专题02 等比数列（四大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题02 等比数列 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等比数列基本量运算 2 类型二、等比数列的性质 3 类型三、等比数列的证明 3 类型四、等比数列的前n项和 5 压轴能力测评 5 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （3）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （4）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （5）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （6）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 类型一、等比数列基本量运算 【变式训练1】已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练2】在正项等比数列中，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式训练3】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【变式训练4】（多选）已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 【变式训练5】（多选）在等比数列中，、、成等差数列，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 类型二、等比数列的性质 【变式训练1】在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 【变式训练2】已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 【变式训练3】已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式训练4】已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于 . 【变式训练5】在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 类型三、等比数列的证明 【变式训练1】（多选）如果数列是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【变式训练3】（多选）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ） A．为等比数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．若，则 【变式训练4】已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 【变式训练5】设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【变式训练6】已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 类型四、等比数列的前n项和 【变式训练1】记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 【变式训练2】已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 【变式训练3】设是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．36 C．42 D．108 【变式训练4】已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【变式训练5】已知等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的公比 ，前n项和 . 1.已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ） A． B． C． D． 2.已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 3.已知等比数列的前项和为，，数列为等比数列，若，则正整数的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4.（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 5.（多选）已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 6．（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 8．（多选）已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 9．（多选）已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列的公比为2 B．数列为等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D． 10.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 11.已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 12．数列的前项和为，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)若，数列的前项和为，求证：． 13.已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 14.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等比数列 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等比数列基本量运算 2 类型二、等比数列的性质 4 类型三、等比数列的证明 6 类型四、等比数列的前n项和 9 压轴题测评 11 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （3）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （4）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （5）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （6）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 类型一、等比数列基本量运算 【变式训练1】已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】依题意，， 则. 故选：D. 【变式训练2】在正项等比数列中，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】因为为等比数列，所以， 故， 所以，又，所以. 故选：C. 【变式训练3】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【答案】D 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：D 【变式训练4】（多选）已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 【答案】AC 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以， 又，所以，即， 所以，，A，C正确，B错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误． 故选：AC． 【变式训练5】（多选）在等比数列中，、、成等差数列，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设等比数列的公比为， 由、、成等差数列可得，即， 因为，则，解得或． 所以，或． 故选：CD. 【变式训练6】在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 类型二、等比数列的性质 【变式训练1】在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 【答案】B 【详解】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 【变式训练2】已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得， 因为正项等差数列，则，则， 当时，，舍去； 当时，， 所以. 故选：A. 【变式训练3】已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得． 故选：D． 【变式训练4】已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于 . 【答案】8 【详解】数列是等比数列，满足，则，且不是0，所以， 数列是等差数列，且，则. 故答案为：8. 【变式训练5】在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，， 则① ② ①②得， ， ， ， 所以. 类型三、等比数列的证明 【变式训练1】（多选）如果数列是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】令， 对于A，，所以是以为首项，以为公比的等比数列，故A正确； 对于B，，所以是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 对于C，，所以是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确； 对于D，取等比数列，则数列不是等比数列，故D错误, 故选：ABC． 【变式训练2】已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 【变式训练3】（多选）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ） A．为等比数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．若，则 【答案】AD 【详解】设首项为，因为数列是等比数列，公比为， 所以，，则，， 对于A，，则为等比数列，故A正确， 对于B，令，，则，， 即，而， ，， 得到，， 则不为等比数列，故B错误， 对于C，当时，无意义， 则不一定为等差数列，故C错误， 对于D，当时，， 当时，， 故，则，解得，故D正确. 故选：AD 【变式训练4】已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)11 【详解】（1）由，① 当时，，即； 当时，，② 则①②得，， 则，即， 所以数列是等比数列，首项为1，公比为. （2）由（1）得，，即， 则， 则， 因为在为增函数， 则数列为递增数列， 又，， 所以满足的最小正整数的值为11. 【变式训练5】设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 【详解】（1）①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由， 解得，单调递增；当，单调递减； 所以， 所以数列的最大项为 【变式训练6】已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 类型四、等比数列的前n项和 【变式训练1】记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 【答案】D 【详解】由等比数列的性质，得成等比数列， 所以， 又因为，， 即， 解得． 故选：D. 【变式训练2】已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：由等比数列性质有，即，解得， 则， 故选：A． 【变式训练3】设是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．24 B．36 C．42 D．108 【答案】C 【详解】根据，，可知数列的公比不为1， 且成等比数列，即成等比数列，故， 故， 故选：C 【变式训练4】已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练5】已知等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的公比 ，前n项和 . 【答案】 / 【详解】因为，所以， 因为，，成等比数列，且公比为， 所以，． 因此． 故答案为： 1.已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，在时取得最小值，所以为单调递增数列， 所以，所以A正确，B错误； 当时，，满足题意，所以C错误； 由可得，即， 所以，所以D错误． 故选：A． 2.已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【详解】数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以数列的前5项之和为 . 故选：D. 3.已知等比数列的前项和为，，数列为等比数列，若，则正整数的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】等比数列的前项和为，，设公比为， 由数列为等比数列， 所以当时，可得，不是等比数列， 当时，可得， 所以，所以， 所以，由，可得， 又，，可得正整数的最大值为. 故选：. 4.（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 5.（多选）已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 【答案】AD 【详解】对于A：易得，所以，即以5为首项，4为公差的等差数列，正确； 对于B：易得，所以，是以9为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于C：易得，所以，是以12为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于D，易得，所以，以为首项，1为公差的等差数列，正确； 故选：AD 6．（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 7．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】ACD 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 8．（多选）已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，设的公比为，， 成等差数列，故， 又，所以，即， 所以，又，解得， 所以，A错误； B选项，， 故， 所以，又,所以数列为等比数列，B正确； CD选项，， 故， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以，CD正确. 故选：BCD 9．（多选）已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列的公比为2 B．数列为等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D． 【答案】BC 【详解】设数列的公比为，由，，成等差数列，得， 整理得，则，故A错； ，， 所以是等比数列，故B正确； ，，所以数列是公差为1的等差数列，故C正确； ，故D错. 故选：BC． 10.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列满足，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，即， 当时，联立 ①－②，可得， 即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，， 所以 ． 11.已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意得，且，化简得， 解得； （2）， 则 12．数列的前项和为，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由得，故， 当时，， 所以， 从而，故①， 在式①两端加1得：②， 又，结合式②知数列所有项均不为0，所以， 故是首项为9，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，故， 所以. 13.已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 【答案】(1)证明见解析， (2)选择，；选择， 【详解】（1）由，① 当时，得，得， 当时，得，② 由①－②得， 得， 得，即， 而，故， 得数列为等比数列，首项为，公比为3， 得， 得． （2）设， 选条件①：则， 令， 则， 两式相减，得， 得， 则， 显然数列单调递增， 得，， 故满足条件的最大整数； 选条件②：则， 则， 显然数列单调递增， 得， 故满足条件的最大整数． 14.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； （2）数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； （3）， 则数列的前2n项和 . 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$