直线与圆 讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线-圆知识点 1：圆的方程 圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识框架： 题型一：圆方程的不同使用场景 【典例1-1】圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方为 ． 【典例1-2】已知，则外接圆的方程为 ． 【典例1-3】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-4】已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 【变式1-1】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 【变式1-3】点在圆上，则的范围是 ． 题型二：点与圆的位置关系 【典例2-1】若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三、关于圆的轨迹方程 【典例 3-1】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【典例 3-2】由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 【变式3-1】点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点． (1)求线段AP的中点的轨迹方程． (2)若，求线段中点的轨迹方程． 题型四、圆过定点问题 【典例4-1】圆恒过的定点是 . 【典例4-2】若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 ． 【变式4-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-2】设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是 ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点． 题型五、关于圆的对称问题 【典例5-1】已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ． 【典例5-2】已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【变式5-1】已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 【变式5-2】已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是 ． 知识点 2：直线和圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 题型 1、直线和圆位置关系的判断 【典例1-1】若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【典例1-2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【典例1-3】已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 题型 2、弦长与面积问题 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【典例2-1】直线被圆截得最大弦长为 ． 【典例2-2】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【典例2-3】直线与圆：交于，两点，若，则 . 【典例2-4】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【变式2-1】写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【变式2-2】（多选）若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（    ） A．2 B．4 C． D．5 题型三、切线问题、切线长问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 【典例3-1】圆在点处的切线方程为 . 【典例3-2】写出经过抛物线的焦点且和圆相切的直线方程 . 【典例3-3】由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【变式3-1】已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【变式3-2】关于曲线有以下五个结论： ①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； ②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； ③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； ④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； ⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 【变式3-3】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 题型四、数形结合思想 【典例4-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】若，则的最小值为 . 【变式4-1】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、切点弦问题 【典例5-1】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【变式5-1】已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 题型六、圆上的点到直线的距离个数问题 【典例6-1】已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点 3：圆和圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 题型一、圆和圆的位置关系 【典例1-1】已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【典例1-2】已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例1-3】已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型二、两圆的公切线问题 【典例2-1】已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【典例2-2】圆与圆的公共弦长为 . 【变式2-1】已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线-圆知识点 1：圆的方程 圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识框架： 题型一：圆方程的不同使用场景 【典例1-1】圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设圆心为坐标为 因为圆的半径为8，且与直线相切， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍），则圆的坐标为， 所求圆的方程为 故答案为： 【典例1-2】已知，则外接圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为. 故答案为：. 【典例1-3】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆， 又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为. 方法 2 ：可直接利用直径式方程 【典例1-4】已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】C 【解析】设， 则 ， 当时，取得最大值. 【变式1-1】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 【答案】 【解析】由于直线与平行，且均与相切， 两直线之间的距离为圆的直径，即， 又在上，所以为切点， 故过且与垂直的直线方程为， 联立， 所以与相切于点， 故圆心为与的中点，即圆心为， 故圆的方程为， 故答案为： 【变式1-3】点在圆上，则的范围是 ． 【答案】 【解析】设，，即， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型二：点与圆的位置关系 【典例2-1】若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 【典例2-2】若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 题型三、关于圆的轨迹方程 【典例 3-1】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 【典例 3-2】由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法 设弦的中点的坐标为,连接、,则． 在中,由勾股定理有，而在圆内， 所以弦AB的中点M的轨迹方程为. ［方法2］：定义法 因为是的中点,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为，所以该圆的方程为:,化简得 ［方法3］：交轨法 易知过点的割线的斜率必然存在，设过点的割线的斜率为, 则过点的割线方程为:. ∵且过原点,∴的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹.两方程相乘消去,化简,得:， 其中. ［方法4］：参数法 设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为、 的中点为，设. 由可得，，所以，，即有，，消去， 可求得点的轨迹方程为：，． ［方法5］：点差法 设,则. ∵.两式相减,整理,得. 所以,即为的斜率， 而的斜率又可表示为,化简并整理,得. 其中. 【变式3-1】点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 【变式3-2】已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点． (1)求线段AP的中点的轨迹方程． (2)若，求线段中点的轨迹方程． 【解析】（1）设中点为， 由中点坐标公式可知，点坐标为 ∵点在圆上，∴． 故线段中点的轨迹方程为． （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，则，所以， 所以． 故线段中点的轨迹方程为． 题型四、圆过定点问题 【典例4-1】圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 【典例4-2】若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【变式4-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式4-2】设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是 ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点． 【答案】②④ 【解析】根据题意得：圆心坐标为， 圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系： 圆：圆心，半径为， 圆：圆心，即，半径为， 两圆的圆心距， 两圆的半径之差， 任取或时，（）， 含于之中，选项①错误； 若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误， 将带入圆的方程，则有，即（）， 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 故答案为②④. 题型五、关于圆的对称问题 【典例5-1】已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ． 【答案】 【解析】因为， 设圆C的圆心为， 又因为圆C与圆D关于直线对称， 即圆心与关于直线对称， 所以，解得， 所以，圆C的方程为 【典例5-2】已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 【变式5-1】已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值是16 故答案为：16 【变式5-2】已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 由，解得， 又关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点. 易得等价于， 画出和的图象，设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，， 结合图象可知，当时， 函数的图像和的图象有两个交点. 故答案为：. 知识点 2：直线和圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 题型 1、直线和圆位置关系的判断 【典例1-1】若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即： ，即， 据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外. 【典例1-2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解析】已知直线过定点， 将点代入圆的方程可得， 可知点在圆内， 所以直线与圆相交. 【典例1-3】已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交. 题型 2、弦长与面积问题 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【典例2-1】直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【解析】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 【典例2-2】已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 【典例2-3】直线与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】 【解析】设、，线段的中点坐标为， 则， 且∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 【典例2-4】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 【变式2-1】写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为 或， 所以的方程为：或. 【变式2-2】（多选）若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（    ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】BCD 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得， 当直线时，此时直线与圆相交，截得的弦长最短， 此时， 当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时， 所以弦长的取值范围为，结合选项，选项B、C、D符合题意.故选：BCD. 题型三、切线问题、切线长问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 【典例3-1】圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 【典例3-2】写出经过抛物线的焦点且和圆相切的直线方程 . 【答案】或 【解析】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为2. 记过点的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆相切，此时l的方程为； 当l斜率存在时，设其方程为，即， 因为直线l与圆相切，所以，解得 【典例3-3】由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 【变式3-1】已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径， 于是， 因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和， 而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【变式3-2】关于曲线有以下五个结论： ①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； ②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； ③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； ④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； ⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【解析】对于①，当时，曲线，当时，C表示点，当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆，错误. 对于②，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 由于过点（记为点D）向曲线C作切线，切点为A，B，且点到点的距离为， 根据勾股定理可得，因此A，B可看作圆与圆的交点. 又圆的方程化成一般式为， 于是直线AB的方程为， 即直线AB的方程为，正确. 对于③，当，时，曲线， 圆的切线方程可设为（直线系方程），由于切线过点，因此， 又，解得或因此过点的切线方程为或，错误. 对于④，当时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 于是曲线C的圆心在直线上，又圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 因此曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或，正确. 对于⑤，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 将直线变形为，可知直线过定点，又点在圆内， 因此直线与曲线C表示的圆相交，错误. 综上所述，正确的有②④. 【变式3-3】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 题型四、数形结合思想 【典例4-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线整理得， 则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即， 则令，解得，则其过定点， 如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点， 由，得或，所以， ， 所以实数的取值范围是. 【典例4-2】若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆， 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为， 则， 当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立， 故的最小值为. 【变式4-1】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线恒过定点， 曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）． 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为． 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点， 题型五、切点弦问题 【典例5-1】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 【变式5-1】已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，则满足； 易知圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径，如下图所示： 易知，所以，即，整理可得； 同理可得， 即是方程的两组解， 可得直线的方程为，联立，即； 令，可得，即时等式与无关， 所以直线恒过定点，可得； 又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大； 最大值为； 题型六、圆上的点到直线的距离个数问题 【典例6-1】已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 【典例6-2】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交． 由此可得圆的半径， 即，实数的取值范围是． 【变式6-1】若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 知识点 3：圆和圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 题型一、圆和圆的位置关系 【典例1-1】已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 【典例1-2】已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由已知直线， 则原点到直线l的距离为， 由直线l与圆相切， 则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线， 因为圆和圆外切， 所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线， 所以满足条件的直线l有3条． 【典例1-3】已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 【变式1-1】已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 【变式1-2】已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 题型二、两圆的公切线问题 【典例2-1】已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 【典例2-2】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 【变式2-1】已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 【答案】 【解析】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$