3.2.2 奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.2 函数的奇偶性 赫章县第一中学 张家磊 学习目标： 教学重点： 教学难点： 1、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义; 2、学会利用函数图象研究函数的性质； 3、能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性。 函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 用符号语言刻画函数图象关于y轴对称、关于原点对称。 一：复习引入—回顾函数性质的研究过程 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或下降）以及函数图象的“最高点”(或“最低点”)的性质： 研究函数单调性的过程是： 具体函数➩图象特征➩数量刻画➩符号语言➩抽象定义➩单调性判定 下面我们将继续研究函数的其他性质. 研究函数单调性的过程是： 具体函数➩图象特征➩数量刻画➩符号语言➩抽象定义➩求函数的最大（小）值 二：概念的引入—具体函数➩图象特征 问题1：画出并观察函数f(x)=x2和函数g(x)=2-|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 图像共同特征：图象关于y轴对称 问题1：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述 “函数图象关于y轴对称”这一特征吗？ 函数图像“y随着x的增大而增大”精确的用符号语言描述为： 如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 二：概念的形成—图象特征➩数量刻画 追问1：取一些具体的数值，你发现怎样的规律？ 当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 例如：对于函数f(x)=x2，有： f(-3)=9=f(3)；f(-2)=4=f(2)；f(-1)=1=f(1) 追问2：你能借助字母符号，归纳上述具体例子的共同点吗？ ∀x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时称函数f(x)=x2为偶函数. 追问3：你能仿照这个过 程，说明函数g(x)=2-|x| 也是偶函数吗？ 三：概念的抽象—符号语言➩抽象定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）. 定义域关于原点对称 函数值相等 偶函数的几何特征：函数图象关于y轴对称. 例如，函数f(x)=x2+1， 都是偶函数，它们的图象分别为： 四：概念的引入—具体函数➩图象特征➩数量刻画 图像共同特征： 图象关于原点成中心对称. 问题2：观察函数f(x)=x和函数 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 追问1：你能用符号语言精确地描述这一特征吗？ 当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 ∀x∈R，都有f(-x)=-x=-f(x),这时称函数f(x)=x为奇函数. 追问2：你能仿照这个过 程，说明函数 也是偶函数吗？ 五：概念的抽象—符号语言➩抽象定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数（odd function）. 定义域关于原点对称 函数值互为相反数 奇函数的几何特征：函数图象关于原点对称. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且 （1）f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. （2）f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 问题3：你能说说奇函数和偶函数有什么相同点和不同点吗？ 相同点： (1)定义域关于原点对称； (2)都是函数的整体性质； 不同点： (1)偶函数f(-x)=f(x)，而奇函数f(-x)=-f(x)； (2)偶函数图象关于y轴对称，而奇函数图象关于原点对称； 奇(偶)函数定义的等价形式：设函数f(x)的定义域为I f(x)是偶函数⇔∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)-f(x)=0； f(x)是奇函数⇔∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)+f(x)=0； 六：奇偶性简单应用—奇偶性的判定 一般地，设函数f(x)的定义域 为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且 （1）f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. （2）f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 例6 判断下列函数的奇偶性： 解：(1)函数f(x)=x4的定义域为R. ∵∀x∈R，都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x), ∴函数f(x)=x4是偶函数. (3)函数 的定义域为{x|x≠0}. ∵∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0},且 ∴函数 为奇函数. 方法技巧：根据奇（偶）函数的定义判断一个函数 的奇偶性的步骤： 第一步：求出函数的定义域； 第二步：判断定义域是否关于原点对称.若否， 则函数不具有奇偶性；若是，则进行第三步。 第三步：计算f(-x),若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则f(x)既不是偶函数也不是奇函数； 六：奇偶性的简单应用—画函数图象 问题4:(1)判断函数f(x)=x3+x的奇偶性. (2)图3.2-9是函数f(x)=x3+x图象的一部分，你 能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？ (3)一般地，如果知道y=f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 五：小结与作业 作业：教科书习题3.2第5，11，12题； 谢 谢 聆 听 ！ $$