一个实数解， ③时，在时无解， 则时，， 所以，该方程要在时有2个不等的实数解， 即函数在上有2个不同的零点， 所以，解得， 综上所述，的范围为， 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， …………………………1分 因为，所以， 即， …………………………3分 显然，解得． …………………………4分 （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． …………………………6分 由已知，，互不相等，所以， 所以． …………………………8分 （3）因为，所以， …………………………10分 所以，， …………………………12分 所以.…………………14分 17．（本小题满分15分）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解】（1）    在直三棱柱中，平面，且， …………………………1分 以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 易知平面ABC的一个法向量为， ……………3分 则，故， …………………………4分 又因为平面，故//平面 …………………………5分 （2）， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设， …………………………7分 因为， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设 …………………………9分 则 因此，平面CED与平面夹角的余弦值为. …………………………11分 （3）因为，根据点到平面的距离公式， 则 …………………………14分 即点到平面CED的距离为. …………………………15分 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 【解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， …………………………2分 四个顶点构成的四边形为菱形， 其面积为， …………………………4分 即，所以椭圆的方程为：. …………………………5分 （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ， 则，， …………………………7分 设PQ的中点为，则， 所以， …………………………8分 因为，所以， 所以， …………………………10分 所以，即， 所以， …………………………11分 又，所以， 又，故即， …………………………14分 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. …………………………15分 19．（本小题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)设，求证：． 【解】（1）依题意设等差数列的公差为， 等比数列的公比为， 则，， 又，， 所以， …………………………3分 解得或（舍去）， 所以，. …………………………5分 （2）由（1）可得 …7分 设的前项和为， 所以 . …………………………9分 （3）因为， 所以， …………………………11分 所以， …………………………13分 所以 . …………………………15分 20．（本小题满分16分）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【解】（1）， 则， …………………………2分 所以曲线在点处的切线方程为， 即； …………………………4分 （2）（i）， ， …………………………5分 ∵时，取得极值，∴，解得， …………………………6分 ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； …………………………8分 （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， …………………………10分 则 ∴所证不等式等价于， 即， …………………………12分 不妨设，即证， 令，， 则， …………………………14分 ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴ …………………………16分 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（天津卷）01 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A B C C C C C C 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．6 11．28 12．8 13． 14． 15． 3、 解答题：本题共6小题，共75分。 16．（本小题满分14分） 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， …………………………1分 因为，所以， 即， …………………………3分 显然，解得． …………………………4分 （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． …………………………6分 由已知，，互不相等，所以， 所以． …………………………8分 （3）因为，所以， …………………………10分 所以，， …………………………12分 所以.…………………14分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）    在直三棱柱中，平面，且， …………………………1分 以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 易知平面ABC的一个法向量为， ……………3分 则，故， …………………………4分 又因为平面，故//平面 …………………………5分 （2）， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设， …………………………7分 因为， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设 …………………………9分 则 因此，平面CED与平面夹角的余弦值为. …………………………11分 （3）因为，根据点到平面的距离公式， 则 …………………………14分 即点到平面CED的距离为. …………………………15分 18．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， …………………………2分 四个顶点构成的四边形为菱形， 其面积为， …………………………4分 即，所以椭圆的方程为：. …………………………5分 （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ， 则，， …………………………7分 设PQ的中点为，则， 所以， …………………………8分 因为，所以， 所以， …………………………10分 所以，即， 所以， …………………………11分 又，所以， 又，故即， …………………………14分 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. …………………………15分 19．（本小题满分15分） 【解】（1）依题意设等差数列的公差为， 等比数列的公比为， 则，， 又，， 所以， …………………………3分 解得或（舍去）， 所以，. …………………………5分 （2）由（1）可得 …7分 设的前项和为， 所以 . …………………………9分 （3）因为， 所以， …………………………11分 所以， …………………………13分 所以 . …………………………15分 20．（本小题满分16分） 【解】（1）， 则， …………………………2分 所以曲线在点处的切线方程为， 即； …………………………4分 （2）（i）， ， …………………………5分 ∵时，取得极值，∴，解得， …………………………6分 ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； …………………………8分 （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， …………………………10分 则 ∴所证不等式等价于， 即， …………………………12分 不妨设，即证， 令，， 则， …………………………14分 ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴ …………………………16分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$