7.3 组合（第3课时 排列组合的综合应用，七大常见题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

7.3 组合（第3课时） 排列组合的综合应用 第7章 计数原理 主讲：刘老师 苏教版2019选择性必修第二册 重点 1 复习巩固排列组合基础知识 重点 2 掌握常见的七类排列组合问题 难点 3 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题 学习目标 一般地，从n个不同的元素中取出m（n≤m）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）． 排列的定义 排列数的公式 全排列与阶乘 复习回顾 组合的定义 组合数的公式 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 组合数的性质 复习回顾 题型一 特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 例1 解 新课讲授 题型一 特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 跟练1 新课讲授 题型一 特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 解 新课讲授 题型二 捆绑法：相邻元素看作一个整体与其他元素排列，注意捆绑元素的内部排列 例2 解 新课讲授 题型二 捆绑法：相邻元素看作一个整体与其他元素排列，注意捆绑元素的内部排列 跟练2 解 新课讲授 题型三 插空法：先排列不受限制的元素，然后将不相邻元素插空排列 例3 解 新课讲授 题型三 插空法：先排列不受限制的元素，然后将不相邻元素插空排列 跟练3 解 新课讲授 题型四 定序倍缩法：先全排列后，除以有顺序要求的元素的全排列 例4 解 新课讲授 题型四 定序倍缩法：先全排列后，除以有顺序要求的元素的全排列 跟练4 解 新课讲授 题型五 隔板法：解决相同元素的分组问题 例5 解 新课讲授 题型五 隔板法：解决相同元素的分组问题 跟练5 解 新课讲授 题型五 隔板法：解决相同元素的分组问题 变式1 解 新课讲授 题型五 隔板法：解决相同元素的分组问题 变式2 解 新课讲授 题型六 分组分配问题：先分组再分配（可能只有分组） 例6 解 新课讲授 题型六 分组分配问题：先分组再分配（可能只有分组） 例6 解 新课讲授 题型六 分组分配问题：先分组再分配（可能只有分组） 例6 解 新课讲授 题型六 分组分配问题：先分组再分配（可能只有分组） 跟练6 新课讲授 解 题型六 分组分配问题：先分组再分配（可能只有分组） 新课讲授 题型七 涂色问题：颜色多区域少，颜色少区域多 例7 新课讲授 解 题型七 涂色问题：颜色多区域少，颜色少区域多 新课讲授 题型七 涂色问题：颜色多区域少，颜色少区域多 跟练7 新课讲授 解 题型七 涂色问题：颜色多区域少，颜色少区域多 新课讲授 练1 解 学以致用 练2 解 学以致用 练3 解 学以致用 解 新课讲授 练4 学以致用 解 新课讲授 解 新课讲授 课堂小结 作业1：完成教材：第73页 习题7.3 第10,11,12题. 作业2：配套辅导资料对应的《排列组合综合应用》.  作业布置 感谢聆听 苏教版2019选择性必修第二册 首先将 名老师排在中间 个位置中的 个位置，再将其余 名学生全排列， 故不同排列方式共有 （种）. 故选：C 有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有 ． 根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况： 第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有 种排法. 第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有 种排法， 由分类加法计数原理可知，总共有 种排法． 故答案为：504 由题意知，将丙和丁看成一个整体，分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有 种情况；②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第4、5名，有 种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第2、5名，有 种情况；④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊，所以甲和乙为第2、3名，有 种情况；所以共有 种情况. 故选：B 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 将 捆绑，且可放入 ； 和 三个位置，故有 种情况，将其它4个节目和4个位置进行全排列，有 种情况，故节目单上不同的排序方式有 种. 故选：B 某次文艺汇演，要将 这六个不同节目编排成节目单．如果 两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为 种， 故选：A. 甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 若两个大人之间至少有1个小孩，即两个大人不相邻， 故共有 种. 故选：D. 两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同的站法有（    ）种. A．240 B．360 C．420 D．480 将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有 种方法. 故答案为：12 在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有_______种 依题意，7名棋手作全排列为 ，其中原有5名棋手的排列有 ， 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有 . 故选：D 一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额， 可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有 种不同的分法． 故选：B. 将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有 种分法，故答案为28. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份同，则不同的分法总数为___________． 先将 拆成 个 ，并排成一排，于是正整数 ， ， ， ， 表示在这 个 中占有 的个数，然后用四个隔板把这一列 分为五组，由于这一列数中间有 个空，因此四个隔板的放置方法种数为 （种）．因此不同的有序实数对 有 种可能． 故答案为： 已知正整数 ， ， ， ， 满足 ，则不同的有序实数对 有 种可能． 先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有 （种）方法．故选:A. 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 将六本书分成 三组，然后分给甲、乙、丙三人共有 种. 该类分组问题，是完全均匀分组问题 （1）六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，每人2本，共有多少种分法？ 将六本书分成 三组，然后分给甲、乙、丙三人共有 种. 该类分组问题，是部分均匀分组问题 （2）六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，两人一人，一人4本，共有多少种分法？ 将六本书分成 三组，然后分给甲、乙、丙三人共有 种. 该类分组问题，是完全非均匀分组问题 （3）六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，一人1人，一人2本，一人3本，共有多少种分法？ 五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将5名金牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有金牌导游前往，则不同的分配方法种数有________. 若每个风景区都要有金牌导游，则将金牌导游分成三组，各组人数分别为 或 . 当金牌导游分成三组的人数为 时，此时共有 种； 当金牌导游分成三组的人数为 时，此时共有 种分配方法. 所以不同分配方法有 种. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要 种颜色， 若 块区域只用 种颜色涂色，则颜色的选法有 种，相对的直角三角形必同色，此时不同的涂色方案有 种；若 块区域只用 种颜色涂色，则颜色的选法有 种，其中一对相对的直角三角形必同色，余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有 种； 若 块区域只用 种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有 种；综上，不同的涂色方案有： 种. 故选：C. 某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 先在7种颜色花朵中选1种给教师 ，有7种选法； 然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师 ，有6种选法； 最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵（可以相同）给教师 和 ，有 种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有 种分配花朵的方式． 故答案为： ． 设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁， 由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到 三所学校. 则不同的报名方法共有 种. 故选：B. ， ， 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（    ） A．30种 B．36种 C．72种 D．81种 把语文、数学、劳动、体育这4门课程任意排列，有 ＝24种情况， 其中数学课排在劳动课之前和数学课排在劳动课之后的情况数目是相同的， 则劳动课必须比数学课先上的排法有 种． 故选：C． 我校高二（1）班本周星期五下午要上4节课，若把语文、数学、劳动、体育这4门课安排在星期五下午，劳动课必须比数学课先上，则不同的排法有（    ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 （1）先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有 （种）方法． （2）恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如 ，有 种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如 ，有 种插法，故共有 （种）方法． 把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． （3）恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有 种插法， 如 ，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如 ，有 种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如 ，有 种插法． 故共有 （种）方法． 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． （2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有 种； （3）排法有 种，其中 是甲在左端或乙在右端的排法， 是甲在左端且乙在右端的排法； （4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有 种排法； （5）即把所有男生捆绑，与4名女生组成五个元素全排列，共有 种排法； （1）无条件的排列问题，排法有 种； （7）对比（6），让女生插空，共有 种排法； （8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有 种排法； （9）分步完成共有 种排法； （10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全排列共有 种，甲、乙、丙3人全排列有 种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，共有 种 （6）先排女生共 种排法，男生在五个空中安插，有 种排法，共有 种排法； $$