3.2.1 函数的单调性和最大（小）值 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 函数的单调性和最大（小）值 高一年级 王云龙 ♟整体感知 ♟课标要求 1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义； 2.会根据单调定义证明函数单调性； 3.理解函数的最大（小）值及其几何意义； 4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质. ♟情境引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观事物变化规律的认识.比如研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律. 思考：什么是函数性质？ 变化中的规律性，变化中的不变性！ 我们研究函数性质，就是要学会在变化中发现规律！ ♟探究建构 问题1：请看下面的函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？ 函数图象所反映的特点就是性质。本节课我们先研究如何用定量的方法刻画函数值随自变量的变化规律. ♟探究建构 问题2：观察二次函数y=x2的图象，简要说明y随x的变化规律. ✍学习活动1：单调性性质的定量刻画 ①当x<0时，y随x的增大而减小； ②当x>0时，y随x的增大而增大. ♟探究建构 问题3：对于任意二次函数y=a(x-h)2+k的图象，它的变化规律又是怎么样的？ ✍学习活动1：单调性性质的定量刻画 你能借助字母符号，归纳该例子的共同点吗？ 如何理解“y随x的增大而增大（减小）”？ ♟探究建构 问题3：对于任意二次函数y=a(x-h)2+k的图象，它的变化规律又是怎么样的？ ✍学习活动1：单调性性质的定量刻画 当x1<x2时，f(x1)<f(x2);当x1<x2时，f(x1)>f(x2). 该表述是否严格？ 定义域优先！ 单调性为局部性质！ ♟探究建构 概念生成： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I 如果 x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数. 如果 x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数. ✍学习活动1：单调性性质的定量刻画 ♟探究建构 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. ✍学习活动1：单调性性质的定量刻画 ♟探究建构 ✍学习活动2：单调性定义的简单应用 例1：讨论f(x)=|x|,f(x)=x各有怎样的单调性. ♟探究建构 ✍学习活动2：单调性定义的简单应用 例2：根据定义，讨论f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. ♟探究建构 ✍学习活动2：单调性定义的简单应用 例3：根据定义证明函数 在区间（1，+∞）上的单调递增. ♟探究建构 ✍学习活动3：复合函数的单调性 1.复合函数的定义 设y=f(t),t=g(x).则函数y=f(g(x))叫做复合函数. y=f(g(x)) 2.复合函数的单调性：同增异减 内函数 外函数 ♟探究建构 ✍学习活动3：复合函数的单调性 例4：讨论 在定义域上的单调性. ♟探究建构 ✍学习活动3：复合函数的单调性 拓展：在公共区域内 增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 和复合函数的单调性区分！ 例：y=x2+x+1在（0,+∞）上为增函数. ♟探究建构 ✍学习活动4：函数的最大值与最小值 如图，二次函数f(x)=x2的图象上有一个最低点（0,0）.即 x∈R，都有f(x)≥f(0).当f(x)的图象有最低点时，我们就说f(x)有最小值. 思考：f(x)=-x2的情况？ ♟探究建构 ✍学习活动4：函数的最大值与最小值 概念生成： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1） x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M） （2） x0∈I，使得f(x0)=M 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（最小值）。而x0称为f(x)的最大（小）值点，最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. ♟应用迁移 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ♟重构拓展 ♟重构拓展 谢谢观看！ $$