精品解析：河北省石家庄市部分学校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

河北省2024-2025学年高二年级第二学期3月联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在四面体中， 若，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 5 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线AB的方程为 C. AB中点的轨迹方程为 D. 圆与圆公共部分的面积为 10. 等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______． 13. 已知数列中，，则数列的前项和_______． 14. 表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列前项的和，求. 16. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 17. 如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2024-2025学年高二年级第二学期3月联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线和圆的位置关系求出点到直线距离，结合点到渐近线的距离求出，最后求出离心率即可. 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 2. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 3. 在四面体中， 若，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，由，得到分别为中点，利用空间向量的线性关系得到即可. 【详解】如图：    ∵，，∴分别为中点， ∴ ， 故选：B. 4. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：设，， 由题意，直线的斜率存在， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 由，可得， 所以，，， 所以， 故选：B. 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行线之间的距离公式求解. 【详解】如图： 过作与点，交直线与点，则为所求直线与的距离. 因为，. 所以. 故选：A 6. 已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示： 过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于， 则，，，故，即. 故选：B 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】先由导数证明函数是增函数，再证明其为奇函数，然后由奇偶性与单调性化简不等式，再分离参数转化为求新函数的最值，得参数范围． 【详解】令， 则在R上恒成立，所以在R上为增函数，又，所以， 所以函数是R上的增函数， 又，都是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， ，所以是奇函数， 因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在,上单调递减， 所以，故， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线AB的方程为 C. AB中点的轨迹方程为 D. 圆与圆公共部分的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断AB选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段,进而可得到直线的距离即为AB中点与点的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆与圆公共部分的面积，即可判断D选项. 【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即， 因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得， 所以直线AB的方程为，故A错误，B正确； 由圆的性质可知直线垂直平分线段,所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确； 因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为，三角形的面积为，所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误. 故选：BC. 【点睛】圆的弦长的常用求法： （1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 10. 等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB. 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误. 【详解】构造函数，其中，则， 因为对于任意的满足 当时，，则函数在上单调递增， 又函数是奇函数， 所以，所以在上为偶函数， 所以函数在上单调递减， ，则，即，即， 化简得，A选项错误； 同理可知，即，即， 化简得，B选项正确； ，且即，即， 化简得，C选项正确， ，且即，即， 化简得，D选项错误， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______． 【答案】内含 【解析】 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 13. 已知数列中，，则数列的前项和_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列的前项和 = =, 故答案为：. 14. 表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出球半径及球心到平面的距离，进而求出外接圆半径，利用面面垂直结合球的截面小圆性质，求出的外接圆半径，确定点S到平面的最大距离即可作答. 【详解】依题意，球的半径，令正的中心为，则，且平面， 外接圆半径，连接并延长交于D，则D为的中点，且， 显然，而平面平面，平面平面，有平面， 令的外接圆圆心为，则平面，有， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 由,所以平面，所以， 而平面平面，平面平面，平面，则平面， 即有，因此四边形为平行四边形，则，， 的外接圆半径，的外接圆上点到直线距离最大值为， 而点在平面上的射影在直线上，于是点到平面距离的最大值， 又正的面积， 所以棱锥的体积最大值. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列前项的和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意设等差数列的公差为， 由题意，解得，所以. 【小问2详解】 ， 所以数列的前50项和， 所以. 16. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； 【小问2详解】 画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 17. 如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 设为的中点，由题意得平面， ∵平面，， ，为的中点，， ∵，平面， 故平面， 由，分别为，的中点，得且， 从而， 四边形为平行四边形， 故， 又平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，由线面垂直得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，证明出四边形为平行四边形，得到，证明出结论； （2）作出辅助线，证明出为二面角的平面角，结合（1）得到，求出各边长，利用余弦定理求出的余弦值，进而得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，且，连结， 由，，得， 由，，得≌，由，得， 因此为二面角的平面角， 由（1）得平面，平面， 所以， 由，，，得， 故， 由余弦定理得，， 所以. 18. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2），其中或 【解析】 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，求证：． 【答案】（1） 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 证明：由，得， 即，， 令，则． ∵， ∴在上单调递增，在上单调递减． 当时，，∴或， ①若，显然 ②若，要证，只需证， 即证，若能证，则原命题得证， 令，， ， ∵，∴，，∴， ∴在单调递增，∴， ∴，原命题得证． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）求导，分和，讨论求解； （2）由， 得到，令，利用导数法得到时， 或证明. 【小问1详解】 解：， 当时，，在R上单调递增， 当时，由，得；由，得． ∴在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：当时，关键是将证，转化为证，然后令，，利用导数而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $