3.2.2 奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 （第2课时） 复习回顾 1.什么是奇函数？什么是偶函数？ 2.奇（偶）函数的定义域具有什么特点？ 3.判断函数奇偶性的方法？ 判断函数奇偶性 一般函数 1.图象法 2.定义法：①定义域是否关于原点对称 ②判断f(x)与f(-x)的关系 3.性质法：奇偶函数的和差积商、复合函数 判断函数奇偶性 --- 分段函数 例.判断函数f(x)= 的奇偶性. 图象法 例.判断函数f(x)= 的奇偶性. 定义法 解：由题意得，f(x)定义域为R，关于原点对称 当x>0时，-x<0，f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x) 当x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x) 当x=0时，-x<0，f(-x)=-f(x)=0. 综上所述，函数f(x)= 为奇函数. 分段处理 先说明各段上f(x)与f(-x)的关系 再说明整个定义域内f(x)与f(-x)的关系 判断函数奇偶性 --- 分段函数 练习.判断函数f(x)= 的奇偶性. 判断函数奇偶性 --- 含参函数 例.判断函数f(x)=x2+ 的奇偶性，其中x≠0， 解：由题意得，f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称 当a=0时，f(x)=f(-x)=x2，∴此时f(x)为偶函数 当a≠0时，取x=1,则f(1)=1+a; 取x=-1,则f(-1)=1-a, 显然f(1)≠f(-1)且f(1)≠-f(-1)∴此时f(x)为非奇非偶函数 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数； 当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数. 对参数进行 分类讨论 判断函数奇偶性 --- 含参函数 练习.判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|的奇偶性，其中a∈R. 判断函数奇偶性 --- 抽象函数 例.已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对一切实数x和y都成立，且f(0)≠0，试判断f(x)的奇偶性. 解：由题意得，f(x)定义域为R，关于原点对称 令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 当x=y=0，得2f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0,∴f(0)=1 ∴f(y)+f(-y)=2f(y)，即f(y)=f(-y) ∴函数f(x)为奇函数. 对x和y赋特殊值，使式子中出现f(x)和f(-x）再求解 判断函数奇偶性 --- 抽象函数 练习.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意 的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)，判断函数f(x)的奇偶性. 利用函数奇偶性求值求参数 例.1.已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=______ 2.已知f(x)为R上的奇函数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=2x3+x2， 则f(2)=______ 6 12 3.函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]， 则a=_____,b=______. 0 利用函数奇偶性求解析式 例.已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)解析式. 解：由题意得，当x<0时，-x>0， f(-x)=-2x2-3x+1, ∵f(x)是奇函数 ∴f(x)=-f(-x)=2x2+3x-1 即x<0时，f(x)=-f(-x)=2x2+3x-1 当x=0时，f(x)=0； 综上所述，f(x)的解析式为f(x)= 求哪个区间的解析式，就设x在哪个区间内 利用函数奇偶性求解析式 练习.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f(x)=-x2-2x，求函数f(x)的解析式. 课堂小结 $$